山东省聊城第一中学2026届高三下学期周末测试（一）数学试题

**基本信息** 2026届高三数学周测试卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过基础题、能力题、创新题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配高三一轮复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、函数性质、解析几何|基础题（如集合运算）与中档题（双曲线离心率）结合，考查数学眼光| |填空题|3题/15分|二项式定理、三角变换、函数对称性|小切口深挖掘，如函数对称中心考查数学语言表达| |解答题|5题/77分|解三角形、概率分布、圆锥曲线、立体几何、创新定义|第18题翻折问题考查空间观念，第19题“轮换式”新定义题培养创新意识，贴合高考命题趋势|

2026届高三下学期周末测试（一） 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 设全集为 R,集合 或 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 若 ( 为虚数单位),则 ( ) A. 2 B. C. 3 D. 3. 下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的是 ( ) A. B. C. D. 4. “ ” 是 “ ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知过定点 的直线 与过定点 的直线 交于点 (点 与点 不重合),则 的面积的最大值为 ( ) A. 4 B. C. 2 D. 6. 在平面直角坐标系 中,已知 为双曲线 的右顶点,以 为直径的圆与 的一条渐近线交于另一点 ,若 ,则 的离心率为 ( ) A. 4 B. C. 2 D. 7. 已知 为 的外心,且 . 若向量 在向量 上的投影向量为 ,其中 ,则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 8. 某个圆锥形容器的轴截面是边长为 4 的等边三角形,一个表面积为 的小球在该容器内自由运动, 则小球能接触到的圆锥形容器内壁的总面积为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 有一组样本数据 满足 ,则下列结论正确的有 ( ) A. 该样本数据的中位数是 B. 该样本数据的极差是 C. 该样本数据去掉 后的方差变小 D. 该样本数据去掉 后的平均数可能不变 10. 已知函数 ,则下列结论正确的有 ( ) A. 在区间 上单调递增 B. 函数 是奇函数 C. 过点 可作曲线 的两条切线 D. 当 时,满足 11. 对于 ,将 表示为 ,其中 . 记 为上述表示中 为 0 的个数 (例如 ,则 ),则下列结论正确的有 ( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 从二项式 的展开式中随机抽取一项,该项的系数是奇数的概率为_____. 13. 已知 为第一象限角， ，则 _____. 14. 已知定义在 上的函数 与 的图象关于直线 对称,且函数 为奇函数，则函数 的图象的对称中心是_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 中,内角 的对边分别为 ,且 . (1)求角 的大小； (2)若 ， 的面积为 ，求 边上的高. 16. (本小题满分 15 分) 袋中装有 4 个红球和 2 个黑球, 第一次随机取出 1 个小球, 若是红球则放回, 否则不放回. (1)第二次随机取出 1 个小球, 求两次取出的球的颜色相同的概率; (2)第二次随机取出 2 个小球,记两次取出红球的个数为 ，求 的概率分布列及数学期望. 17. (本小题满分 15 分) 如图,已知抛物线 和椭圆 ,过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 两点,线段 的中垂线交椭圆 于 两点. (1)若 恰是椭圆 的焦点，求 的值； (2)若 ，且 恰好被 平分，求 的面积. 18. (本小题满分 17 分) 如图 1,在平面四边形 中, ,将 沿 翻折到 的位置,使得平面 平面 ,如图 2 所示,点 是线段 的中点. 图 1 图 2 (1)设平面 与平面 的交线为 ，求证: ； (2)求平面 与平面 所成角的余弦值； (3)设点 是线段 的中点，点 在线段 上，且 ，判断直线 是否在平面 内,并说明理由. 19. (本小题满分 17 分) 若二元代数式 满足 ,则称代数式 为“二元轮换式”,记 ; 若三元代数式 满足 ,则称代数式 为“三元轮换式”,记 . (1)若正实数 满足 ，且 ，求 的最大值； (2)若代数式 为“二元轮换式”，比较 与 的大小； (3)若对任意的正实数 ，均有 ( )，求整数 的最大值. 周测（一）数学参考答案 1.D 【解析】由题意知全集为 ,集合 , 或 , 则 , 故 ,故选 D. 2. 【解析】由 得 , 所以 , 则 . 故选 B. 3. C 【解析】因为 的定义域为 , ,在区间 上, 为增函数, 又 ,所以 符合条件. 故选 C. 4. A 【解析】由 得 则 , 当 时, , 所以 “ ” 可以推出 “ ”, 但 “ ” 推不出 “ ”, 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件，故选 A. 5. B 【解析】将动直线 化为 ,可知定点 . 将动直线 化为 令 解得 ,可知定点 . 又 , 所以直线 与直线 互相垂直， 为交点. 因为 ,所以 则 ,当且仅当 时等号成立, 即 的面积的最大值为 . 故选 B. 6.C 【解析】由题意得 ,双曲线的一条渐近线方程为 , 故 ,即 . 又 ,所以 , 由勾股定理得 , 即 ,解得 , 所以 ,故选 C. 7. D 【解析】因为 , 所以 . 又因为点 为 的外心, 所以 为直角三角形且 为斜边 的中点. 如图,过点 作 的垂线 ,垂足为 , 因为 在 上的投影向量为 , 所以 在 上的投影向量为 又因为 , 所以 -1 . 因为 ,所以 ,故选 D. 即 的取值范围为 . 故选 D. 8. 【解析】设小球的半径为 , 则小球的表面积为 ,解得 . 在圆锥内壁侧面, 小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示: 因为小球的半径 , 所以 . 又 都是等边三角形, 则 , 所以圆台的上、下底面圆的半径分别为 , ,母线长 , 因此圆台的侧面积为 , 在圆锥底面,小球接触到的区域是一个圆,其半径为 ,面积为 所以所求总面积为 . 故选 B. 9. ABD 【解析】对于 AB，因为 ， 故这组数据的中位数是中间两个数的平均数, 即 ,故 A 正确. 因为极差是最大的数与最小的数之差,即 ,故 正确. 对于 ,这组样本数据去掉 后的方差可能变大、变小或不变, 如 的值无限接近于 90，则原数据的方差为 而去掉 后的数据的方差为 在这种情况下方差变大,故 错误. 若 恰好等于原数据的平均数,则去掉 后的平均数不变, 故 D 正确. 故选 ABD. 10. BCD 【解析】对于 ,由题意可知 , 由 解得 ,所以 在区间 上单调递减，故 A 错误. 对于 ,记 ,所以函数 +1 为奇函数，故 B 正确. 对于 ,设切点坐标为 ,则切线斜率为 ,且 ,所以切线方程为 . 又切线过点 ,所以 整理得 ,解得 或 , 所以过点 可作两条直线与曲线 相切,故 正确. 对于 ,记 , 当 时,若 恒成立,则 ,解得 , 所以当 时, 恒成立,故 D 正确. 故选 BCD. 11. AC 【解析】对于 A，因为 ,所以 ,故 正确. 对于 ,当 时, ,所以 ,不符合,故 错误. 对于 ,设 - ,所以 ,增加了 ,两项系数为 0,所以 ,故 正确. 对于 ,因为 ,所以 ,故 D 错误. 故选 AC. 12. 【解析】因为 . , 展开式共 7 项, 其中有 4 项的系数为奇数, 故所求概率为 . 13. 【解析】由 得 解得 或 . 又 为第一象限角,所以 , 所以 . 14. 【解析】因为 为奇函数， 所以 , 即 , 故 的对称中心为 , 即 . 由于函数 与 的图象关于直线 对称,且点 关于直线 对称的点为 , 故函数 的图象的对称中心为 . 15.【解析】(1)因为 , 由正弦定理可得 , 所以 . 3 分因为 ,所以 , 所以 . 因为 , 所以 ,即 . 7 分 (2)如图，过点 作 的延长线于点 ， 设 . 因为 , 所以 . 10 分由余弦定理可知 . 而 , 解得 , 所以 边上的高为 . 13 分 16.【解析】(1)设事件 为“第一次抽取红球”,事件 为 “第二次抽取红球”,事件 为 “第一次抽取黑球”,事件 为 “第二次抽取黑球”, 2 分 则 , 所以两次取出的球的颜色相同的概率为 . 7 分 (2)由题意可得随机变量 的可能取值为 1 , 2,3, 当 时,满足的情况有第一次抽取一个红球, 第二次抽取两个黑球; 第一次抽取一个黑球, 第二次抽取一个黑球和一个红球, 则 . 当 时,满足的情况有第一次抽取一个红球, 第二次抽取一个黑球和一个红球; 第一次抽取一个黑球, 第二次抽取两个红球, 则 . ... 11 分当 时,满足的情况有第一次抽取一个红球, 第二次抽取两个红球, 则 . 13 分可得 的分布列如下: 1 2 3 14 分 所以 . 15 分 17.【解析】(1) 在椭圆中， ， 所以 . 2 分 由 得 . 4 分 (2)设直线 ， 联立 消去 得 , 6 分 ,则 设 的中点为 , 则 . 8 分设 ,则直线 的斜率为 ,即 . 因为 , 两式相减得 , 即 ,即 , 解得 . 11 分由点 在椭圆内得 , 解得 . 因为 ,所以 , 13 分所以 的面积 15 分 18.【解析】(1) 依题意得 . 因为 ，所以 . 由于平面 平面 ，且平面 平面 平面 , 所以 平面 . 3 分因为 是平面 与平面 的交线, 所以 平面 , 故 . 4 分 (2)由(1)知 平面 ，则 平面 ,而 ,以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,如图所示, 由题意可得 , 所以 分设平面 的一个法向量为 , 则 令 ,可得 . 易得平面 的一个法向量为 . 8 分 设平面 与平面 所成角为 , 则 , 即平面 与平面 所成角的余弦值为 . 11 分 (3)因为 是 的中点，所以 . 又点 在 上,且 , 则 , 所以点 的坐标为 . 又 , 13 分设平面 的一个法向量为 , 则 令 ,可得 . 15 分又 ,所以 , 则 不与平面 的法向量垂直，即 不在平面 内. 17 分 19.【解析】(1)因为正实数 满足 , 所以 ,即 , 所以 . 2 分 又 ,所以 , 所以当 即 时, 取得最大值 . 3 分 (2)依题意可得 ，即 ， 由对称性不妨假设 , 令 ,则 , 则有 . 4 分 设 , 则 , 所以 在 上单调递增, 则有 , 6 分所以 ,即 , 即 ,即 , 综上, . 7 分 (3)已知对任意的正实数 ，均有 不妨设 是 中的最小值,则令 ,其中 . 将 代入不等式并化简可得 8 分 若 或 ,则不等式对任意实数 均成立. 因为 , 所以要使不等式成立, 即要 对任意实数 均成立. 9 分若 ,设 . 当 时,不等式 可整理为 . 设 , 变形可得 . 10 分 则 , 令 ,则 . 因为 , 所以 , 即 在 上单调递增. 12 分令 ,即 , 化简可得 . 令 ,则 , 解得 ,即 . 则存在 ,且 , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 . 因为 ,所以 , 则 , 所以 . 14 分 又因为 ,所以 , 则 . 因为 ,所以 , 所以 , 所以 ,所以 . 16 分当 时，不等式 可整理为 , 此时 , 所以当 时,不等式恒成立. ····——— 17 分综上,整数 的最大值为 2 . 学科网（北京）股份有限公司 $