2.2第1课时基本不等式课件(一)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“基本不等式”第一课时，涵盖概念、几何意义、应用条件及求最值等核心内容，通过“思考”环节对比重要不等式与基本不等式的成立条件，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点是分层设计典例（认识、求最值、灵活应用）与即学即练，结合“明辨是非”辨析易错点，通过作差法、分析法等多种证明方法培养数学抽象与逻辑推理，教师可系统教学，学生能夯实基础提升解题能力。

2.2　 基本不等式 第1课时　基本不等式(一) 【学习目标】 1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程.(数学抽象) 2.理解基本不等式的应用条件,能利用基本不等式求最值.(逻辑推理) 3.能够灵活应用基本不等式求最值.(逻辑推理) 一、重要不等式与基本不等式 [思考] 不等式a2+b2≥2ab与≤成立的条件相同吗?如果不同各是什么? 提示:不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;≤成立的条件是a,b均为正实数. [点睛] 基本不等式的常见变形 (1)a+b≥2(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立); (2)ab≤()2≤(a∈R,b∈R,当且仅当a=b时等号成立). 二、基本不等式的应用 已知x,y都为正数, (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值. (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值_____. 2 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)基本不等式≤中的a,b只能是具体的数.( ) 提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式. (2)当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数.( ) 提示:即≤,当且仅当a=b时,等号成立. × √ (3)不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是m=1.( ) 提示:当且仅当m=1时等号成立. (4)a+≥2(a≠0)恒成立.( ) 提示:只有当a>0时,a+≥2,当a<0时,a+≤-2. √ × 类型1 基本不等式的认识(数学抽象) 【典例1】(2026·宁德高一检测)已知实数a,b满足ab>0,则下列结论一定成立的是(　　) A.+>2 B.+ab的最小值为4 C.< D.的最小值为2 √ 【解析】选D.对于A,取a=b=1,得+=2,故A错误; 对于B,+ab=+ab+1-1≥2-1=3, 当且仅当ab=1时取等号,故B错误; 对于C,取a=b=1,得=1==1,故C错误, 对于D,≥=2,当且仅当ab=1时取等号,故D正确. 【解题有招】 基本不等式的关注点 (1)条件:a>0,b>0; (2)公式:≤; (3)常用变形:ab≤()2,a+b≥2. 【即学即练】 (2025·北京卷)已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ 【解析】选C.对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误; 对于B,D,取a=,b=,此时+=2+4=6<=8=, +=2+4=6>=4,故B,D错误; 对于C,由基本不等式可得a+b≥2>,故C正确. √ 类型2 利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算) 【典例2】(1)(一题多解)(-6≤a≤3)的最大值为(　　) A.9 B. C.3 D. 【解析】选B.方法一(基本不等式):因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式,可知≤,当且仅当a=-时等号成立. 方法二(函数法):=≤,当且仅当a=-时等号成立. √ (2)(2026·长春高一检测)已知x>0,则x++6的最小值为(　　) A.0　 B.2　 C.6　 D.8 【解析】选D.因为x>0,所以x++6≥2+6=8, 当且仅当x=,即x=1时取等号. 故x++6的最小值为8. √ 【解题有招】 利用基本不等式求最值的注意点 一正:a,b均为正数; 二定:不等式一边为定值; 三相等:不等式中的等号能取到,即a=b有解. 【即学即练】 1.当x>0时,+4x的最小值为　　　　.  【解析】因为x>0,所以>0,4x>0,所以+4x≥2=8.当且仅当=4x,即x=时,取得最小值8. 答案:8 2.已知0<x<2,则4x(12-4x)的最大值为　　　　.  【解析】因为0<x<2,所以4x>0,12-4x>0,4x(12-4x)≤[]2=36,当且仅当4x=12-4x,即x=时等号成立,所以最大值为36. 答案:36 类型3 基本不等式的灵活应用(逻辑推理) 角度1　“含有负”问题 【典例3】下面是小米同学求“y=x+的取值范围”的解题步骤: 因为x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立, 所以y=x+的取值范围为{y|y≥2}. 请问小米同学解的正确吗?为什么? 【解析】不正确.小米同学只考虑了x>0的情况,忽视了x<0的情况,正确的步骤应为: (1)当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立; (2)当x<0时,x+=-[(-x)+]≤-2=-2, 当且仅当x=,即x=-1时,等号成立. 所以y=x+的取值范围为{y|y≥2或y≤-2}. 【解题有招】 “含有负”问题的解题步骤 当a<0,b<0时,也可以利用基本不等式求最值,其步骤为: (1)各项提取“负号”,化负为正利用基本不等式; (2)利用不等式的性质,改变不等号的方向,求得最值. 【即学即练】 已知x<0,则3x+的最大值为　　　　.  【解析】因为x<0,所以-x>0.则3x+=-[+(-3x)]≤-2=-12,当且仅当=-3x,即x=-2时,3x+取得最大值为-12. 答案:-12 角度2　“凑定值”问题 【典例4】(1)已知x>-2,则x+的最小值为　　　　　.  (2)已知0<x<1,则x(1-2x)的最大值为　　　　　.  【解析】(1)由于x+=x+2+-2≥2-2=4, 当且仅当x+2=(x>-2),即(x+2)2=9,即x=1时等号成立, 所以x+的最小值为4. (2)因为x(1-2x)=2x(-x)≤2[]2=2·()2=, 当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.故x(1-2x)的最大值为. 答案:(1)4　(2) 【解题有招】 拼凑法求最值的解题策略 拼凑法求解最值,其实质就是先对代数式变形拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值. 【即学即练】 1.(2026·海口高一检测)已知x>1,则4x+的最小值为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.10 【解析】选C.由x>1得x-1>0,4x+=4(x-1)++4≥2+4=8, 当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立, 故4x+的最小值为8. √ 2.设0<x<,则4x(3-2x)的最大值为　　　　.  【解析】因为0<x<,所以3-2x>0, 所以4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2[]2=. 当且仅当2x=3-2x,即x=时,取“=”. 答案: 角度3　“分式型”问题 【典例5】(易错·对对碰) (1)已知x>-1,则的最小值为　　　　.  (2)已知x>-1,则的最大值为　　　　. 【解析】(1)=(x+1)++10, 因为x>-1,所以x+1>0,所以(x+1)++10≥2+10=16, 当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立.故所求最小值为16. (2)y==, 因为x>-1,所以x+1>0,所以y≤, 当且仅当x+1=,即x=-1时,等号成立. 故所求最大值为. 答案:(1)16　(2) 【解题有招】 求“分式型”代数式最值的策略 根据“分式型”代数式的特点,拆分成能利用基本不等式求最值的形式. 【即学即练】 (2026·菏泽高一检测)函数y=(x>1)的最大值为(　　) A.1　 B.-1　 C.3　 D.-3 【解析】选D.令t=x-1>0,得x=t+1,则y==-(t+)-1≤-2-1=-3, 当且仅当t=1,即x=2时,取等号,所以函数y=(x>1)的最大值为-3. √ 教材深一度 基本不等式的证明方法 (链接教材P45探究) 　　基本不等式的证明方法很多,教材上给出了分析法与图示法两种证明方法,意犹未尽的同学可以阅读下面总结的证明方法. 1.作差法 -≥0,即≥,当且仅当a=b时,等号成立. 2.分析法 要证≤,只需证2≤a+b, 只需证2-a-b≤0,只需证-(-)2≤0, 显然(-)2≥0成立,当且仅当a=b时,等号成立. 3.图示法(一) 如图≤,当且仅当a=b时,取“=”.   4.图示法(二)   如图,≤,当且仅当a=b时,取“=”. 5.图示法(三)   如图,≤+,当且仅当a=b时,取“=”. 6.图示法(四)   如图,≥+⇒2(a+b)≥(+)2⇒≥, 当且仅当a=b时,取“=”. $