精品解析：江苏省锡山高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末考试数学试题

江苏省锡山高级中学2025—2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题人 胡敏洁 审核人 陈小娴 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 2. 从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ） A. 该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍； B. 该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍； C. 该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍； D. 该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和. 8. 现有三个建筑物，其中、、是 在同一水平面的投影，小明想测量建筑物的高度，已知建筑物高10m，站在顶部处观察建筑物的顶部，发现仰角为，站在处观察建筑物的顶部，发现仰角为，且满足，，，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与B相互独立，那么 11. 已知正三棱柱的高为 ，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（ ） A. B. 平面平面 C. 截面的面积为 D. 该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，，假定三人的选择相互之间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为_______． 13. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是_______． 14. 在△ABC中，是边上的三等分点，，则的最大值为_______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，满足， ， 与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，，是棱BC上一点，且. （1）证明：； （2）当时，求AC与平面所成角的正弦值． 17. 我校有1000名学生参加某次测评，根据男女生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）已知样本中分数在的学生有5人，试估计出总体中分数小于40的人数； （2）若测评成绩前的学生可以获奖，试估计出获奖分数线； （3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请估计出总体的方差. 18. △ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为，求b，c； （3）若是边上的高，且，求的最小值. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若平面，过点作出平行于平面的截面（写出作法，不要求证明），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积； （3）若，求二面角的余弦的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学2025—2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题人 胡敏洁 审核人 陈小娴 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，； 的虚部为. 2. 从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从长度为的5条线段中任取3条， 则可能结果有，，，，，，，，，共种情况， 其中满足这三条线段为边能构成一个三角形的有，，共种情况， 所以以这三条线段为边能构成一个三角形的概率. 故选：B 3. 众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.如图的分布形态中，分别表示众数、平均数、中位数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，作出判断即可求解. 【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值， 由单峰频率分布直方图且数据分布图左“拖尾”，可知平均数小于中位数，且中位数为右起第三个矩形内，所以. 故选：C. 4. 正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长． 【详解】作出原图形如下图所示： 由三视图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是． 故选：A． 5. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面、面面平行与垂直的判定及性质定理逐一验证各选项，即可判断. 【详解】对于A，若，由线面平行的性质可得，存在直线满足， 根据线面垂直的性质，可得，故，故A正确. 对于B，，根据面面平行的判定定理，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，因此，故B正确. 对于C，若，则可能相交，故C错误. 对于D，若，根据面面垂直的性质可得，故D正确. 6. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 得， 则. 即在上的投影向量为. 7. 在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ） A. 该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍； B. 该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍； C. 该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍； D. 该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和. 【答案】C 【解析】 【分析】设该直播间第一季度总收入为单位1，结合图中数据对四个选项一一进行判断. 【详解】A选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，则设该直播间第二季度总收入为单位2，该直播间第三季度总收入为单位4，所以第三季度总收入是第一季度总收入的4倍，故A错误； B选项，因为第三季度总收入是第一季度总收入的4倍，设该直播间第一季度总收入为单位1，故该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的倍，B错误； C选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，故直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的倍，C正确； D选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，则该直播间第三季度食品收入为，前两个季度的食品收入之和为， 因为，故该直播间第三季度食品收入高于前两个季度的食品收入之和，D错误. 故选：C 8. 现有三个建筑物，其中、、是 在同一水平面的投影，小明想测量建筑物的高度，已知建筑物高10m，站在顶部处观察建筑物的顶部，发现仰角为，站在处观察建筑物的顶部，发现仰角为，且满足，，，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出草图，先通过C处观测B的仰角求出的高度，再利用正弦定理求解水平面内的边长，最后结合B处观测A的仰角计算的高度。 【详解】 设高度为，高度为： 求：C点观测B点仰角为，，水平距离为， 故  其中， 代入得：  解得. 