山东省聊城第一中学2026届高三下学期周末测试（二）数学试题

**基本信息** 2026届高三数学周测试卷，以函数、几何、概率等核心知识为载体，通过华罗庚名言（文化传承）、人工智能语音识别（科技前沿）等情境，考查数学眼光、思维与语言，梯度覆盖基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、双曲线离心率、函数奇偶性等|第5题借函数图像识别考查数形结合（数学眼光）| |填空题|3题15分|三角函数最值、切线方程、停车概率|第14题以停车场情境考查古典概型（数学语言）| |解答题|5题77分|数列求和、导数证明、概率决策、椭圆定点、立体几何|第17题结合AI测试方案决策，用全概率公式与期望考查数学思维，贴合高考应用趋势|

2026届高三下学期周末测试（二） 数学试题 一、选择题:本题共8小题,每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的. 1. 设 ( 为虚数单位),则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 3. 设 为双曲线 的右焦点. 已知 成等差数列,那么双曲线 的离心率等于 ( ) A. B. C. D. 2 4. 已知函数 ,则 “ ” 是 “ 为偶函数” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微. 数形结合百般好，隔离分家万事休. ”在数学的学习和研究中. 有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征. 已知函数 的部分图象如图所示,则函数 的解析式可能为 ( ) A. B. C. D. 6. 已知动圆 的圆心在直线 上,半径为 ,若直线 被圆截得的弦长为定值，则该定值为 ( ) A. B. C. 1 D. 2 7. 已知 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 满足 ,则 的最大值为 ( ) A. 1 B. 2 C. D. 8. 设 ,已知 ,且 ,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 若 表示不同的平面, 表示直线,则下列条件能得出 的是 ( ) A. 平面 内存在一条直线垂直于平面 B. C. D. 10. 已知抛物线 的顶点为 ,焦点为 ,点 是抛物线 上一动点,则下列说法正确的有 ( ) A. B. 的准线方程为 C. D. 的最大值为 75 11. 已知 是 的边 上的点,其中 ,且 ,则 的面积的可能取值为 ( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 当 时,函数 取得最大值,则 _____. 13. 曲线 在点 处的切线方程为_____. 14. 如图，某停车场有 2 行 4 列共 8 个停车位，现有 2 辆红色汽车和 2 辆黑色汽车要停车, 则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 设数列 的前 项和为 ,且 ,数列 满足 ,点 在直线 上, . (1)求数列 ， 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 16. (本小题满分 15 分) 已知函数 ,函数 与函数 的图象在交点 处有公共切线. (1)求 ， 的值； (2)证明: . 17. (本小题满分 15 分) 在某人工智能语音识别系统的开发过程中, 每次测试语音识别成功的概率受环境条件 (安静或嘈杂) 的影响. (1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为 0.8 ；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为 0.6 . 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为 0.3 ，处于嘈杂环境的概率为 0.7 . (i) 求测试结果为语音识别成功的概率; (ii)已知测试结果为语音识别成功,求当天处于安静环境的概率. (2)已知当前每次测试成功的概率为 0.7 ，每次测试成本固定，现有两种测试方案:方案一是测试 4 次; 方案二是先测试 3 次, 如果这 3 次中成功次数小于等于 2 次, 则再测试 2 次, 否则不再测试. 为降低测试成本, 以测试次数的期望值大小为决策依据, 应选择哪种方案? 18. (本小题满分 17 分) 已知点 在椭圆 上，椭圆的右焦点 ，直线 过椭圆的右顶点 ,与椭圆交于另一点 不与左顶点重合),与 轴交于点 . (1)求椭圆 的方程. (2)若 为弦 的中点，是否存在定点 ，使得 ? 若存在，求出点 的坐标；若不存在, 请说明理由. (3)若 且交椭圆 于点 ，求 的取值范围. 19. (本小题满分 17 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为长方形， ， 为 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)点 为底面 所在平面内的任意一点(点 在长方形 外， 和 均为锐角)，且 . (i) 若平面 与平面 的夹角为 ，求 的最大值. (ii) 请判断是否存在点 ，使得五棱锥 存在外接球，若存在，求出外接球的半径; 若不存在, 请说明理由. 数学学科参考答案、详细解析以及评分标准 1. D 【解析】因为 ,故选 D. 2. A 【解析】因为 , 故 . 故选 A. 3. B 【解析】由题意知 , 即 , 则 , 所以 ,即 . 由于 ,解得 . 故选 B. 4. A 【解析】当 时, , 因为 , 所以 为偶函数. 当 为偶函数时, , 综上,“ ” 是 “ 为偶函数” 的充分不必要条件. 故选 A. 5. B 【解析】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数, 而 D 中的函数为偶函数, 故排除 D. 由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集, 故排除 C. 对于 ,当 时, ,不符合,故排除 . 故选 B. 6. D 【解析】设动圆 的圆心坐标为 , 则圆心 到直线 的距离 因为直线 被圆截得的弦长为定值, 所以圆心 到直线 的距离 也为定值,则 ,即 ,此时 , 所以弦长为 . 故选 D. 7. 【解析】如图,设 ,且 , 为线段 的中点, 则 . 因为 , 则 ,则点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆, 因此, 的最大值就是该圆的直径 . 故选 C. 8. C 【解析】由题意得 , 故 , 故 , 故 由于 ,故 . 故选 C. 9. 【解析】因为 ,则 与 可能平行或垂直，也可能只相交不垂直，不能得出 ，故 D 不正确，其他选项均能得出 . 故选 ABC. 10. 【解析】连接 ,直线 的方程为 ,即 , 而垂直于 的直线的斜率为 ,这也是准线的斜率. 设准线方程为 ,即 , 又因为顶点 到准线的距离等于 , 因此 , 解得 ,所以准线方程为 , 根据抛物线性质可知 ,因此 正确，B错误. 因为点 是抛物线 上一点, 根据抛物线定义得 整理可得 , 则 , 所以 , 解得 ,故 正确. 由选项 可知 , 当且仅当 时等号成立, 但此时 ,因此无法取到等号,故 错误. 故选 AC. 11. AB 【解析】由面积公式可得 因为 , 所以 . 因为 ,所以 . 建立如图所示的平面直角坐标系,则 , . 设 ,又 , 则 , 整理得到 , 即点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆, 故 的 边上的高的取值范围是 . ,故其面积的取值范围是 . 故选 AB. 12. 【解析】 , 令 , 则 . 因为当 时,函数 取得最大值, 所以 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 , 故答案为 . 13. 【解析】对 求导可得 则曲线 在点 处的切线方程的斜率为 . 又 ,则切线方程为 . 故答案为 . 14. 【解析】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数. 第一步:停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选, 由于两辆红色汽车可以互换,故有 24 种. 第二步:停黑色汽车，分成两种情况: 若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列, 则另一辆黑色汽车有 3 种停法, 若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有 2 种停法, 此时另一辆黑色汽车有 2 种停法, 由于两辆黑色汽车可以互换,故有 种. 因此, 相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况共有 种,8 个车位停入 4 辆车共有 种情况, 所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 . 故答案为 . 15.【解析】(1) 由 得 , 两式相减得 , 即 . 2 分又 ,所以 . 故数列 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 . 4 分因为点 在直线 上, 所以 , 则数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 则 . 6 分 ( 2 )因为 ， 所以 , 则 , 8 分两式相减得 , 11 分 所以 . 13 分 16.【解析】(1) , 4 分由题意得 解得 . 6 分 (2)令 8 分 则 分令 ,得 , 令 ,得 , 所以 在 上为增函数,在 上为减函数, 所以 , 13 分所以 ,即 . 15 分 17.【解析】(1)记事件 为“某天进行测试时处于安静环境”,事件 为“某天进行测试时处于嘈杂环境”,事件 为“测试结果语音识别成功”. 2 分根据题意得 . 4 分 (i) 由全概率公式得 . 6 分 (ii) “已知测试结果语音识别成功,当天处于安静环境的概率”,就是在事件 发生的条件下 发生的概率, 即 . 9 分 (2)方案一的测试次数的数学期望为 分用 表示“方案二的测试次数”, 由题意得 的可能取值为 3,5 . 11 分 则 , 12 分 13 分 所以方案二的测试次数的数学期望为 . 14 分又因为 , 所以以测试次数的期望值大小为决策依据, 应选择方案一. 15 分 18.【解析】(1)设椭圆过点 ,且左焦点为 , 因为椭圆的右焦点 , 则 ,所以 . 由椭圆定义得 所以 , 1 分 所以 , 2 分 所以椭圆的标准方程为 3 分 (2)由题意可知，直线 的斜率存在且不为 0 ， 直线 过椭圆的右顶点 ,设另一个交点为点 . 设直线 的方程 , 联立 消去 得 , 5 分由韦达定理可知 , 则 . 代入直线方程可得 , 所以 . 7 分因为 为弦 的中点, 根据中点坐标公式可得 , 所以直线 的斜率 . 8 分 对于直线 的方程 ,令 ,则 , 假设存在定点 ,满足 , 则直线 的斜率 , 所以 , 整理得 . 由于 恒成立, 则 解得 则定点 的坐标为 . 11 分 (3)由于 ，设直线 的方程为 ， 设 ,如图, 联立 解得 . 因为 14 分 令 ,(由直线 的斜率存在且不为 0 可得 ) 因为函数 在 上单调递增, 所以 的取值范围是 . 17 分 19.【解析】(1)因为 ,所以 , 所以 ,故 . 又 平面 , 所以 平面 . 又 平面 , 所以 . 2 分 因为 , 所以 , 所以 ,即 . 又 平面 , 所以 平面 . 4 分 (2)取 的中点 ，连接 ，则 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , . 设 ,由 得 . 又点 在长方形 外, 和 均为锐角, 所以 . 6 分 可化为 两边平方后整理得 , 故 , 整理可得 . 7 分 (i) 设平面 的一个法向量为 , 因为 , 则 取 ,得 , 故 . 9 分设平面 的一个法向量为 , 因为 , 则 取 ,得 , 故 . 11 分则 令 ,则 , 所以 . 12 分因为函数 单调递增, 所以当 时, 取最大值,最大值为 . 13 分 (ii) 设 与 交于点 ,则 . 若五棱锥 存在外接球, 则球心在过点 且垂直于平面 的直线上. 设球心 ,必有 . 则 , 解得 , 则 . 又 ,所以 , 解得 或 . 16 分由题意可知 ,且 ,即 但 都不在这个范围内, 故不存在点 ,使得五棱锥 存在外接球. 17 分 学科网（北京）股份有限公司 $