精品解析：浙江宁波市北仑区2025-2026学年第二学期八年级期末测评数学卷

二〇二五学年第二学期八年级期末测评数学卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分120分，考试用时120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满；将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域内书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3. 观察右图中的三个平行四边形，你认为说法正确的是（ ） A. 它们形状相同，面积相等 B. 它们形状相同，面积不相等 C. 它们形状不相同，面积相等 D. 它们形状不相同，面积不相等 4. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（ ） A. 29是这20人年龄的第一四分位数 B. 29是这20人年龄的第三四分位数 C. 31是这20人年龄的中位数 D. 这20人年龄的众数是5 5. 用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，第三阶段需实现的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，点E是边上的一点，将沿翻折得，与相交于点G，点G恰好是的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 六边形外角和的度数是______． 12. 计算：__________． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 14. 下表是某小组2024年初中学业水平考试理化实验操作考试成绩的统计表，这五个学生成绩的方差为________． 学生姓名 性别 考试科目 成绩 曹明 男 物理 10 崔敏琪 女 物理 7 董子墨 女 化学 9 冯俊杰 男 化学 9 高一心 女 化学 10 15. 如图，在平行四边形中，，点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间做往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时两点同时停止运动．设运动时间为．在点P，Q的运动过程中，t为______时，四边形为平行四边形． 16. 如图，在长方形中，M，N分别是边，上的一点，连接，将沿折叠得到，点落在线段上，连接，作点关于的对称点，点恰好落在边上，若，则的长为___________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解一元二次方程： （1）； （2）． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 20. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 21. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 22. 【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． （1）代数式的最小值为 ． （2）关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． （3）已知实数，满足，求的最大值． 24. 如图，在正方形中，点，分别是边，上的动点（不包含端点），于点，于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作分别交，于点，； ①求证：； ②若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五学年第二学期八年级期末测评数学卷 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分120分，考试用时120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满；将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域内书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 2. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求，即， 解不等式得． 3. 观察右图中的三个平行四边形，你认为说法正确的是（ ） A. 它们形状相同，面积相等 B. 它们形状相同，面积不相等 C. 它们形状不相同，面积相等 D. 它们形状不相同，面积不相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积公式分析，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，三个平行四边形形状不相同，但底都是，高是， 则平行四边形的面积，即面积相等， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题关键． 4. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（ ） A. 29是这20人年龄的第一四分位数 B. 29是这20人年龄的第三四分位数 C. 31是这20人年龄的中位数 D. 这20人年龄的众数是5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 【详解】解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 5. 用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反证法，是假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证，根据反证法的证明方法即可求解． 【详解】解：原命题的条件是“在中，对边是，若”，结论是“”， ∴根据反证法的证明方法，在原命题的条件下，假设结论不成立，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反证法的证明方法，掌握命题的条件，结论，反证法的证明方法是解题的关键． 6. 数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故符合题意； C、由两组对边相等得到该四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、先由对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，再由对角线相等得到该四边形是矩形，故不符合题意． 7. 为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，第三阶段需实现的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第二阶段需实现的种植目标为，第三阶段需实现的种植目标为，由此可解． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解平均增长率的意义． 8. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 10. 如图，在菱形中，，点E是边上的一点，将沿翻折得，与相交于点G，点G恰好是的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点M，连接，过点E作于点N．先证是等边三角形，再求出，由菱形的性质结合已知条件，求出 ，解，，求出，，的值，从而求出菱形的边长，最后求得的长． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，过点E作于点N． ∵菱形， ∴． ∵点M为的中点，点G是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵菱形，， ∴， ∴， ∵将沿翻折得， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 六边形外角和的度数是______． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，根据多边形的外角和等于即可求解，掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 【详解】解：六边形外角和的度数是， 故答案为：． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质，去绝对值等知识，熟记二次根式性质及去绝对值法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的性质化简为含绝对值的式子，再由于，判断，由绝对值代数意义去绝对值即可得到答案． 【详解】解：， 由可得， ， 故答案为：． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得：． 14. 下表是某小组2024年初中学业水平考试理化实验操作考试成绩的统计表，这五个学生成绩的方差为________． 学生姓名 性别 考试科目 成绩 曹明 男 物理 10 崔敏琪 女 物理 7 董子墨 女 化学 9 冯俊杰 男 化学 9 高一心 女 化学 10 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数，方差，掌握知识点是解题的关键． 先求出五个学生成绩的平均数，继而求出五个学生成绩的方差，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间做往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时两点同时停止运动．设运动时间为．在点P，Q的运动过程中，t为______时，四边形为平行四边形． 【答案】或10 【解析】 【分析】由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时，由此分情况构建方程，可得结论． 【详解】解：∵P的速度为每秒， ∴， ∵Q是速度为每秒， ∴， 当时，； 当时，； ∵四边形为平行四边形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴或， 解得或10， 答：t为或10时，四边形为平行四边形． 故答案为：或10． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，分弄清Q在上往返运动情况是解决此题的关键． 16. 如图，在长方形中，M，N分别是边，上的一点，连接，将沿折叠得到，点落在线段上，连接，作点关于的对称点，点恰好落在边上，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，由题意易得，则有，，然后可得四边形是平行四边形，由折叠的性质可知：，，进而可得，，则有，设，则有，由勾股定理可得，最后问题可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（负根舍去）， ∴． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的乘法进行运算，再进行有理数的减法运算； （2）先根据二次根式的乘法进行运算，再进行有理数的减法运算，注意平方差公式在运算中的应用． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解，即对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解； （2）利用配方法求解，先配方凑完全平方式，再开平方转化为一次方程求解． 【小问1详解】 解：， ， 或； 解得：或； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 所以或， 解得：或． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2） 如图所示：，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，则可得，再根据求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】（1） （2） （3）每顶头盔应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据利润售价进价，列出代数式即可； （2）利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式； （3）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 22. 【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 【答案】（1）9；；；；（2）；9；10；；（3）选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴的成绩略高； ， ∴， ∴的射击水平发挥更稳定， 故答案为：9；；；； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 则中位数为，即， 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：；9；10；； （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． （1）代数式的最小值为 ． （2）关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． （3）已知实数，满足，求的最大值． 【答案】（1） （2）常数的值为或 （3）最大值为 【解析】 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 的最小值是． 【小问2详解】 解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 24. 如图，在正方形中，点，分别是边，上的动点（不包含端点），于点，于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作分别交，于点，； ①求证：； ②若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：正方形，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：如图，延长交于， 四边形为正方形， ，， ，， ， 四边形为矩形， ； ， ， ，即， 四边形为正方形； ， 又， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质和垂线的定义得到，证明，即可利用证明； （2）延长交于，可证明四边形为正方形，则，证明四边形是矩形，得到，，，再证明，得到，等量代换即可得证；取中点，连接，可证明，，根据，列不等式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略； 解：如图2，取中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $