2.2基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2基本不等式 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1.基本不等式 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2、如果，,则或（当且仅当时取等号“=”）. （1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件． 其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立． （2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性． 2.几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 5.. 3.最值定理 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4.常用方法 （1）拼凑法：拼凑法即将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式 （2）常数替代法：①根据已知条件或其变形确定定值；②把确定的定值变形为1; ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； ④利用基本不等式求解最值. （3）消元法：通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数” 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本不等式的内容及辨析 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 5．（25-26高二下·湖北宜昌·期末）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】，，解得； . 为正项等差数列， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的最小值为. 6．（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 8．（2026·云南昆明·模拟预测）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用 【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 二、多选题 9．（25-26高一下·浙江湖州·期末）若实数，，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为6 D．的最大值为 【答案】BD 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、柯西不等式求最值 【分析】A,B,C通过均值不等式求解，D通过柯西不等式求解. 【详解】选项A，因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，错误. 选项B，，所以，正确. 选项C，因为，所以，解得， ，当且仅当时等号成立，但此时无法取到， 所以，即，错误. 选项D，由柯西不等式得，，当且仅当，即时等号成立， 所以，正确. 10．（2025高一上·安徽·竞赛）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 三、填空题 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知，则的最大值为__________. 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据题意，得出，利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以.所以当时，取最大值. 14．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 15．（2026年北京大学强基计划数学试题）若，则的最大值为________． 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】等式两边平方，结合基本不等式可求答案. 【详解】由，可得， ，当且仅当时，等号成立； 即，解得，故的最大值为. 四、解答题 16．（24-25高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 17．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 18．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）解答下列各题： (1)比较与的大小； (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时的值； 【答案】(1)； (2)的最小值为9，此时. 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用作差法比较即可； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9，此时. 19．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）若正数，，，满足，求的最小值. 【答案】. 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值. 【详解】由正数，，，满足，得正数，，，均小于， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，当且仅当，即时取等号； 同理，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以所求的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2基本不等式 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1.基本不等式 1、如果，那么 （当且仅当时取等号“=”）. 2、如果，,则或 （当且仅当时取等号“=”）. （1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 注：（1）在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件． 其中，“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的 必须为定值，“三相等”是说各项的值相等时，等号成立． （2）多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次 的一致性和不等号方向的一致性． 2.几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 5. . 3.最值定理 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记： ) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记： ) 4.常用方法 （1）拼凑法：拼凑法即将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成 为定值或 为定值的形式 （2）常数替代法：①根据已知条件或其变形确定定值；②把确定的定值变形为 ; ③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； ④利用基本不等式求解最值. （3）消元法：通常是考虑利用已知条件消去部分 后，凑出“和为常数”或“积为常数” 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖北宜昌·期末）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·云南昆明·模拟预测）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·浙江湖州·期末）若实数，，且，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为8 C．的最小值为6 D．的最大值为 10．（2025高一上·安徽·竞赛）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 11．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 12．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知，则的最大值为__________. 14．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 15．（2026年北京大学强基计划数学试题）若，则的最大值为________． 四、解答题 16．（24-25高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 17．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 18．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）解答下列各题： (1)比较与的大小； (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时的值； 19．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）若正数，，，满足，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $