2.1第1课时相等关系与不等关系课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“相等关系与不等关系”，涵盖不等式定义、作差法比较实数大小及重要不等式，通过现实实例（如限高、投资方案）导入，衔接等式性质，为后续函数与方程学习搭建基础支架。 其亮点在于强化数学抽象与逻辑推理，以“限高4.5米”“投资方案比较”等实例引导学生用不等式表示实际关系，作差法通过因式分解、配方变形判号，典例与即学即练结合。帮助学生提升抽象建模与推理能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　相等关系与不等关系 【学习目标】 1.了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系.(数学抽象) 2.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(数学抽象) 3.会运用作差法比较两个数或式的大小、证明不等式.(逻辑推理) 一、不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点: (1)不等符号<,>,__,__或≠. (2)所表示的关系是_________. [思考] 1.5≥3,2≥2,2≤2这三个命题都是真命题吗?为什么? 提示:都是真命题.不等式a≥b的含义是指“a>b或者a=b”,即若a>b或a=b之中 有一个正确,则a≥b正确.a≤b也类似. ≤ ≥ 不等关系 二、实数a,b的大小比较 文字语言 数学语言 等价条件 a-b是正数 a-b>0 a>b a-b等于零 a-b=0 a=b a-b是负数 a-b<0 a<b [点睛] 这里的a,b两数是任意实数. [思考] 2.式子x2+1与2x都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法,比较x2+1与2x的大小吗? 提示:两式作差;因为x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x. 三、重要不等式 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当____时,等号成立. a=b 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)a不小于b应表示为a>b.( ) 提示:a不小于b应表示为a≥b. (2)任意两个实数a,b之间的大小关系,有且只有a>b,a<b两种关系中的一 种.( ) 提示:任意两数之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种,没有其他大 小关系. × × (3)若x-y<0,我们就说x大于y.( ) 提示:若x-y<0,则x小于y. (4)∀a,b∈R,且a≠b有a2+b2>2ab.( ) 提示:因为a≠b,所以a2+b2>2ab. × √ 类型1 用不等式(组)表示不等关系(逻辑推理) 【典例1】(1)下列关于不等关系的说法不正确的是(　　) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h(米)满足h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确 √ 【解析】选B.因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”,不超过用“≤”表示,A正确;因为“非负数”即“不是负数”,所以a-b≥0,B不正确;因为不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,C正确;因为不等式a≤b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确,D正确. (2)(2026·保定高一检测)某投资方对某项目提出两个投资方案:方案一为一次性投资1 000万元;方案二为第一年投资200万元,以后每年投资30万元.下列不等式表示“经过n年后,方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是 (　　) A.30n+170≤1 000　 B.30n+170≥1 000 C.30n+200≥1 000　 D.30n+170>1 000 【解析】选B.由题意得,经过n年后,方案二的总投资为200+30(n-1)=(30n+170)万元,则“经过n年后,方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为30n+170≥1 000. √ 【解题有招】 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,连接变量得不等式. 提醒:要注意题中的隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围. 【即学即练】 1.中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),若体积不超过73 500 cm3,用数学关系式可表示为(　　) A.a+b+c<130且abc<73 500 B.a+b+c>130且abc>73 500 C.a+b+c≤130且abc≤73 500 D.a+b+c≥130且abc≥73 500 【解析】选C.由长、宽、高之和不超过130 cm,得a+b+c≤130, 由体积不超过73 500 cm3,得abc≤73 500. √ 2.(2025·眉山高一检测)将一根长为5 m的绳子截成两段,已知其中一段的长度为 x m,若两段绳子长度之差不小于1 m,则x所满足的不等关系为(　　) A. B.2x-5≥1或5-2x≥1 C. D. 【解析】选D.由题意,可知另一段绳子的长度为(5-x)m.因为两段绳子长度之差 不小于1 m,所以,化简得:. √ 类型2 作差法比较大小(逻辑推理) 【典例2】(类题·节节高) (1)比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小; (2)比较2x2+5x+4与x2+3x+2的大小; (3)已知x∈R且x≠-1,比较与1-x的大小. 【解析】(1)因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6)=(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0, 所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6). (2)(2x2+5x+4)-(x2+3x+2)=x2+2x+2=(x+1)2+1, 因为(x+1)2≥0,所以(x+1)2+1≥1>0. 所以(2x2+5x+4)-(x2+3x+2)>0,所以2x2+5x+4>x2+3x+2. (3)因为-(1-x)=,当x=0时,=1-x; 当1+x<0,即x<-1时,<0,所以<1-x; 当1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0时,>0,所以>1-x. 【解题有招】 作差法比较大小的步骤 【即学即练】 (2026·玉溪高一检测)(1)比较大小:x2+y2+2与2(x+2y-2); (2)已知a>0,b>0,试比较a4+a3b和b4+ab3的大小. 【解析】(1)x2+y2+2-2(x+2y-2)=x2-2x+1+y2-4y+4+1=(x-1)2+(y-2)2+1>0, 因为(x-1)2≥0,(y-2)2≥0,所以(x-1)2+(y-2)2+1>0,即x2+y2+2>2(x+2y-2). (2)依题意,a4+a3b-(b4+ab3)=(a2+b2)(a2-b2)+ab(a2-b2)=(a2-b2)(a2+ab+b2) =(a-b)(a+b)(a2+ab+b2),由a>0,b>0,得a+b>0,a2+ab+b2>0, 所以当a>b>0时,a4+a3b>b4+ab3;当a=b>0时,a4+a3b=b4+ab3; 当0<a<b时,a4+a3b<b4+ab3. 类型3 作差法证明不等式(逻辑推理) 【典例3】已知a>0,b>0,证明:a3+b3≥ab2+a2b. 【证明】a3+b3-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2). 因为a>0,b>0,且a2+b2≥2ab, 所以a+b>0,a2+b2-2ab≥0. 所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0, 故a3+b3≥ab2+a2b. 【解题有招】 作差法证明不等式的关注点 (1)作差法证明不等式,其关键是作差变形,判断差的符号. (2)a2+b2≥2ab对于任意实数a,b均成立,当且仅当a=b时,取“=”. 【即学即练】 1.已知a>0,b>0,求证:a2+3b2≥2b(a+b). 【证明】因为a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,所以a2+3b2≥2b(a+b). 2.设x∈R,证明:≤. 【证明】因为-≤0,所以≤. $