求：在中，， 由正弦定理：  其中，， 代入得： ， 求：B点观测A点仰角为，，故  ， 代入数值解得： ， 因此答案为D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 10. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与B相互独立，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题结合事件的包含关系、互斥、相互独立的性质，运用对应概率计算公式逐一判断选项正误 【详解】选项A：若，则，因此，故A正确； 选项B：若与互斥，根据互斥事件概率加法公式，，故B正确； 选项C：若与相互独立，则与也相互独立，，故C错误； 选项D：若与相互独立，由德摩根定律可得，因此，故D正确。 11. 已知正三棱柱的高为 ，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（ ） A. B. 平面平面 C. 截面的面积为 D. 该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出内切球半径，进而求出判断A；求出平面与平面所成二面角大小判断B；确定截面并求出面积判断C；利用棱台、棱柱的体积公式计算判断D. 【详解】对于A，由球是高为的正三棱柱内切球，得球的半径， 过球心与垂直的平面截球所得大圆是该平面截正三棱柱所得正三角形的内切圆， 因此等于该截面正三角形边长，大小为，A正确； 对于B，由，且平面 平面，得平面， 令平面平面，又平面，则， 取中点，连接，则，即， 因此为平面与平面所成角的平面角，取中点，连接， 则，，因此平面平面，B正确； 对于C，延长交于点，过点作的平行线交于， 由，得，则，， 由为中点，得为中点，， 因此截面的面积，C错误； 对于D，显然正与正相似，且延长线交于一点， 于是几何体为三棱台，， 三棱台的体积，而三棱柱 的体积，截面所截的另一部分的体积， 所以所截两部分较小部分与较大部分的体积之比为，D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，，假定三人的选择相互之间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】设这个假期中至少有1人去北京旅游为事件， 因为， 所以， 故答案为： 13. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是和，则该圆台的体积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据侧面展开图的弧长等于底面周长求出上、下底面半径，结合母线长求出圆台的高，最后利用体积公式计算. 【详解】 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为， 由题意可知，圆台的侧面展开图是半圆环，其圆心角为， 上底面周长为，解得， 下底面周长为，解得， 圆台的母线长， 在圆台的轴截面中，由勾股定理可得圆台的高， 所以圆台体积． 14. 在△ABC中，是边上的三等分点，，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设且，则，利用向量的数量积运算得到，再利用二次函数求解即可. 【详解】因为是边上的三等分点， 故，， 设，则，解得， 所以， 设，由、，得， 则， 当时，. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，满足， ， 与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用模长平方等于向量自身平方求解模长； （2）利用垂直向量数量积为列方程求参数. 【小问1详解】 ，， 因为， 所以； 【小问2详解】 由，得， 即， 代入数值得，解得． 16. 如图，在直三棱柱中，，是棱BC上一点，且. （1）证明：； （2）当时，求AC与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在直三棱柱中，平面，由平面， 得，而，平面， 因此平面，又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）作出线面角，利用几何法求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于，连接，由（1）知平面，而平面， 则，而平面，因此平面， 是AC与平面所成的角，由，， 得，则， 所以AC与平面所成角的正弦值为. 17. 我校有1000名学生参加某次测评，根据男女生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）已知样本中分数在的学生有5人，试估计出总体中分数小于40的人数； （2）若测评成绩前的学生可以获奖，试估计出获奖分数线； （3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请估计出总体的方差. 【答案】（1）50人 （2）78.75 （3）26.4 【解析】 【小问1详解】 已知样本中分数在的学生有5人，则频率， 由频率分布直方图，其余组频率已知： 分数在的频率为， 分数在的频率为， 分数在的频率为， 分数在的频率为， 设分数在和的频率为，则： ， 则总体中分数小于40的人数. 【小问2详解】 前对应第75百分位数，至结束的累积频率为0.40， 至结束的累积频率为0.80，设分数线为， 则有. 【小问3详解】 已知样本中男生与女生的比例是，可知男生80人，女生20人， 则总体均值为， 因为总体方差公式为， 代入数据得. 18. △ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为，求b，c； （3）若是边上的高，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把角化边，再由余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理综合求解；（3）利用共线向量的定理得到，再由继续寻找的关系，最后复合函数的单调性求解最小值. 【小问1详解】 由正弦定理 及 ，得 由余弦定理得，，； 【小问2详解】 由面积公式，得 。 由余弦定理得， 代入 ，得， 联立 ，得 ， 故 是方程 的两根，解得 ； 【小问3详解】 在 上，故存在 ，, 则 ，又 ，得 因为，，故 ， ，展开： 已知 ，，， 代入，两边除以 ， 令 ，由条件 ，又知，当三角形是角的直角三角形时， ,此时 取得最小值， 得 ；又 ， 代入化简 ，得,得 ，得，得 又 ，令,则,因为在单调递减，也是单调递减,所以复合函数在单调递增, 所以当，取得最小值， ，故 的最小值为 0. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若平面，过点作出平行于平面的截面（写出作法，不要求证明），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积； （3）若，求二面角的余弦的最小值. 【答案】（1）由 是 中点，，得 ； 因为，所以 ， 因为，故 ， 所以四边形是平行四边形，所以； 平面 ， 平面 ，所以平面 ； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先证明线线平行，即，再由线面平行判定定理证明； （2）利用面面平行作出截面，通过总体积减去小三棱锥的体积求解； （3）先找出二面角的平面角（三垂线定理），再由平面与平面垂直时找到二面角的余弦的最小值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 所以平面，且平面 ，，平面， 所以平面平面 ，即平面 即为过点 且平行于平面 的截面， 在 中，， 故，，， 由 平面 ， 平面 ， 又 ， 平面 ， 得 平面 ，即四棱锥高 ， 梯形 面积 四棱锥总体积 面积： 是 中点，； 三棱锥 的高 （ 为 中点，） 两平面间几何体体积：； 【小问3详解】 过点 作 平面 ，垂足为 ； 在平面 内，过垂足 作 ，交棱 于点 ； 连接 ，由三垂线定理：垂线 平面 ，射影 斜线 ； 所以 就是二面角 的平面角，记为 ， ， 为直角三角形，所以 当平面与平面垂直时，即当与重合时，二面角的平面角的余弦取得最小值， 在 中，， 所以，此时； 此时最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $