辽宁大连市第八中学2025-2026学年高一下学期4月份阶段测试数学试题

**基本信息** 融合文化传承与现实应用，梯度覆盖三角函数、向量等核心知识，通过八卦图、摩天轮等情境考查数学眼光与建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|时针弧度、象限角、向量夹角等|第7题以《易经》八卦图考向量最值，体现文化数学化| |多选题|3/18|函数化简、向量垂直、高斯函数|第11题结合高斯函数考周期性与对称性，深化数学思维| |填空题|3/15|三角函数单调性、向量夹角范围|第14题三角图标考线性规划，关联空间观念| |解答题|5/77|方程根、扇环形面积、摩天轮高度模型等|第17题摩天轮高度问题，通过建模考查数学语言表达现实世界能力|

2025-2026学年度下学期高一年级4月份阶段测试 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.一场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 2.已知是第二象限角，则点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.“点的坐标为（）”是“点为函数图象的对称中心”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知和的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 5.为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 6.若，，则（ ） A. B. C. D. 7.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典.如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8.已知函数（），将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数，则的化简结果可能为（ ） A. B. C. D. 10.若向量，满足，，则（ ） A. 与垂直 B. 与的夹角为 C. D. 在方向上的投影向量为 11.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用起名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ） A.函数的值域是 B.函数是周期函数 C.函数的图象关于对称 D.方程只有一个实数根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 的单调增区间为______. 13.若向量，，，已知与的夹角为钝角，则的取值范围是______. 14.某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知关于的方程的两个不等实根分别是和. （1）求的值； （2）若，求的值. 16.（15分）某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. （1）求关于的函数解析式； （2）记弧，的长度分别为，，求的最小值. 17.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始运行一周的过程中，开始转动后距离地面的高度为，设，，. （1）求的解析式； （2）当座舱距离地面高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客在开始运行一周的过程中，处于“震撼时刻”的时间段； （3）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴于圆的交点），在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间. 18.（17分）已知函数. （1）若，，求图象的对称中心； （2）已知，函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且是的一个零点，若函数（），对任意的的，存在，使得成立，求实数的取值范围. 19.如图所示，设，是平面内相交成（）的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，点，分别为，中点，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $