暑假预习专题 第16讲 函数及其表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第16讲 函数及其表示方法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数 函数的定义域 函数的值域 函数的表示方法 1. 通过学习函数的概念，培养数学抽象素养. 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养. 3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 4. 通过函数表示的图象法培养直观想象素养. 5．通过函数解析式的求法培养运算素养. 学习重点： ①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； ②掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 学习难点： 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的 对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数， 记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然， 值域是集合B的子集； （3）函数的对应关系：. 3、函数的表示方法： （1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. （2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式； （3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法. 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，相同函数可以用不同的方法表示． 4、相同函数与分段函数： （1）相同函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据； （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分 构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 5、函数解析式的四种求法： （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法；如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后 解方程（组）即可； （2）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题； 如、、、等类型； （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)， 便得的解析式；整体替换法：适用于、、等类型； （4）方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式； 已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如、等， 则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式； （5）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、等求. 6、值域的求法： （1）直接法：根据函数表达式的形式，直接计算出因变量y的取值范围，得函数的值域； （2）配方法：与二次函数有关的函数，可用配方法求函数的值域（注意函数的定义域）； （3）图象法：对于图象是连续的函数，画出函数的图象，利用图象的“最高点”和“最低点”直接观察 得到函数的值域； （4）换元法：形如的函数，可用换元法，即令，用t表示出x， 转化成关于t的二次函数再求值域（注意要根据x的范围确定t的范围）； （5）分离常数法：型函数（形如，）、型函数（形如，） 适用于此方法． 第一步 将函数关系式分子中含x的项分离，使分子不含x 第二步 确定分离后的函数的值域，一般借用反比例函数的图象与性质研究 （6）基本不等式（对勾函数）法：型函数（形如）、型函数 （形如）、型函数（形如）可考虑采用此方法． 第一步 将一次函数整体换元 第二步 将分式拆分整理成对勾型函数 第三步 利用基本不等式或对勾函数的性质研究 （7）内值外定法：一般用于求复合函数的值域或最值．形如（或能化为）的函数的值域的求解， 最关键一点就是“内值外定”，即看内函数的值域是否满足外函数的定义域，如果内函数的值域完全“填满”外函数的定义域，外函数的值域即为整个函数的值域． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的概念 1、函数的定义：一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合A到集合的 一个函数； 2、对应关系：，，一般地，设是非空的实数集，且对中任意给定的实数x， 按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合上的一个函数； 记作：，，其中叫做自变量，其取值范围（数集）称为 该函数的定义域； 对于自变量由法则所确定的所对应的值，称为函数在处的函数值，记作； 所有函数值组成的集合称为这个函数的值域； 3、相同函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是相同函数. 4、判断相同函数的三个步骤和两个注意点： （1）判断相同函数的三个步骤： （2）两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．　 5、分段函数：对于函数，若自变量在定义域内的不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注： (1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【经典例题】 【例1】下列曲线中，不是函数的是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】根据函数的定义逐项分析即可判断. 【例2】已知函数且，则 ． 【技巧归纳】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意. 【例3】已知函数，则 ；若，则 . 【技巧归纳】先求，根据其大小与关系，选择对应解析式代值即可求得结果；分类讨论或，根据解析式即可求得参数. 【例4】下列哪组中的两个函数是相同函数（    ） A．， B．， C．， D．， 【技巧归纳】根据相同函数的定义逐项判断即可. 【对点练习】 【练习1】下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【练习2】下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【练习3】下列函数中，与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【练习4】下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【练习5】已知函数，若，则实数的值为 ． 【练习6】已知，且，则 . 【练习7】已知函数，则 . 【练习8】已知函数，若，则 ． 知识点02 函数的定义域 求函数的定义域时，要注意应用下列原则： ①是整式时，定义域是全体实数； ②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数； ③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合； ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1； ⑤零（负）指数幂的底数不能为零； ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的 定义域的交集； ⑦对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的 定义域应由不等式解出； ⑧对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论； ⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 【经典例题】 【例5】函数的定义域为 ． 【易错提醒】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解. 【例6】函数的定义域为 ． 【易错提醒】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【例7】（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【易错提醒】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【例8】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【易错提醒】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【对点练习】 【练习9】函数的定义域为 ． 【练习10】函数的定义域为 ． 【练习11】函数的定义域是 【练习12】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【易错提醒】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 知识点03 函数的值域 求函数的值域时，要注意应用下列原则： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值； ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值； ③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程， 则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值； ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值； ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的； ⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． 【经典例题】 【例9】函数，的值域为 . 【易错提醒】根据二次函数的知识求得正确答案. 【例10】函数的值域为 ． 【易错提醒】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解. 【例11】函数的值域是 ． 【易错提醒】分离常数后，即可求解. 【例12】函数的值域为 ． 【易错提醒】由题意得，其中且，由此即可得解. 【例13】若函数值域为，则实数的取值范围是______． 【易错提醒】由题意得对数的值域为R，由此可知定义域中正区间的正数一个都不能少，即可得解. 【对点练习】 【练习13】函数的值域为 【练习14】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【练习15】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【练习16】函数的值域是___________. 【练习17】函数的值域是______． 【练习18】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 知识点03 求函数的解析式 求函数的解析式的常用求法： 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法； 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题， 在使用换元法时特别注意，换元必换范围； 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式； 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式. 【例14】已知是二次函数，且，，则 ． 【易错提醒】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【例15】已知是一次函数，且在上单调递增，，则 . 【易错提醒】设出一次函数的表达式，利用待定系数法求解. 【例16】已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】利用换元法求解. 【例17】已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【易错提醒】解方程组法求出的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值. 【例18】某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量 保持不变；则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．      B．   C．  D．   【易错提醒】由题可知前三年年产量的增长速度越来越快，即的值逐渐增大，后三年 年产量保持不变，即的值不变. 【练习19】已知为二次函数且，，则 ． 【练习20】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【练习21】已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . x 1 2 3 2 3 0 【练习22】已知函数的对应关系如下表，函数的图象是 如下图的曲线，其中，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【练习23】某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追， 在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示 随着时间变化两人之间距离的变化（     ） A． B． C． D． 【练习24】某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示， 令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）， 与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（     ） A． B． C． D． 1．下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5 3.下列四组函数中，两个函数表示的是相同函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4.下列各组函数中，表示相同函数的是（    ） A．， B． C． D． 5．函数的定义域为 ． 6．一次函数满足：，则的解析式可以是 ． （写出满足条件的一个解析式即可） 7．已知，则 . 8.已知函数，若，则x的可能取值为 . 9.已知函数，则 . 10．已知的定义域为，则的定义域为 ． 11．若函数满足，则的解析式为 ． 12．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 13．设函数若，则实数 ． 14．若函数满足，则 ． 15．函数，则 . 16．定义为中的最小值，则的最大值为 . 17．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 18．下列函数中，与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 19．设实数．已知，其中为二次函数，且当时，有最大值5；又的最小值为，且，求的解析式和实数的值． 20．分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且；(2)函数满足． 21．求函数的值域． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第16讲 函数及其表示方法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数 函数的定义域 函数的值域 函数的表示方法 1. 通过学习函数的概念，培养数学抽象素养. 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养. 3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 4. 通过函数表示的图象法培养直观想象素养. 5．通过函数解析式的求法培养运算素养. 学习重点： ①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； ②掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 学习难点： 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的 对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数， 记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然， 值域是集合B的子集； （3）函数的对应关系：. 3、函数的表示方法： （1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. （2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式； （3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法. 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，相同函数可以用不同的方法表示． 4、相同函数与分段函数： （1）相同函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据； （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分 构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 5、函数解析式的四种求法： （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法；如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后 解方程（组）即可； （2）换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题； 如、、、等类型； （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)， 便得的解析式；整体替换法：适用于、、等类型； （4）方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式； 已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如、等， 则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式； （5）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、等求. 6、值域的求法： （1）直接法：根据函数表达式的形式，直接计算出因变量y的取值范围，得函数的值域； （2）配方法：与二次函数有关的函数，可用配方法求函数的值域（注意函数的定义域）； （3）图象法：对于图象是连续的函数，画出函数的图象，利用图象的“最高点”和“最低点”直接观察 得到函数的值域； （4）换元法：形如的函数，可用换元法，即令，用t表示出x， 转化成关于t的二次函数再求值域（注意要根据x的范围确定t的范围）； （5）分离常数法：型函数（形如，）、型函数（形如，） 适用于此方法． 第一步 将函数关系式分子中含x的项分离，使分子不含x 第二步 确定分离后的函数的值域，一般借用反比例函数的图象与性质研究 （6）基本不等式（对勾函数）法：型函数（形如）、型函数 （形如）、型函数（形如）可考虑采用此方法． 第一步 将一次函数整体换元 第二步 将分式拆分整理成对勾型函数 第三步 利用基本不等式或对勾函数的性质研究 （7）内值外定法：一般用于求复合函数的值域或最值．形如（或能化为）的函数的值域的求解， 最关键一点就是“内值外定”，即看内函数的值域是否满足外函数的定义域，如果内函数的值域完全“填满”外函数的定义域，外函数的值域即为整个函数的值域． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的概念 1、函数的定义：一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合A到集合的 一个函数； 2、对应关系：，，一般地，设是非空的实数集，且对中任意给定的实数x， 按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合上的一个函数； 记作：，，其中叫做自变量，其取值范围（数集）称为 该函数的定义域； 对于自变量由法则所确定的所对应的值，称为函数在处的函数值，记作； 所有函数值组成的集合称为这个函数的值域； 3、相同函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是相同函数. 4、判断相同函数的三个步骤和两个注意点： （1）判断相同函数的三个步骤： （2）两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．　 5、分段函数：对于函数，若自变量在定义域内的不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注： (1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【经典例题】 【例1】下列曲线中，不是函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意；对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意；故选：A. 【技巧归纳】根据函数的定义逐项分析即可判断. 【例2】已知函数且，则 ． 【答案】2或 【详解】当时，，解得，因为，故； 当时，，解得，因为，故；验证： 当时，，符合题意；当时，，符合题意；故答案为：2或. 【技巧归纳】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意. 【例3】已知函数，则 ；若，则 . 【答案】 4 0或1 【详解】；故； 若，则；若，则，故或. 故答案为：4；0或1. 【技巧归纳】先求，根据其大小与关系，选择对应解析式代值即可求得结果；分类讨论或，根据解析式即可求得参数. 【例4】下列哪组中的两个函数是相同函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是相同函数；对于B选项，函数的 定义域为，函数的定义域为，B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是相同函数；对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同，故C选项中的两个 函数是相同函数；对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是相同函数；故选：C. 【技巧归纳】根据相同函数的定义逐项判断即可. 【对点练习】 【练习1】下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义依次判断各个选项. 【详解】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，故A错误； 对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误； 对于C，即，满足函数的定义，故C正确； 对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误；故选：C. 【练习2】下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误，由选项B的图象知， 存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数；故选：B. 【练习3】下列函数中，与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】定义域和对应关系均相同才是相同函数，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是相同函数；对于B，的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以与函数不是 相同函数；对于C，的定义域为，函数的定义域为， 定义域不同，所以与函数不是相同函数；对于D，，与函数的定义域 和对应关系都相同，所以它们是相同函数；故选：D. 【练习4】下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为相同函数.【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是相同函数，A错误；B选项，令，解得，的定义域为，的定义域为R，两函数定义域不同，不是相同函数，B错误；C选项，的定义域为， 的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，C错误；D选项，，，两函数定义域和对应法则均相同，为相同函数，D正确；故选：D. 【练习5】已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，进而可解得实数的值. 【详解】已知函数，若，则，解得；故答案为：. 【练习6】已知，且，则 . 【答案】4【分析】求出的解析式，再由求的值. 【详解】，所以，由得；故答案为：4. 【练习7】已知函数，则 . 【答案】1【分析】根据题意先求出，再求即可.【详解】因为， 所以，所以；故答案为：1. 【练习8】已知函数，若，则 ． 【答案】0【分析】根据求得的值，再代入求值即可. 【详解】因为，所以，解得，则， 所以；故答案为：0. 