【最后一卷】2026年广东省中考数学模拟试卷

**基本信息** 2026年广东省中考数学模拟卷，以高州旅游、智慧农业等地方真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，凸显数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数运算、图形对称、统计量、几何计算|结合《哪吒》票房考科学记数法，窗花剪纸考对称图形，体现文化传承| |填空题|5/15|因式分解、方差、折叠问题|矩形三次折叠综合几何直观与空间观念，考查抽象能力| |解答题（一）|3/21|分式化简、一次函数、统计概率|“河滩清洁”行程问题考函数应用，体能测试统计考数据意识| |解答题（二）|3/27|圆的切线、方程应用、黄金三角形|“小东江观景台”考圆的切线证明，国旗五角星探究黄金比，培养推理能力| |解答题（三）|2/27|函数与几何综合、四边形综合|调蓄池扩建考函数最值，物流网络四边形综合考模型意识，体现创新应用|

2026年广东省中考数学模拟试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2026﹣1的相反数为（　　） A．2026 B．﹣2026 C． D． 2．《哪吒之魔童闹海》作为中国首部破百亿电影，登顶全球影史票房榜第五名，截止2026年4月17日，总票房大约为156.98亿元，数据156.98亿用科学记数法表示为（　　） A．156.98×108 B．1.5698×109 C．1.5698×1010 D．1.5698×1011 3．窗花是中国古老的汉族传统民间艺术之一，深受国内外人士所喜爱．下列窗花剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如表是今年高州市“五一小长假”的几个热门旅游景区的票价一览表，下列说法中不正确的是（　　） 景区名称 玉湖风景区 仙人洞风景区 粤龙山风景区 古郡越野 古郡水上乐园 票价（元） 28 184 28 100 80 A．平均数是84 B．中位数是100 C．众数是28 D．极差是156 5．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 6．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 7．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x＝﹣2 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠0 8．如图，点D是∠ABC平分线上的一点，DF∥BC交AB于点F，DE⊥BC于点E，若∠ABD＝15°，BF＝4，则DE的长为（　　） A． B．2 C．1 D． 9．高州市开展双创工作，城建局计划对市中心一块正方形的空地美化，设计如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形花圃，其余部分铺上鹅卵石．喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为80m2，设水池半径为xm，可列出方程（　　） A．（2x+8）2﹣πx2＝80 B．（x+8）2﹣2πx2＝80 C．（2x+4）2﹣2πx2＝80 D．（2x+8）2﹣2πx2＝80 10．如图是茂名市滨海新区规划建设的“智慧农业示范园”，其中一块菱形试验田ABCD边长为2米，设计角∠ABC＝60°．如图2，为适应季节性作物轮作，需折叠田埂∠ABC和∠ADC，使两角顶点重合于田地对角线BD上的调节点P，EF、GH为折叠后新田埂，设BE＝x（0＜x＜2）米．下列判断正确的是（　　） ①当x＝1时，米； ②田埂总长度EF+GH随x变化而改变； ③折叠后六边形种植区AEFCHG的最大面积为平方米； ④六边形种植区AEFCHG的周长保持不变． A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若实数a、b满足，则ab＝　 　． 12．分解因式：x4﹣1＝　 ． 13．某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是　 　． 14．已知x＝3y+2，则代数式2x﹣6y+1的值是　 　． 15．如图，将一个矩形纸片ABCD三次折叠：第一次沿折线DE折叠，使角A落在边DC的点A′；第二次展开后沿折线EF折叠，使角A落在折痕DE的点G；第三次沿折线CE折叠，使角B恰好落在折痕DE的点H．已知折叠后，纸片无拉伸，则AB＝ 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）先化简，再从不等式3x﹣7＜8的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值． 17．（7分）在高州市曹江镇新开发了一个旅游景点“高州第一滩”，今年的“五一劳动节”假期吸引了大量的游客前往游玩，但是也留下了很多废弃的垃圾，由此党委镇政府也成立了“河滩清洁行动”小组．现有甲、乙两支志愿者队伍同时从河滩入口出发前往不同区域清理垃圾．甲队出发1分钟后乙队才出发，y（米）表示两队离河滩入口的距离，x（分钟）表示甲队行走的时间．图中两条直线分别表示甲、乙两队离河滩入口的距离y与甲队行走时间x的函数关系． （1）求甲队离河滩入口的距离y甲与行走时间x的函数关系式． （2）若河滩上有一处距离入口800米的区域垃圾较多，问哪支队伍先到达该区域？早到几分钟？ 18．（7分）为助力茂名市创建“全国文明城市”，某中学积极响应全民健身号召，在“五四青年节”期间组织全校学生参与体能达标测试，随机抽取部分学生成绩进行统计，将结果分为A，B，C，D四个等级，绘制如图图表．请结合图表信息解答问题： 成绩等级频数分布表 成绩等级 频数 A 24 B 10 C x D 2 合计 y （1）根据创文工作要求，达标率需高于90%．请补全表格x＝　 　，y＝　 　，并计算扇形图中表示C等级的圆心角度数为　 　度； （2）为选拔学生代表参加“茂名市青少年体育竞赛”，学校需从A等级的甲、乙、丙三名学生中随机抽取两人组队．请用列表法或树状图法，求恰好抽到甲和乙的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）如图1，位于茂名市滨海新区的“小东江观景台”呈圆形，其直径AC为江面主景观轴，AB是连接观景台入口的弧形步道．点D为江畔的“灯塔广场”，经测量发现∠DCB＝∠A（视角与观景台结构角相等）． （1）请证明：DC与⊙O相切． （2）如图2，为优化景区路线，规划部门将灯塔广场与步道端点B及观景台中心O连接，新增道路DB、OD，并测得主景观轴长度AC＝DC＝DB．证明：OD∥AB． 20．（9分）三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共30套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵80元． （1）若用7500元购买护肤套装与用6000元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； （2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 21．（9分）综合与实践： 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC． （1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE＝　 　°，设AC＝2，BC＝x，那么DC＝　 　（用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比值为．这个比值被称为黄金比．请在（1）的条件下证明：． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形． （3）如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，AB＝4．求这个菱形较长对角线的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池ABCD进行扩建，原池长AD＝4m，宽AB＝1m（如图①）．改造后形成调蓄池ABNM（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾；同时新建周长为12m的防洪滞洪池EFGH（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边AD扩建长度为DM＝xm（x＞0），扩建后蓄水面积为y1m2，则y1＝x+4（x＞0）；设滞洪池EFGH的边EF长为xm（0＜x＜6），滞洪面积为y2（m2），则y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．两函数图象如图③． 【问题解决】 （1）若滞洪池的滞洪面积随EF长度增加而减小，则EF的取值范围是　 　，滞洪池的最大调洪容量为　 　m2； （2）当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求x（m）的取值范围； （3）在1＜x＜4范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应x的值． 23．（14分）【问题提出】 （1）如图1，高州根子镇荔枝产业园规划矩形示范区ABCD，点E、F为无人采摘车导航基站．连接运输路径CE与DF交于点O，因古荔枝树保护要求∠FOC＝90°，试证明：古树保护区运输效率比：． 【迁移应用】 （2）如图2，冼太文化广场采用平行四边形光伏地砖AB＝4米，AD＝7米．点E、F为智慧照明节点，连接电路CE与DF交于点O．若∠COD+∠BAD＝180°（象征文化传承与科技融合），求电路优化比的值． 【拓展提高】 （3）如图3，高州龙眼电商物流网络中，四边形ABCD为乡镇集散中心．点O为冷链中转站，连接主干道BD与CE．已知∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°（对应冷链时效黄金三角），且仓库容量比中根子镇与分界镇配比为，曹江镇与泗水镇配比为．请直接写出物流最优比的值． 2026年广东省中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2025﹣1的相反数为（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【解答】解：2025﹣1的相反数是． 故选：D． 2．《哪吒之魔童闹海》作为中国首部破百亿电影，登顶全球影史票房榜第五名，截止2026年4月17日，总票房大约为156.98亿元，数据156.98亿用科学记数法表示为（　　） A．156.98×108 B．1.5698×109 C．1.5698×1010 D．1.5698×1011 【解答】解：156.98亿＝15698000000＝1.5698×1010． 故选：C． 3．窗花是中国古老的汉族传统民间艺术之一，深受国内外人士所喜爱．下列窗花剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则B不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则D符合题意； 故选：D． 4．如表是今年高州市“五一小长假”的几个热门旅游景区的票价一览表，下列说法中不正确的是（　　） 景区名称 玉湖风景区 仙人洞风景区 粤龙山风景区 古郡越野 古郡水上乐园 票价（元） 28 184 28 100 80 A．平均数是84 B．中位数是100 C．众数是28 D．极差是156 【解答】解：将数据从小到大排列为：28，28，80，100，184， A、平均数（28+28+80+100+184）＝84，故A正确，不符合题意； B、中位数是80，故B错误，符合题意； C、众数为28，故C正确，不符合题意； D、极差为200﹣28＝156，故D正确，不符合题意； 故选：B． 5．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：几何体的俯视图为：． 故选：C． 6．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：根据题意知，袋中球的总个数约为（3+5）÷（1﹣0.2）＝10， 所以估计盒子中大约有红球10﹣8＝2（个）， 故选：A． 7．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x＝﹣2 C．x≥﹣2且x≠0 D．x＞﹣2且x≠0 【解答】解：由题意得：x+2≥0且x≠0， 解得：x≥﹣2且x≠0， 故选：C． 8．如图，点D是∠ABC平分线上的一点，DF∥BC交AB于点F，DE⊥BC于点E，若∠ABD＝15°，BF＝4，则DE的长为（　　） A． B．2 C．1 D． 【解答】解：过D点作DH⊥AB于H点，如图， ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DH⊥AB， ∴∠ABD＝∠CBD，DH＝DE， ∵DF∥BC， ∴∠BDF＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠FDB＝15°， ∴DF＝BF＝4，∠HFD＝∠FBD+∠FDB＝30°， 在Rt△DHF中， ∵∠HFD＝30°， ∴DHDF＝2， ∴DE＝2， 即DE的长为2． 故选：B． 9．高州市开展双创工作，城建局计划对市中心一块正方形的空地美化，设计如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形花圃，其余部分铺上鹅卵石．喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为80m2，设水池半径为xm，可列出方程（　　） A．（2x+8）2﹣πx2＝80 B．（x+8）2﹣2πx2＝80 C．（2x+4）2﹣2πx2＝80 D．（2x+8）2﹣2πx2＝80 【解答】解：∵喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为80m2， ∴正方形空地的边长为（2x+2×4）m，即（2x+8）m， 根据题意得：（2x+8）2﹣2πx2＝80． 故选：D． 10．如图是茂名市滨海新区规划建设的“智慧农业示范园”，其中一块菱形试验田ABCD边长为2米，设计角∠ABC＝60°．如图2，为适应季节性作物轮作，需折叠田埂∠ABC和∠ADC，使两角顶点重合于田地对角线BD上的调节点P，EF、GH为折叠后新田埂，设BE＝x（0＜x＜2）米．下列判断正确的是（　　） ①当x＝1时，米； ②田埂总长度EF+GH随x变化而改变； ③折叠后六边形种植区AEFCHG的最大面积为平方米； ④六边形种植区AEFCHG的周长保持不变． A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2， ∵∠ABC＝60°， ∴AC＝AB＝2，BD＝2， 由折叠知，△BEF是等边三角形， 当x＝1时，则BE＝1，BM＝BEsin60°， 由折叠知，BP＝2，DP＝2， ∴①正确， ∵BE＝x， ∴AE＝2﹣x， ∵△BEF是等边三角形， ∴EF＝x， ∴BMEMEFx， ∴BP＝2BMx， ∴DP＝BD﹣BP＝2x， ∴DNDP（2x）， GN（2﹣x）， ∴GH＝2GN＝2﹣x， ∴EF+GH＝2＝AC，所以②错误； △BEF的面积为：x×xx2， △GHD的面积为：（2x）×（2﹣x）， 六边形AEFCHG面积＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△DGH 2×2x2 （x﹣1）2， ∴当x＝1时，六边形AEFCHG面积最大为，所以③错误， 六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝AE+BE+FC+BF+DG+AG＝AB+CB+DA＝6是定值， 所以④正确， 即：正确的有①④， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若实数a、b满足，则ab＝　﹣8　 ． 【解答】解：∵， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴ab＝（﹣2）3＝﹣8． 故答案为：﹣8． 12．分解因式：x4﹣1＝　（x2+1）（x+1）（x﹣1）　 ． 【解答】解：x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x2+1）（x+1）（x﹣1）． 13．某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是　1.2　 ． 【解答】解：5名参赛选手的成绩的平均数为8， 这5名选手的方差是1.2． 故答案为：1.2． 14．已知x＝3y+2，则代数式2x﹣6y+1的值是　5　 ． 【解答】解：∵x＝3y+2， ∴x﹣3y＝2， ∴当x﹣3y＝2时，原式＝2（x﹣3y）+1＝2×2+1＝5． 故答案为：5． 15．如图，将一个矩形纸片ABCD三次折叠：第一次沿折线DE折叠，使角A落在边DC的点A′；第二次展开后沿折线EF折叠，使角A落在折痕DE的点G；第三次沿折线CE折叠，使角B恰好落在折痕DE的点H．已知折叠后，纸片无拉伸，则AB＝ 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝BC，CD＝AB， 由第一次折叠得：A'E＝AE，∠EA'D＝∠A＝90°， ∴∠EA'D＝∠A＝∠CDA＝90°， ∴四边形A'EAD是矩形， 又∵A'E＝AE， ∴矩形A'EAD是正方形， 设正方形A'EAD的边长为a， ∴AE＝AD＝A'E＝BC＝acm， 在△ADE中，∠A＝90°， 由勾股定理得：DE（cm）， ∵AF＝√（2）cm， ∴由第二次折叠得：GF＝AF＝√（2）cm，EG＝AE＝acm，∠GEF＝∠AEF，∠EGF＝∠A＝90°， ∴∠AEG＝∠GEF+∠AEF＝2∠GEF， 由第三次折叠得：HE＝BE，CH＝BC＝a，∠HEC＝∠BEC，∠CHE＝∠B＝90°， ∴∠BEH＝∠HEC+∠BEC＝2∠HEC， ∴CH＝EG＝a，∠CHE＝∠EGF＝90°， ∵第三次沿折线CE折叠，使角B恰好落在折痕DE的点H， ∴∠AEG+∠BEH＝180°， ∴2∠GEF+2∠HEC＝180°， ∴∠GEF+∠HEC＝90°， 在△EGF中，∠EGF＝90°， ∴∠GFE+∠GEF＝90°， ∴∠HEC＝∠GFE， 在△HEC和△GFE中， ， ∴△HEC≌△GFE（AAS）， ∴HE＝GFcm， ∴HE＝BEcm， ∴CD＝AB＝AE+BEcm， 由三角形面积公式得：S△ECDDE•CHCD•A'E， ∵CH＝A'E＝a， ∴DE＝CDcm， 又∵DE（cm） ∴， 解得：a， ∴AB． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）先化简，再从不等式3x﹣7＜8的正整数解中，选一个使原式有意义的数代入求值． 【解答】解：原式 • ， 解不等式3x﹣7＜8得x＜5， ∴不等式3x﹣7＜8的正整数解为1、2、3、4， ∵x+3≠0且x﹣3≠0且x﹣4≠0， ∴x可以取1、2， 当x＝1时，原式； 当x＝2时，原式． 17．（7分）在高州市曹江镇新开发了一个旅游景点“高州第一滩”，今年的“五一劳动节”假期吸引了大量的游客前往游玩，但是也留下了很多废弃的垃圾，由此党委镇政府也成立了“河滩清洁行动”小组．现有甲、乙两支志愿者队伍同时从河滩入口出发前往不同区域清理垃圾．甲队出发1分钟后乙队才出发，y（米）表示两队离河滩入口的距离，x（分钟）表示甲队行走的时间．图中两条直线分别表示甲、乙两队离河滩入口的距离y与甲队行走时间x的函数关系． （1）求甲队离河滩入口的距离y甲与行走时间x的函数关系式． （2）若河滩上有一处距离入口800米的区域垃圾较多，问哪支队伍先到达该区域？早到几分钟？ 【解答】解：（1）由图可设甲与行走时间x的函数关系式：y甲＝kx， 已知当x＝10时，y＝1200， 代入可得1200＝10k， 解得k＝120， ∴甲队行走的距离与时间x的函数关系式为：y甲＝120x； （2）设乙队行走的距离y乙与甲队行走时间x的函数关系式为y乙＝kx+b， 因为乙队x＝1时出发， 当x＝5时，y＝n， 此时甲队y甲＝120×5＝600， 即n＝600， 当x＝1时，y乙＝0，把（5，600）和（1，0）代入y乙＝kx+b得： ，解得， 所以乙队离海滩入口的距离与行走时间x的函数关系式为y乙＝150x﹣150， 对于甲队，当y＝800时，800＝120x， 解得x， 对于乙队，当y＝800时，800＝150x﹣150， 解得x， ∵分钟， 所以乙队先到达该区域，早到分钟． 18．（7分）为助力茂名市创建“全国文明城市”，某中学积极响应全民健身号召，在“五四青年节”期间组织全校学生参与体能达标测试，随机抽取部分学生成绩进行统计，将结果分为A，B，C，D四个等级，绘制如图图表．请结合图表信息解答问题： 成绩等级频数分布表 成绩等级 频数 A 24 B 10 C x D 2 合计 y （1）根据创文工作要求，达标率需高于90%．请补全表格x＝　4　 ，y＝　40　 ，并计算扇形图中表示C等级的圆心角度数为　36　 度； （2）为选拔学生代表参加“茂名市青少年体育竞赛”，学校需从A等级的甲、乙、丙三名学生中随机抽取两人组队．请用列表法或树状图法，求恰好抽到甲和乙的概率． 【解答】解：（1）由题意得，y＝10÷25%＝40，x＝40﹣24﹣10﹣2＝4． 扇形图中表示C等级的圆心角度数为360°36°． 故答案为：4；40；36． （2）列表如下： 甲 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，甲） （乙，丙） 丙 （丙，甲） （丙，乙） 共有6种等可能的结果，其中恰好抽到甲和乙的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， ∴恰好抽到甲和乙的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）如图1，位于茂名市滨海新区的“小东江观景台”呈圆形，其直径AC为江面主景观轴，AB是连接观景台入口的弧形步道．点D为江畔的“灯塔广场”，经测量发现∠DCB＝∠A（视角与观景台结构角相等）． （1）请证明：DC与⊙O相切． （2）如图2，为优化景区路线，规划部门将灯塔广场与步道端点B及观景台中心O连接，新增道路DB、OD，并测得主景观轴长度AC＝DC＝DB．证明：OD∥AB． 【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵∠DCB＝∠A， ∴∠DCB+∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC⊥CD， ∴DC与⊙O相切． （2）连接OB， ∵OC＝OB，CD＝BD， ∴OD垂直平分BC， ∴OD⊥BC， ∵AC是⊙O的直径， ∴AB⊥BC， ∴OD∥AB． 20．（9分）三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共30套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵80元． （1）若用7500元购买护肤套装与用6000元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； （2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【解答】解：（1）设生活用品套装的价格为x元，则护肤套装为（x+80）元， ∴． ∴x＝320， 经检验，x＝320是原方程的解，且符合题意， ∴x+80＝320+80＝400， 答：护肤套装的价格为400元，生活用品套装的价格为320元； （2）设购买生活用品套装为m套，则购买护肤套装为（30﹣m）套， 由题意得：0≤m≤2（30﹣m）， ∴0≤m≤20， 设总费用为w元， 则w＝320m+400（30﹣m）＝﹣80m+12000， ∵﹣80＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝20时，w最小， 此时，30﹣m＝30﹣20＝10， 答：购买生活用品套装20套，护肤套装10套时，总费用最少． 21．（9分）综合与实践： 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC． （1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE＝ 　72　 °，设AC＝2，BC＝x，那么DC＝ 　2﹣x （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比值为．这个比值被称为黄金比．请在（1）的条件下证明：． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的△ABC是黄金三角形． （3）如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，AB＝4．求这个菱形较长对角线的长． 【解答】（1）解：根据折叠可知． ∵∠C＝72°， ∴∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°； 根据折叠可知CD＝DE，∠BDE＝∠BDC＝72°，BC＝BE＝x， ∴∠ADE＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴∠ADE＝∠A， ∴AE＝DE＝CD， ∴CD＝AE＝AB﹣BE＝2﹣x． 故答案为：72，2﹣x； （2）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72°． 由折叠知∠ABD＝∠CBD＝36°， ∴∠A＝∠CBD＝36°， 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴， 即， 整理得：x2+2x﹣4＝0， 解得：（舍去）， ∴； 拓展应用：菱形ABCD较长对角线BD2， 如图3，在BD上截取AB＝BE，连接AE， 得△ABE是顶角为36°的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为，由AB＝BE＝4， 可得， ∴AE＝22， 由条件可知∠AEB＝72°， ∴∠AED＝180°﹣72°＝108°． ∵AB＝AD， ∴∠ADC＝36°， ∴∠EAD＝∠EDA＝36°， ∴AE＝DE＝22， ∴BD＝4+22＝2+2． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池ABCD进行扩建，原池长AD＝4m，宽AB＝1m（如图①）．改造后形成调蓄池ABNM（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾；同时新建周长为12m的防洪滞洪池EFGH（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边AD扩建长度为DM＝xm（x＞0），扩建后蓄水面积为y1m2，则y1＝x+4（x＞0）；设滞洪池EFGH的边EF长为xm（0＜x＜6），滞洪面积为y2（m2），则y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．两函数图象如图③． 【问题解决】 （1）若滞洪池的滞洪面积随EF长度增加而减小，则EF的取值范围是　3＜x＜6　 ，滞洪池的最大调洪容量为　9　 m2； （2）当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求x（m）的取值范围； （3）在1＜x＜4范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应x的值． 【解答】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x＝3， ∵滞洪池的面积随EF长度的增加而减小， ∴EF长度的取值范围是3＜x＜6；滞洪池面积的最大值是9m2， 故答案为：3＜x＜6；9； （2）由图象得，两函数交于点C，E， 所以，表示两个水池面积相等的点是C，E； 联立方程组， 解得，，， ∴C（1，5），E（4，8）， ∵直线在抛物线上方时，0＜x＜1或4＜x＜6， ∴调蓄池的面积大于滞洪池的面积时，x（m）的取值范围是0＜x＜1或4＜x＜6； （3）在1＜x＜4范围内，两个水池面积差， ∵﹣1＜0， ∴函数有最大值， ∵0＜x＜6， ∴当时，函数有最大值，为， 即当时，面积差的最大值为． 23．（14分）【问题提出】 （1）如图1，高州根子镇荔枝产业园规划矩形示范区ABCD，点E、F为无人采摘车导航基站．连接运输路径CE与DF交于点O，因古荔枝树保护要求∠FOC＝90°，试证明：古树保护区运输效率比：． 【迁移应用】 （2）如图2，冼太文化广场采用平行四边形光伏地砖AB＝4米，AD＝7米．点E、F为智慧照明节点，连接电路CE与DF交于点O．若∠COD+∠BAD＝180°（象征文化传承与科技融合），求电路优化比的值． 【拓展提高】 （3）如图3，高州龙眼电商物流网络中，四边形ABCD为乡镇集散中心．点O为冷链中转站，连接主干道BD与CE．已知∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°（对应冷链时效黄金三角），且仓库容量比中根子镇与分界镇配比为，曹江镇与泗水镇配比为．请直接写出物流最优比的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠CDE＝90°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∵∠FOC＝∠EOD＝90°， ∴∠ADF+∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠AFD， ∴△DAF∽△CDE， ∴， ∵CD＝AB， ∴； （2）解：如图，在DE上找一点K，使CK＝CD，则∠CKD＝∠CDK， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝4， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠CKD+∠CKE＝180°， ∴∠CKE＝∠A， ∵∠COD+∠BAD＝180°，∴∠EOF+∠BAD＝180°， ∴∠AFD+∠AEO＝180°， ∵∠CEK+∠AEO＝180°， ∴∠CEK＝∠AFD，∴△CEK∽△DFA， ∴； （3）解：如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形， ∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，MN＝AD， 同（2）可得， ∵，∴设AB＝a，AD＝3a， 在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP， ∵AD∥MN，∠A＝120°， ∴∠N＝60°，∴△NBP是等边三角形， ∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°， ∴∠BPC＝120°＝∠M； ∵∠BCD＝120°，∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD， ∴∠PBC＝∠MCD，∴△PBC∽△MCD，∴， 设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣a， ∴CMPB， ∴MN＝PN+PC+CM＝AD＝3a，∴3x﹣a+4xxa＝3a， 解得，xa，∴DM＝3xa，∴． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $