第2章 圆与方程测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第2章　圆与方程 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以点(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为(　　) A.4,-6,3 B.-4,6,3 C.-4,-6,3 D.4,-6,-3 3.已知圆C的圆心在直线y=6x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点(-2,3),则圆C的方程为(　　) A.(x+1)2+(y+6)2=18 B.x2+y2=18 C.(x-1)2+(y-6)2=18 D.(x-1)2+(y-6)2=12 4.过点A(0,2)的直线l与圆x2+y2=1相切,则直线l的倾斜角为(　　) A.30° B.60°或120° C.30°或60° D.30°或150° 5.已知M为圆(x-1)2+y2=2上一动点,则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值是(　　) A. B.2 C.3 D.4 6.由直线y=2x+5上的点向圆x2+y2=1引切线,则切线长的最小值为(　　) A. B. C.4 D.2 7.已知直线x+y+a=0与☉C:x2+(y-1)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=(　　) A.-4或2 B.-2或4 C.-1± D.-1± 8.已知M,N分别是曲线C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则PM+PN的最小值为(　　) A. B. C.2 D.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的圆的方程为(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-2)2+(y-3)2=13 C.(x-)2+(y-)2=22 D.(x-)2+(y-1)2= 10.已知圆C过点M(1,-2)且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是(　　) A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上 B.满足条件的圆C有且只有一个 C.点(2,-1)在满足条件的圆C上 D.满足条件的圆C有且只有两个,它们的圆心距为4 11.古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现了平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼奥斯圆”.在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(2,2),点P满足=2,设点P的轨迹为圆C,则下列说法正确的是(　　) A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16 B.过点A向圆C引切线,两条切线的夹角为 C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则该直线的斜率为± D.过直线3x+4y=60上的一点T向圆C引切线TM,TN,切点分别为M,N,则四边形TMCN的面积的最小值为16 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.写一条斜率为1的直线,使它与圆(x-2)2+(y-3)2=2相切,你写的是　　　　　.  13.若实数x,y满足x2+y2=4,则(x-4)2+(y+3)2的最大值是　　　　　.  14.已知圆C1:x2+y2-2x-4y+3=0,直线l:y=x-a.若直线l与圆C1和圆C2均相切于同一点,且圆C2经过点,则圆C2的标准方程为　　　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知点A,B,求: (1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程; (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程. 16.(15分)已知圆C1:x2+(y-1)2=5,圆C2:x2+y2-4x+2y=0. (1)求圆C1与圆C2的公共弦长; (2)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程. 17.(15分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4. (1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程; (2)若直线l过点B(1,0),且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程. 18.(17分)已知直线l:x=my-1,圆C:x2+y2+4x=0. (1)设l与C的两个交点分别为A,B,弦AB的中点为M,求点M的轨迹方程; (2)在(1)的条件下,设圆C在点A处的切线为l1,在点B处的切线为l2,l1与l2的交点为Q.试探究:当m变化时,点Q是否恒在一条定直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,请说明理由. 19.(17分)定义:直线关于圆的圆心距单位λ等于圆心到直线的距离与圆的半径之比. (1)设圆C0:x2+y2=1,求过点P(2,0)的直线关于圆C0的圆心距单位λ=的直线方程. (2)若圆C与x轴相切于点A(3,0),且直线y=x关于圆C的圆心距单位λ=,求此圆C的方程. (3)是否存在点P,使过点P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1:(x+1)2+y2=1与C2:(x-3)2+(y-3)2=4的圆心距单位始终相等?若存在,求出相应的点P坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.B　2.D　3.C　4.B 5.C　解析 因为圆(x-1)2+y2=2,所以圆心坐标为(1,0),半径为,所以圆心到直线的距离d==2,所以圆(x-1)2+y2=2上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为2=3.故选C. 6.D　解析 设P为直线y=2x+5上任意一点,OPmin=,切线长的最小值为=2.故选D. 7.A　解析 ☉C:x2+(y-1)2=4的圆心C(0,1),半径r=2. 因为直线x+y+a=0与☉C:x2+(y-1)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则圆心到直线的距离为d=rsin 60°=,即d=,整理,得|1+a|=3,解得a=2或a=-4. 8.D　解析 圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0的圆心C1(2,2),半径R1=1,圆C2:x2+y2-2x=0的圆心C2(1,0),半径R2=1.设圆心C2(1,0)关于直线x+y+1=0的对称点为C'2(x,y),则 解得 故C'2(-1,-2),所以PM+PN≥PC1-R1+PC2-R2≥C'2C1-2=-2=3.故选D. 9.AB　解析 对于A,点(0,0),(4,0),(4,2)在圆(x-2)2+(y-1)2=5上,故A正确; 对于B,点(0,0),(4,0),(-1,1)在圆(x-2)2+(y-3)2=13上,故B正确; 对于C,点(0,0),(-1,1)都不在圆(x-)2+(y-)2=22上,故C错误; 对于D,点(4,0),(-1,1)都不在圆(x-)2+(y-1)2=上,故D错误. 10.ACD　解析 因为圆C和两个坐标轴都相切,且过点M(1,-2),所以设圆心坐标为(a,-a)(a>0),故圆心在y=-x的图象上,A正确;圆C的方程为(x-a)2+(y+a)2=a2,把点M的坐标代入可得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,则圆心坐标为(1,-1)或(5,-5),所以满足条件的圆C有且只有两个,故B错误;圆C的方程分别为(x-1)2+(y+1)2=1,(x-5)2+(y+5)2=25,将点(2,-1)代入可知满足(x-1)2+(y+1)2=1,故C正确;它们的圆心距为=4,D正确. 11.ABD　解析 对于A,因为点A(-4,2),B(2,2),点P满足=2,设点P(x,y),则=2,化简得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确;对于B,因为AC=8,r=4,设两条切线的夹角为α,所以sin ,得,则α=,故B正确;对于C,易知直线的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x+4),即kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线l的距离d==2,解得k=±,故C错误;对于D,由题意可得S四边形TMCN=2××4×=4,故只需求TC的最小值即可,且为点C到直线3x+4y=60的距离,即d1==8,所以四边形TMCN的面积的最小值为4=16,故D正确.故选ABD. 12.y=x+3(答案不唯一)　解析 圆(x-2)2+(y-3)2=2的圆心为(2,3),半径为,因为直线y=x+m与圆(x-2)2+(y-3)2=2相切,所以点(2,3)到直线x-y+m=0的距离d=,整理得|m-1|=2,解得m=3或m=-1,所以m的值为3或-1.故可写直线为y=x+3(答案不唯一). 13.49　解析 由题意,设P(x,y),A(4,-3),则P(x,y)为圆x2+y2=4上的点. 圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,则(x-4)2+(y+3)2表示圆上的点P(x,y)与A(4,-3)距离的平方. 又因为|PA|max=|AO|+r=+2=7,所以|PA=72=49. 故(x-4)2+(y+3)2的最大值是49. 14.(x-3)2+y2=2　解析 圆C1:(x-1)2+(y-2)2=2,圆心C1(1,2),半径为.因为圆C1与直线l:y=x-a(a>0)相切,所以,解得a=1,所以直线l:y=x-1.由解得切点为(2,1).设C2(m,n),所以　①, 且=-1　②,由①②得m=3,n=0,所以C2(3,0),所以圆C2的半径为,所以圆C2的标准方程为(x-3)2+y2=2. 15.解 (1)当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,则其周长最小, 所以圆心为AB的中点(0,1),半径r为AB=, 所以圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由 得所以圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 16.解 (1)由条件得圆C1的圆心为(0,1),半径r1=,将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程, 即(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,化简得x-y-1=0, 所以圆C1的圆心(0,1)到直线x-y-1=0的距离d=, 则两圆的公共弦长为2=2=2. (2)由题意,设过两圆的交点的圆的方程为(x2+y2-4x+2y)+λ(x2+y2-2y-4)=0,λ≠-1,则x2+y2-x+y-=0,λ≠-1.由圆心(,-)在直线2x+4y=1上,得=1,解得λ=,所以圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0,即. 17.解 (1)圆心C的坐标为(3,4),半径为2,因为直线l被圆C截得的弦长为2,所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离d=1.①当直线l的斜率不存在时,l:x=2,显然满足d=1;②当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,由圆心C到直线l的距离d=1,得=1,解得k=0,所以l:y=3. 综上,直线l的方程为x=2或y=3. (2)因为直线l过B(1,0),且与圆C相交,所以l的斜率一定存在且不为0.设直线l的方程为y=k'(x-1),即k'x-y-k'=0,则圆心C到直线l的距离d'=. 又因为△CPQ的面积S=×d'×2=d'=,所以当d'=时,S取最大值2,由d'=,得k'=1或k'=7,所以直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0. 18.解 (1)圆C:x2+y2+4x=0的圆心为C(-2,0). 设点M(x,y),由垂径定理,得kCM·kl=-1,即=-1, 化简,得x2+y2+3x+2=0, 所以点M的轨迹方程为x2+y2+3x+2=0. (2)设点Q(x0,y0). 由题意,得Q,A,B,C四点共圆,且圆的方程为(x-x0)(x+2)+(y-y0)y=0, 即x2+y2+(2-x0)x-y0y-2x0=0. 与圆C的方程x2+y2+4x=0联立,整理,得(x0+2)x+y0y+2x0=0,即直线l的方程. 因为直线l:x=my-1过定点(-1,0),所以2x0=x0+2,解得x0=2. 所以当m变化时,点Q恒在直线x=2上. 19.解 (1)设过点P(2,0)的直线方程为y=k(x-2). 圆C0:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1. 由题意,得,解得k=±,即所求直线为y=±(x-2). (2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由题意,得(3-a)2+b2=r2①, |b|=r②,r③, 解得a=3,b=-3,r=3或a=3,b=1,r=1. 则圆C的方程为(x-3)2+(y+3)2=9或(x-3)2+(y-1)2=1. (3)假设存在点P(m,n),设过点P的两直线为y-n=k(x-m)和y-n=-(x-m). 又C1:(x+1)2+y2=1的圆心为(-1,0),半径为1,C2:(x-3)2+(y-3)2=4的圆心为(3,3),半径为2, 所以, 化简,得k(2m+n-1)+(m-2n-3)=0或k(2m-n+5)+(3-m-2n)=0, 即有 解得则存在这样的点P(1,-1)和(-),使得过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的圆心距单位始终相等. 7 学科网（北京）股份有限公司 $