知识点02 函数的定义域 求函数的定义域时，要注意应用下列原则： ①是整式时，定义域是全体实数； ②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数； ③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合； ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1； ⑤零（负）指数幂的底数不能为零； ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的 定义域的交集； ⑦对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的 定义域应由不等式解出； ⑧对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论； ⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 【经典例题】 【例5】函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为，故答案为：. 【易错提醒】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解. 【例6】函数的定义域为 ． 【答案】或． 【详解】 由题知，，即，解得， 故函数的定义域为或；故答案为：或． 【易错提醒】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【例7】（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】（1）设，因为的定义域为，所以要使有意义， 必须，解得，所以的定义域为，即的定义域为； （2）设，考察函数，因为的定义域为，所以，得， 所以的定义域为，设，要使有意义，必须，解得； 故的定义域为；故答案为：；． 【易错提醒】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【例8】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意知，，则函数的定义域为；故答案为：． 【易错提醒】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【对点练习】 【练习9】函数的定义域为 ． 【答案】【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域. 【详解】由，解得，且． 所以的定义域为．故答案为： 【练习10】函数的定义域为 ． 【答案】或【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】由，即，解得或， 所以的定义域为或；故答案为：或． 【练习11】函数的定义域是 【答案】【分析】二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为；故答案为：. 【练习12】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是，则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为；故答案为：. 【易错提醒】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 知识点03 函数的值域 求函数的值域时，要注意应用下列原则： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值； ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值； ③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程， 则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值； ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值； ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的； ⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． 【经典例题】 【例9】函数，的值域为 . 【答案】 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以函数的值域为； 故答案为：. 【易错提醒】根据二次函数的知识求得正确答案. 【例10】函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，因为，所以，则，所以原函数可化为，其对称轴为，所以函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为；故答案为：. 【易错提醒】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解. 【例11】函数的值域是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，故所求值域为； 故答案为：. 【易错提醒】分离常数后，即可求解. 【例12】函数的值域为 ． 【答案】且. 【详解】，其中且，所以， 所以且，所以函数的值域为且；故答案为：且. 【易错提醒】由题意得，其中且，由此即可得解. 【例13】若函数值域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】若函数的值域为，则能取到上所有实数，显然当时，可以取到上所有实数，当时，只需满足，解得.综上所述：.故答案为：. 【易错提醒】由题意得对数的值域为R，由此可知定义域中正区间的正数一个都不能少，即可得解. 【对点练习】 【练习13】函数的值域为 【答案】【分析】根据换元法得到有关的函数，根据取值可得到值域. 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以，所以，故的值域为，故答案为：. 【练习14】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 因此，函数的值域为.故选：A. 【练习15】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则原函数可化为. 又∵，∴，故， ∴的值域为.故选：A. 【练习16】函数的值域是___________. 【答案】 【解析】因为，设,, 在上单调递增,所以；故答案为：. 【练习17】函数的值域是______．【答案】 【解析】由题知，因为，所以， 所以，则 因此， 故答案为:. 【练习18】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】，当时，；当或时，.因此当时，函数在区间上的最小值为，最大值为，所以，实数的取值范围是；故选：C. 知识点03 求函数的解析式 求函数的解析式的常用求法： 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法； 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题， 在使用换元法时特别注意，换元必换范围； 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式； 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式. 【例14】已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为，所以， 所以，解得；故答案为：. 【易错提醒】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【例15】已知是一次函数，且在上单调递增，，则 . 【答案】 【详解】因为函数是一次函数，且在上单调递增，所以，设， 因为，则，故，解得， 故；故答案为：. 【易错提醒】设出一次函数的表达式，利用待定系数法求解. 【例16】已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】令，则，因为，所以， 则，故；故选：B. 【易错提醒】利用换元法求解. 【例17】已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【答案】【详解】因为①，所以②， 由得，即，设2， 则，故在内单调递增， 所以；故答案为：. 【易错提醒】解方程组法求出的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值. 【例18】某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量 保持不变；则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．      B．   C．  D．   【答案】A 【详解】∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当时，总产量增长速度原来越快，图象上升的 速度越来越快；又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当时，图象的上升速度不变，图象为 直线型，且c随t的增大而增大；故选：A． 【易错提醒】由题可知前三年年产量的增长速度越来越快，即的值逐渐增大，后三年 年产量保持不变，即的值不变. 【练习19】已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设，， ，，又， ；故答案为：. 【练习20】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，①，得，②， 由得，所以；故答案为：. 【练习21】已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . 【答案】【分析】用替换，联立解得. 【详解】由得，联立两式解得； 故答案为：. x 1 2 3 2 3 0 【练习22】已知函数的对应关系如下表，函数的图象是 如下图的曲线，其中，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 【练习23】某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追， 在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示 随着时间变化两人之间距离的变化（     ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据已知条件进行分析，结合图象来确定正确答案. 【详解】设公交车行驶速度为，开车的速度为，则该同学出门后到他妈妈发现他忘带文具盒这段时间两人之间的距离以的速度增大，从妈妈出发到追上他这段时间两人之间的距离以的速度减小； 分别后两人之间的距离以的速度增大，C正确；故选：C. 【练习24】某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示， 令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）， 与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项． 【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变， 从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足，故选：D． 1．下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】作直线，，通过平移直线， 只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意；故选：B. 2．已知函数，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D【分析】利用换元法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】令，则，则， 所以，所以；故选：D. 3.下列四组函数中，两个函数表示的是相同函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，与的解析式不同，不是相同函数； 对于B，的定义域为， 的定义域为或，二者定义域不相同，不是相同函数； 对于C，的定义域为，而的定义域为，不是相同函数； 对于D，，二者定义域均为，解析式也相同，是相同函数；故选：D. 4.下列各组函数中，表示相同函数的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D【分析】分别求出函数的定义域和对应关系，根据函数的概念判断是否为相同函数. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为两个函数的定义域不同，不是相同函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是相同函数，故B错误；对于C，函数与函数的 对应关系不同，不是相同函数，故C错误；对于D，与函数 定义域相同，对应关系也相同，是相同函数，故D正确；故选：D. 5．函数的定义域为 ． 【答案】【分析】根据题意得解出即可. 【详解】要使函数有意义，则，即， 所以函数的定义域为：，故答案为：. 6．一次函数满足：，则的解析式可以是 ． （写出满足条件的一个解析式即可） 【答案】（或）【分析】利用待定系数法可求得函数解析式. 【详解】设，则， 所以，解得或，即或． 故答案为：（或）. 7．已知，则 . 【答案】2【分析】根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】因为，所以,故答案为：2. 8.已知函数，若，则x的可能取值为 . 【答案】1或【分析】根据分段函数，进行分类讨论即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得；综上，或；故答案为：1或． 9.已知函数，则 . 【答案】【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解. 【详解】因为函数，且，所以，故答案为：. 10．已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，所以对于函数，有， 解得，故函数的定义域为；故答案为：. 11．若函数满足，则的解析式为 ． 【答案】（且） 【分析】利用换元法求解即可.【详解】设，则， 由题意可知且，所以且， 将代入，得， 所以的解析式为（且）．故答案为：（且）. 12．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】【分析】函数的定义域为，意味着根号下的 二次函数的值恒大于等于；需要分和两种情况进行讨论. 【详解】由题意可知，对任意，恒成立． （ⅰ）当时，不恒成立，舍去； （ⅱ）当时，应满足，解得；所以实数的取值范围为． 13．设函数若，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故． 14．若函数满足，则 ． 【答案】2【分析】分别令，，得到，，进而解方程组即可. 【详解】由，令，得， 令，得，两式联立，解得；故答案为：2. 15．函数，则 . 【答案】【分析】根据条件，利用指、对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以 ,则， 故答案为：. 16．定义为中的最小值，则的最大值为 . 【答案】【分析】根据给定条件，作出函数的图象，可得的图象及解析，再求出最大值． 【详解】令，在同一坐标系内作出函数，如图，    函数的图象如图中实线部分，由解得， 由解得，于是，函数的图象的最高点为， 而点，所以当时，取得最大值；故答案为：. 17．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误；故选：B. 18．下列函数中，与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据相同函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误；，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为相同函数，B正确；的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误；故选：B. 19．设实数．已知，其中为二次函数，且当时，有最大值5；又的最小值为，且，求的解析式和实数的值． 【答案】，的值为1【分析】由题意可设，代入得，再利用一元二次函数的性质结合已知条件列式求解即可. 【详解】因为为二次函数，且当时，有最大值5，所以设，其中， 则， 所以由题意可得，因为，所以， 从而，所以的解析式为，的值为1. 20．分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且；(2)函数满足． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）设，代入已知条件列出方程组，解方程组得出， 得出方程为，代入验证成立； （2）根据得出，联立消去得出. 【详解】（1）设，根据题意得解得 则；验证：，成立； ，成立；，成立；所以. （2）因为①，所以②，②①得，， 所以． 21．求函数的值域． 【答案】 【分析】方法1：利用分离常数的方法，结合二次函数的值域求解；方法2：转化为方程有实数根．讨论和，利用判别式法求函数值域. 【详解】解法1：，因为，所以，故． 解法2：由于，原函数转化为方程有实数根． 当时，，矛盾，方程无解； 当时，方程有实数根，则， 整理得，则．综上所述，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $