浓度问题＋行程问题（课件）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

浓度问题 01. 基本公式体系 核心定义：浓度是溶质在溶液中所占的比例。 关键公式： 浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100% 注：溶液总量 = 溶质质量 + 溶剂质量 02. 解题核心思维 解决浓度问题的关键在于敏锐捕捉“不变量”，以此建立等式关系。 常见模型： 加盐 ➜ 溶剂（水）不变；加水/稀释 ➜ 溶质（盐）不变；蒸发 ➜ 溶质不变。 浓度问题核心方法 基础方法·不变量法 1. 核心思想：抓住不变量（加盐→水不变，加水/蒸发→盐不变） 2. 适用场景：单种溶液浓度变化问题 进阶方法·十字交叉法 1. 核心原理：混合前后溶质总量不变 2. 适用场景：两种溶液混合求比例/浓度/质量 （2）5%的盐水与8%的盐水混合制成6%的盐水，求质量 比？ 5% 8% 6% 2% 1% 份数比 2 1 （1）一杯糖水，糖和水的重量相等，糖水浓度是 多少？ 50% 斜作差，横着拉 （3）一瓶200ml的纯果汁，喝五分之一，加满水，求最后的浓度？ ：剩余果汁量 ：除以加满后的总溶液体积 ：转化为百分比浓度 ✅ 最终答案：浓度为80％ 补偿原理：多盐补少盐，十字交叉法。 喝汁补水：浓度依次降低，逐步打折。 等浓度问题：盐之比=盐水之比。 利润问题：打折优惠可看成浓度混合问题。 例题1：浓度为20%的糖水100克，加入等量的糖和水后，变成了浓度为30%的糖水。问加入了多少克糖？ 解：等量的糖和水，浓度为50% 20% 20% 2份 30% 50% 10% 1份 100÷2÷2=25（克） 步骤 1：分析加入溶液的浓度 加入的糖和水质量相等，设加入的糖、水均为x克，那么加入的溶液中： 溶质（糖）质量：x克 溶液总质量：x + x = 2x克 浓度：x÷2x×100% = 50% 步骤 2：十字交叉法求质量比 原糖水浓度为20%，加入溶液浓度50%，混合后浓度30%： 20% 50%-30% = 20% 30% 50% 30%-20% = 10% 所以原溶液与加入溶液的质量比为 20%:10% = 2:1。 已知原糖水质量为 100 克（对应 2 份），则 1 份质量为：100÷2 = 50克即加入的溶液总质量为 50 克。 步骤 3：求加入的糖的质量 加入的糖和水等量，所以加入的糖的质量为：50÷2 = 25克 往浓度为60%的糖水中，加入糖和水各30克，得到了浓度为52%的糖水，则原有浓度为60%的糖水多少克？ 60% 2% 1份 52% 50% 8% 4份 份数比 30×2÷4=15（克） 解：设原来纯果汁的重量为100克 原来 小高 妈妈 小高 一瓶纯果汁 喝掉 加水兑满 喝掉剩下的 加水兑满 喝掉 加水兑满 喝汁补水 浓度？ 小高喝掉剩：100×（1- ）=80 克 第三天,纯果汁还剩下： 64÷2=32（克） 这时的浓度为： 32÷100×100%=32% 答：这时果汁的浓度是32%。 妈妈喝剩下的，纯果汁还剩下： 80×（1－）=64（克） 小高 妈妈 小高 一瓶纯果汁 喝掉 加水兑满 喝掉剩下的 加水兑满 喝掉 加水兑满 浓度？ 喝汁补水 方法二： 解：设原来纯果汁为1 最终的浓度为： 12 瓶内初有水15克，先倒出5克，再加10克糖摇匀，这时浓度是多少？再倒出5克，并加5克水，溶液的浓度变为多少？ 解：倒5克加10克糖 浓度为：10÷（15-5+10）=50%。 5克溶液中的糖：5×50%=2.5（克） 浓度为：(10-2.5)÷(20-5+5)×100%=37.5% 答：溶液的浓度变为37.5% 甲容器中有8%的糖水300克，乙容器中有12.5%的糖水120克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的糖水浓度一样。问应倒入多少克水？ 解：设应倒入x克水。 等浓度问题 答:应倒入180克水 甲容器中有12%的糖水300克，乙容器中有18%的糖水100克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的糖水浓度一样。问应倒入多少克水？ 答：应倒入100克水。 解：设加水 克。 解得： 有浓度为30%的盐水溶液若干，加入一定数量的水之后稀释成浓度为24%的溶液。如果再加入同样多的水之后浓度将变为多少？ 解：缺量补量法 假设原30%的盐水为100克。 第一次加水100×（30%÷24%-1）=25（克） （100×30%）÷（100+25×2）=20% 1）、一桶农药，加入一定量的水稀释后，浓度为15%；再加入同样多的水稀释，浓度变为12%；若第三次再加入同样多的水，农药的浓度将变为多少？ 解：缺量补量法 假设15%的农药为100克。 第二次加水100×（15%÷12%-1）=25（克） （100×15%）÷（100+25×2）=10% 2）、有含酒精36%的酒精溶液若干克，加入一定量水后稀释为30%的溶液，如果再稀释到24%，那么还需要加入的水是上次所加入水的几倍？ 解：缺量补量法 假设36%的酒精溶液为100克。 第一次加水100×（36%÷30%-1）=20（克） 30÷20=1.5 第二次加水（100+20）×（30%÷24%-1）=30（克） 答:加入的水是上次所加入水的1.5倍 💡 记牢这四点核心原则，精准规避计算误区，让十字交叉法成为解题利器！ 01. 浓度格式的“隐形陷阱” 计算时浓度必须转换为小数或分数（如10%需转为0.1），严禁直接使用百分号后的数字参与交叉，否则会导致结果数量级错误。 02. 质量比的“定义混淆” 交叉得出的比值是两种溶液的总质量之比，而非溶质质量比或溶剂质量比。若题目要求溶质比，需结合各自浓度二次计算。 03. 混合体系的“数量红线” 04. 化学反应的“绝对禁区” 该方法仅适用于两种组分（或溶液）的直接混合。若涉及三种及以上溶液混合，需分组分步计算，严禁直接套用公式。 十字交叉法只适用于物理混合过程。若混合过程中发生化学反应（如酸碱中和、氧化还原），因溶质种类或质量改变，方法不再适用。 小结 4）列方程解题是解决浓度问题的重要方法。 3）喝水补满：原汁含量打折。 1）混合问题：浓度差与质量成反比 2）补偿原理的运用：利润问题的折扣优惠。 行程问题 行程问题核心思想 01 基本公式：知二求一 核心公式：路程 = 速度 × 时间 这是行程问题的基石。解题的第一步永远是识别已知量，路程、速度、时间三个要素中，只要明确任意两个，就能求出第三个未知量。 02 画图是王道：可视化 03 比例法：提速神器 策略：先画线段图，再分析关系 行程问题的抽象性是难点。通过绘制线段图，能将复杂的运动过程（相遇、追及、往返）转化为直观的几何图形，清晰呈现路程差、速度差与时间的对应关系。 规律：利用正反比简化计算 路程一定时，速度与时间成反比；时间一定时，路程与速度成正比。熟练掌握这一规律，能绕开繁琐的方程求解，快速锁定答案。 【经典案例】小明上学的时间与速度难题 小明从家去学校，如果每分钟走 60 米，会迟到 5 分钟；如果每分钟走 80 米，会提前 3 分钟到校。两种不同的速度导致了到校时间的差异，请问小明家到学校的距离究竟有多远？ 💡 思路引导：这是典型的“盈亏问题”结合“行程问题”的变种。虽然行走的速度变了，花费的时间也变了，但有一个核心量是恒定不变的——那就是小明家到学校的距离。抓住“路程不变”这个等量关系，即可建立方程求解。 核心逻辑：当路程 S 固定时，速度 v 越快，时间 t 越短，二者呈严格的反比例关系。 01. 化简速度比 已知两种速度分别为60米/分和80米/分。 v₁ : v₂ = 60:80 = 3:4 02. 确定时间反比 路程一定，速度与时间成反比。速度比为3:4，则时间比为其倒数。 t₁ : t₂ = 4:3 (关键！) 03. 计算时间差份数 根据题意，慢走比快走多用时5+3=8分钟，对应时间份数差。 1份时间 = 8 分钟 04. 求慢走总用时 慢走对应的是时间份数中的4份（因为速度慢，时间长）。 慢走时间 = 4 × 8 = 32 分钟 05. 计算总路程 利用“路程=速度×时间”公式，代入慢走的速度和计算出的时间。 总路程 = 60 × 32 = 1920 米 最终答案：小明家到学校的距离是 1920 米。 23 【经典真题】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行驶 50 千米，到达乙地时就会迟到 2 小时；如果改变速度，每小时行驶 60 千米，到达乙地时就会提前 1 小时。请问，甲乙两地之间的距离究竟是多少千米？ ⏱️ 限时挑战：给你 2 分钟思考时间。试着利用“路程一定时，速度与时间成反比”的规律来解题。 💡 提示：先求计划时间，再算路程 01. 确定速度比例关系 已知两车速度分别为50km/h和60km/h，化简速度比： 50 : 60 = 5 : 6 02. 推导时间反比关系 路程一定时，速度与时间成反比。因此时间比等于速度比的倒数： 时间比 = 6 : 5 03. 计算时间差对应的份数 根据题意，慢车比快车多用了(2+1)小时，即1份时间对应： 1份 = 3 小时 04. 计算慢车行驶总时间 慢车对应的时间份数为6份，每份3小时，因此慢车行驶时间为：6 × 3 = 18 小时。 05. 计算甲乙两地总路程 路程 = 速度 × 时间，代入慢车数据：50 km/h × 18 h = 900 千米。 最终答案：甲乙两地相距 900 千米。 甲乙两车同时从A地出发去B地，甲车速度是乙车的1.2倍。甲车到达B地后立即返回，在距离B地20千米处与乙车相遇。已知两车行驶过程中速度保持不变，且行驶路线一致，请问A、B两地之间的距离是多少千米？ 💡 思路引导：相遇时，两车行驶的时间是完全相同的。抓住“时间相等”这一关键条件，结合速度倍数关系，分析出路程的倍数关系。思考：相遇时甲车比乙车多行驶了多少千米？这个路程差与速度差有什么联系？ 01. 确定路程比例关系：相遇时时间相同，路程比 = 速度比 = 1.2:1 = 6:5。设甲走6份，乙走5份。 02. 关键难点：计算路程差 (核心！)：相遇点距中点20km，说明甲比乙多走了20 × 2 = 40千米。 03. 求1份量 路程差对应份数：6 - 5 = 1份。因此 1份 = 40千米。 04. 求甲走的路程 甲走了6份：40 × 6 = 240千米。这是甲从A地到相遇点的距离。 05. 求AB总距离 甲走的路程减去超出中点的20km就是半程：240 - 20 = 220千米。 最终答案：AB两地相距220 千米 【经典真题】A、B两地间的距离求解 甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行。甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇。 问题：求A、B两地间的全程距离是多少米？ 💡 思路提示：这是典型的多人行程相遇问题。解题关键在于利用“甲乙相遇后15分钟甲丙相遇”这一条件，先求出甲乙相遇时，乙比丙多走的路程，再结合速度差求出相遇时间，最后计算全程。 STEP 01：计算甲丙15分钟共走路程 甲遇乙后15分钟遇丙，这15分钟为甲丙的共同行走时间。路程和 = (甲速 + 丙速) × 时间 = (60 + 40) × 15 =1500米 STEP 02：分析乙丙的路程差与速度差 1500米即为甲乙相遇时，乙比丙多走的路程（路程差）。乙丙速度差 = 50 - 40 =10米/分 STEP 03：反推甲乙相遇的行走时间 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差。因此，从出发到甲乙相遇，三人已行走：1500 ÷ 10 =150分钟 STEP 04：计算AB两地的总距离 总路程 = (甲速 + 乙速) × 相遇时间 = (60 + 50) × 150 = 16500米，换算单位为16.5千米 最终答案：AB两地相距16500米（即16.5千米） 行程问题拓展 · 流水行船 01. 顺水速度：顺流而下的合成速度 公式：顺水速度 = 船速 + 水速 解析：水流推动船只前进，水速与船速方向相同，两者叠加。 02. 逆水速度：逆流而上的抵消速度 公式：逆水速度 = 船速 - 水速 解析：水流阻碍船只前进，水速与船速方向相反，两者相减。 03. 船速求解：静水速度的还原 04. 水速求解：水流力量的计算 公式：船速 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2 解析：利用和差公式，顺水与逆水速度之和抵消了水速的影响。 公式：水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2 解析：顺水与逆水速度之差等于两倍水速，因此除以2得到水速。 顺水行驶时间占5份：5 × 1 = 5 小时 总路程 = 顺水速度 × 顺水时间 即：28 × 5 = 140 千米 经典题型解析：A、B两地水路距离求解 一艘船从A地到B地，顺水而行，每小时行28千米，到达B地后逆水返回A地，逆水比顺水多行2小时。已知水速是每小时4千米，求A、B两地相距多少千米？ 解题思路提示：这道题可以尝试用比例法来解哦！思考一下，在往返过程中，什么量是始终不变的？（提示：船在静水中的速度、两地的距离）。 1.求逆水速度 船速为静水速度：28 - 4 = 24 km/h 逆水速度 = 船速 - 水速 即：24 - 4 = 20 km/h 2.速度比例化简 顺水速度 : 逆水速度 = 28 : 20 约分化简后得到核心比例：7 : 5 3.核心反比逻辑 答：A、B 两地相距140千米✅ 速度比 7 : 5 时间比 (反比) 5 : 7 在路程一定的前提下，物体的运动速度与时间成严格的反比例关系。因此我们可以直接由速度比推导出时间比。 4. 求解时间份数 时间份数差：7 - 5 = 2 份 对应实际时间差：2 小时 由此可得：1 份时间 = 1 小时 5. 计算总路程 小结 01.基本公式：核心基础 牢记核心公式“路程 = 速度 × 时间”，这是解决所有行程问题的基石。解题的关键在于从题目中准确提取已知的两个量，利用公式推导出第三个未知量，做到“知二求一”。 02.画图分析：可视化思维 行程问题的难点在于运动过程的动态性，利用线段图将抽象的运动过程转化为直观的几何图形，能清晰呈现出发时间、方向、相遇点以及各段路程、速度、时间的数量关系，化繁为简。 03. 比例法：巧解变量关系 抓住不变量是核心：当路程一定时，速度与时间成反比；当时间一定时，路程与速度成正比。熟练运用比例关系，能避开复杂的计算，快速求解多对象、多过程的行程问题。 04. 流水行船：相对速度转换 明确水速对船速的影响：顺水速度 = 船速 + 水速，逆水速度 = 船速 - 水速。解题时需灵活转换相对速度，结合和差问题公式，快速求出船在静水中的速度和水流速度。 $