3.1 圆（七大题型）练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.1 圆 题型一 求圆中弦的条数 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 题型二 求过圆内一点的最长弦 4．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为 ． 6．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 题型三 判断点与圆的位置关系 7．已知的半径为，点在外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 8．若点A在以点O为圆心，为半径的圆内，则点A到圆心O的距离d的取值范围是 ． 9．在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 题型四 利用点与圆的位置关系求半径 10．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 11．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为 ． 12．已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 题型五 已知半径和圆上两点作圆 13．已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 15．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    题型六 点与圆上一点的最值问题 16．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 17．如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为 ． 18．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 题型七 圆的周长和面积问题 19．如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 20．如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 21．学校打算在原有长为，宽为的长方形土地上设计一个长方形的蔬菜种植地和一个半圆形的小池塘，作为劳动践行园．劳动践行园除蔬菜种植地和小池塘外的地方都是绿地，且学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上．小华同学为学校提供了如图所示的设计方案：蔬菜种植地的长，宽分别是、的，小池塘的直径为． (1)用含、的式子表示下列各区域的面积： ①长方形蔬菜种植地的面积：______；②半圆形小池塘的面积：______． (2)若按照3计算，长方形土地的长与宽之间满足，请你判断小华同学的设计方案是否满足学校的要求，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 圆 题型一 求圆中弦的条数 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 2．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画出一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 题型二 求过圆内一点的最长弦 4．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 6．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的长度不变， (3)或 (4)的最大值为12，最小值为2 【分析】（1）连接，根据题意可得当A，O，B共线时，，即可求解； （2）证明，即可解答； （3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答； （4）作，且，连接，证明，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵，仅当A，O，B共线时，， 又∵最大为10，， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点B在F上方时，， 当点B在F下方时， ， ∴综上所述，的长为或； （4）解：作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为12，最小值为2． 题型三 判断点与圆的位置关系 7．已知的半径为，点在外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系是关键：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．根据点和圆的位置关系判断即可． 【详解】解：的半径为，点在外， ， 选项中只有， 的长可能是， 故选：D． 8．若点A在以点O为圆心，为半径的圆内，则点A到圆心O的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，根据点A在圆内，则点A到圆心O的距离小于半径，且距离非负，即可得出答案． 【详解】解：∵点A在内部，的半径为， ∴， 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【答案】(1)①点在外，点在内；② (2) 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解； ②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解； （2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； （2）解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 题型四 利用点与圆的位置关系求半径 10．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 11．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 12．已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 题型五 已知半径和圆上两点作圆 13．已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 14．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 15．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 题型六 点与圆上一点的最值问题 16．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，关于原点对称的点，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，当取得最大时，有最大值，当点P在的延长线上与交于点P时，最大，即可求出的最大值． 【详解】解：连接，如图： ∵点A、点B关于原点O对称， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即， 当取得最大时，有最大值， ∵点P是上的任意一点， ∴当点P在的延长线上与交于点P时，最大，如图： ∵的半径为2，圆心M的坐标为， ∴， ∴的最大值为14． 故选：C． 17．如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】17 【分析】过点C作于点H，延长交圆于点G，当点P与点G重合时，面积最大，根据勾股定理，直角三角形的面积解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，圆的性质，判断出点P处于什么位置时面积最大是解题关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵O为的斜边中点， ∴， 过点C作于点H，延长交圆于点G， 当点P与点G重合时，面积最大， ∵， ∴ ∵的半径为2， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：17． 18．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 【答案】（1）2或4（2）（3）（4） 【分析】（1）分点在圆内和圆外讨论求解即可； （2）根据材料可直接得解； （3）由题易知点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，结合材料求解即可； （4）延长交延长线于点，易证（），可得，则根据直角三角形斜边中线可知，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，则，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）当点在圆内时，由图2知，，当点在圆外时，由图1知，， 故答案为：或； （2）连接， 由题意可知当点、、依次共线时，，为最小值， 在中，， ， ， 故答案为：； （3），为中点， ， 由折叠的性质可知， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图， 当、、依次共线时，为最小值， 连接， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ∵为中点， ， ， ， 即的最小值为； （）延长交延长线于点， ， ， ， ， ， （）， ， ， 则在中，为斜边中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 则，当且仅当、、三点共线时取等， ， 最小值， 故答案为：． 题型七 圆的周长和面积问题 19．如图，在半径为的圆形铁片中挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，圆的面积的计算，理解数量关系是关键． 根据圆的面积的计算方法列式求解即可． 【详解】解：， 故选：C ． 20．如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 21．学校打算在原有长为，宽为的长方形土地上设计一个长方形的蔬菜种植地和一个半圆形的小池塘，作为劳动践行园．劳动践行园除蔬菜种植地和小池塘外的地方都是绿地，且学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上．小华同学为学校提供了如图所示的设计方案：蔬菜种植地的长，宽分别是、的，小池塘的直径为． (1)用含、的式子表示下列各区域的面积： ①长方形蔬菜种植地的面积：______；②半圆形小池塘的面积：______． (2)若按照3计算，长方形土地的长与宽之间满足，请你判断小华同学的设计方案是否满足学校的要求，并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)小华同学的设计方案满足学校要求，理由见详解． 【分析】本题主要考查长方形和圆的面积公式的应用，以及代数式的运算和比较大小．解题的关键在于准确运用长方形面积公式和圆的面积公式来计算各区域面积． （1）根据题目所给的蔬菜种植地的长和宽，以及小池塘的直径与的关系，利用相应面积公式求出蔬菜种植地和小池塘的面积． （2）先求出长方形土地的面积，再求出绿地面积，然后将绿地面积与长方形土地面积的一半进行比较，判断是否满足学校要求． 【详解】（1）解：①蔬菜种植地的长为，宽为，长方形面积为：； ②小池塘是半圆形，直径为，则半径．半圆形小池塘的面积为： （2）解：小华同学的设计方案满足学校的要求，理由如下： ∵长方形土地的面积，且 ∴ ∵绿地面积为，，由（1）可知， ∴ ∵长方形土地面积的一半为 ∴ ∴绿地面积大于长方形土地面积的一半． 综上，（1）①；②；（2）小华同学的设计方案满足学校要求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $