第3章 圆锥曲线与方程暑假单元测试-2026-2027学年新高二苏教版数学暑假进阶

**基本信息** 本单元卷聚焦圆锥曲线与方程，以文化情境与分层设计为特色，适配高中暑假单元复习，全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|椭圆形状、双曲线离心率与渐近线、抛物线焦点|第4题以故宫椭圆提盒为情境，体现文化传承与几何直观| |多选|3/18|椭圆标准方程、抛物线焦点弦性质|考查椭圆动点距离最值，强化推理意识| |填空|3/15|抛物线焦点坐标、双曲线轨迹方程|聚焦基础概念，培养抽象能力| |解答|5/77|直线与抛物线位置关系、椭圆与双曲线综合应用|第18题通过面积最值与定点证明，考查模型观念与创新意识，贴合高考命题趋势|

第3章 圆锥曲线与方程暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 2．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为. 由题意可知一条渐近线斜率为，因此，即. 根据双曲线参数的基本关系，将代入得： ， 即. 由离心率定义，代入得 3．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的标准方程为，则， 其渐近线方程为：． 4．如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【答案】B 【解析】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则， 故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 5．已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把点坐标代入的方程可得， 所以，故点， 则直线的斜率为， 于是，转化为一般方程为． 6．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 7．已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线的焦点，若是与的一个交点，，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由题意可知，，且， 过点往抛物线的准线上作垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，由椭圆的定义可知，， 因为，所以，，则， 在中利用余弦定理得， 得，得或， 故或，则的方程为或. 8．已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，当时，曲线，即， 其焦点为； 当时，曲线，即， 其焦点为. 易知点关于轴的对称点在抛物线位于第四象限的部分，且在直线上， 所以. 设， 由抛物线的定义知，，所以，，所以， 所以直线的斜率为， 直线的方程为， 由，得， 所以，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 10．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 11．已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 【答案】BCD 【解析】对于A， 抛物线得，所以准线方程，故A错误； 对于B，，所以， 故B正确； 对于C，抛物线的焦点的坐标为 ，设直线方程为. 联立方程，消去得. 由韦达定理得，. . 因为，所以. 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，设中点为，则. 点到准线的距离. 又因为， 在中， ， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线 的焦点坐标为 ______ 【答案】 【解析】由，得，得抛物线的焦点坐标为． 13．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【解析】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 14．已知曲线 分别是曲线 的左、右焦点，点 是曲线 与 在第一象限的交点，点 在 上的投影是点 . 若 ， 则曲线 的离心率是_____. 【答案】/ 【解析】由点在上的投影是点， 得 ， ，得 ， 设 ，则 由，得，则 ， 整理得，即，所以曲线的离心率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 【解析】（1）抛物线：，焦点为， 设直线为，与抛物线联立方程，得， 得，所以线段中点的横坐标为（定值）. （2）设直线的方程为，与抛物线联立方程， 得，， ，得， 所以直线方程为. 16．（15分） 已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已知，可得，解得． （2）由已知、， 设椭圆方程为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． （3）如图： 联立， 消去，得， 双曲线与直线相交于相异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意：， 当时，；当时，， 所以的取值范围是． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，点，在椭圆∶上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值． 【解析】（1）由题意有，解得， 故椭圆的标准方程为． （2）若直线斜率不为0，设直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立， 得，显然， 设，，于是由韦达定理可得： ，（*）， 因为，即，则 ，， 将（*）代入，得 整理得． 由的任意性，可得， 若直线斜率为0，取，此时，也满足题意． 故所求． 18．（17分） 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【解析】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 19．（17分） 已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【解析】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一： 由（1）知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 ， 联立，解得，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二： 由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心； 当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 答案第14页，共15页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线与方程暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 5．已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线的焦点，若是与的一个交点，，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 8．已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 11．已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线 的焦点坐标为 ______ 13．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 14．已知曲线 分别是曲线 的左、右焦点，点 是曲线 与 在第一象限的交点，点 在 上的投影是点 . 若 ， 则曲线 的离心率是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 16．（15分） 已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，点，在椭圆∶上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值． 18．（17分） 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 19．（17分） 已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $