1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定这一核心知识点，前承量词命题的基本概念，通过马克·吐温案例引入，结合自主评测梳理“改变量词、否定结论”的形式规律，依托例题与迁移运用构建从理解到应用的学习支架。 资料以情境化问题驱动学习，马克·吐温案例培养用数学眼光观察现实的意识，表格对比与“两变一补”等方法提升逻辑推理素养，分层练习题兼顾基础巩固与综合运用，助力学生用数学语言精准表达命题否定，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 ► 对应学生用书P24 学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，提升逻辑推理素养．(重点) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定，并能判断真假，提升逻辑推理素养．(重点、难点) 　　　美国著名作家马克·吐温，在一次记者招待会上直言：“有些国会议员是傻瓜！”记者把他的话原样登在了报纸上，结果招致了国会议员们的强烈抗议，迫于压力，第二天马克·吐温在报纸上登出重要更正：“有些国会议员不是傻瓜！”重要更正的那句话，是对原话的否定吗？ 问题1　结合上述这段话，谈谈你对 “否定”一词的认识，并猜想 “命题的否定”是什么意思？ 提示：对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P28～29，分析思考：全称量词命题和存在量词命题的否定分别是什么？ 提示：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)存在量词命题的否定一定是全称量词命题．(　　 ) (2)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，只否定其结论即可．(　　 ) (3)短语“都是”的否定短语是“都不是”．(　　 ) (4)短语“至少有一个”的否定短语是“至多有两个”．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 　 全称量词命题的否定 　　　阅读下面的命题，并回答提出的问题： (1)所有的正比例函数都是一次函数； (2)每一个有理数都能写成分数形式． 问题2　试写出上面命题的否定． 提示：(1)并非所有的正比例函数都是一次函数．(2)并非每一个有理数都能写成分数形式． 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 温馨提示 全称量词命题的否定注意八个字:“改变量词，否定结论”. 例1　(链接教材：人教A版P29例3)写出下列命题的否定，并判断否定的真假． (1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； (2)q：对所有实数x，都有x2＋x＋3>0； (3)r：等圆的面积相等，周长相等． 解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，所以p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”． 当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实数根，所以p是真命题． (2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋3≤0.因为x2＋x＋3＝＋>0，所以q是一个假命题． (3)r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知r是一个假命题． 类题通法 对全称量词命题的否定的关注点 (1)两变：一变量词，即把全称量词变为存在量词；二变结论，即否定结论． (2)一补：对省略全称量词的全称量词命题要补上量词后再进行否定． 【迁移运用】 1.写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)对任意x∈Z，x2的个位数字都不等于1； (3)每个三角形至少有两个锐角． 解：(1)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆，真命题． (2)该命题的否定：存在x∈Z，x2的个位数字等于1，真命题． (3)该命题的否定：存在一个三角形至多有一个锐角．由三角形的内角和为180°，知原命题的否定为假命题． 　存在量词命题的否定 　　　阅读下面的命题，并回答提出的问题： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形． 问题3　试写出上面命题的否定． 提示：命题(1)的否定：任意一个实数，它的绝对值都不是正数， 命题(2)的否定“任意一个平行四边形都不是菱形”． 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 例2　(链接教材：人教A版P31例5)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解：(1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． (2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． (3)该命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3. 当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 类题通法 对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等改为“没有”“不存在”等． 【迁移运用】 2.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)∀x∈R，|x|＋1－x≠0； (2)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； (3)某些平行四边形是正方形． 解：(1)命题的否定：∃x∈R，|x|＋1－x＝0，是假命题． (2)命题的否定：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点，是假命题． (3)命题的否定：每一个平行四边形都不是正方形，是假命题． 　依据含量词命题的真假求参数 例3　已知命题p：“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：命题p：“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，2x＋a≥3”是真命题．因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 变式探究　(1)(变条件)若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 解：由题意知，命题p：“存在x>1，使得2x＋a<3”是真命题，则a<3－2x，故a<(3－2x)max.因为x>1，所以a<1.故实数a的取值范围是{a|a<1}． (2)(变条件)若把本例中的命题p改为“存在x∈R，ax2＋3x＋3≤0”，若命题p为假命题，求实数a的取值范围． 解：命题p的否定为“任意x∈R，ax2＋3x＋3>0”，若命题p为假命题，则“任意x∈R，ax2＋3x＋3>0”为真命题．当a＝0时，3x＋3>0不恒成立；当a≠0时，需满足解得a>. 故实数a的取值范围是{a|a>}． 类题通法 由于命题与命题的否定的真假性只能一真一假，所以当直接判断一个命题的真假困难时，可以转化为判断该命题的否定的真假. 1．命题“∀x>0，x2≤x－1”的否定是(　　 ) A．∃x>0，x2>x－1 B．∃x≤0，x2≤x－1 C．∀x>0，x2>x－1 D．∀x≤0，x2≤x－1 解析：选A.命题“∀x>0，x2≤x－1”为全称量词命题，该命题的否定为“∃x>0，x2>x－1”． 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　 ) A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案：A 3．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________，此命题的否定是________(填“真”或“假”)命题． 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题． 答案：∃x，y∈R，x＋y>1　假 4．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，求a的取值范围． 解：由题意得， p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，则当x>0时，1－a≠x，故1－a≤0，解得a≥1. [课后分层练(八)]　全称量词命题和存在量词命题的否定 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为(　　) A．任意x∈A，2x∉B B．任意x∉A，2x∉B C．存在x∉A，2x∈B D．存在x∈A，2x∉B 答案：D 2．(2025·云南保山模拟)命题“∃x>0，x2－3x－1>0”的否定是(　　 ) A．∃x>0，x2－3x－1≤0 B．∃x≤0，x2－3x－1≤0 C．∀x>0，x2－3x－1≤0 D．∀x≤0，x2－3x－1≤0 答案：C 3．已知命题p：∀x∈R，|x|≥0，则下列说法正确的是(　　) A．p的否定是存在量词命题，且是真命题 B．p的否定是全称量词命题，且是假命题 C．p的否定是全称量词命题，且是真命题 D．p的否定是存在量词命题，且是假命题 解析：选D.命题p是全称量词命题，且是真命题，故p的否定是存在量词命题，且是假命题． 4．下列命题的否定是真命题的为(　　) A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：全等三角形的周长相等 D．p4：所有的无理数都是实数 解析：选A.若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反．因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2，p3，p4均为假命题． 5．(多选)下列说法正确的有(　　 ) A．命题“∃x∈R，1<y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y>2” B．“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C．“∃x∈R，x－2>”是真命题 D．“∀x∈R，x2>0”的否定是真命题 解析：选ACD.由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2>，即7>3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确． 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________． 答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0 7．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0. (1)命题p的否定为____________； (2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是____________． 解析：(1)命题“∃x∈R，x2＋2x＋a＝0”是存在量词命题，其否定为“∀x∈R，x2＋2x＋a≠0”． (2)因为“∃x∈R，x2＋2x＋a＝0”为真命题，所以Δ＝4－4a≥0，所以a≤1. 答案：(1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0　 (2){a|a≤1} 8．写出下列命题的否定： (1)若xy＝0，则x＝0或y＝0； (2)若x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0. 解：(1)命题的否定为：若xy＝0，则x≠0且y≠0. (2)命题的否定为：若x2＋y2＝0，则x≠0或y≠0. 【综合运用】 9．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　 ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 答案：D 10．(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　 ) A．∃x∈Z，1<4x<3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈R，x2＋3x＋2＝0 解析：选ABC.命题的否定为真命题等价于原命题为假命题．对于A，由1<4x<3，得<x<，这样的整数不存在，故A为假命题，其否定为真命题， A符合；同理选项B，C为假命题，其否定为真命题，B，C符合；由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，故D为真命题，其否定为假命题，故D不符合． 11．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围，乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________(填“是”或“否”). 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的． 答案：是 【创新探索】 12．运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌．王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌 ”，结果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙分别获得________、________、________牌． 解析：先设王老师猜对的是“甲得金牌 ”，则“乙不得金牌 ”是错的，故乙也得金牌，产生矛盾．再设“乙不得金牌 ”是对的，则“甲得金牌 ”是错的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得铜牌”是错的，故丙得铜牌，产生矛盾．故猜对的是“丙不得铜牌 ”，此时甲、乙、丙分别获得铜、金、银牌． 答案：铜　金　银 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $