第5讲 初级三阶幻方（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

小学四年级上数学奥数讲义 第5讲：初级三阶幻方——数字的魔力方阵 一、知识梳理与核心秘籍 1、概念殿堂 三阶幻方：将9个不同的数字填入 的方格中，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。这个相等的和称为 “幻和” 。古代也称其为“九宫算”或“纵横图”。 三阶反幻方：将9个数填入方格，要求每行、每列、对角线的三数之和互不相同，且相邻的自然数在方格中的位置也必须相邻。 三阶质数幻方：填入9个互不相同的质数，满足三阶幻方的基本规则。 2、核心公式与解题“金钥匙”（重点必背） 设幻和为 ，中心位置数字为 ，9个数字总和为 。 规律名称 公式/结论 几何解释 总和与幻和 9个数总和等于3倍的幻和（三行相加）。 中心数定理 最核心公式！ 中心数是幻和的三分之一。 配对平衡律 两端数之和 经过中心的直线（行/列/对角），两端数字之和等于两倍中心数。 等差数列填法 中间数放中心，序号为偶数项放四角 若为连续自然数或等差数列，中间那个数必须放中心；偶数项优先填入四个角。 二、经典例题精讲 【例1】基础三阶幻方（标准1-9填法） 题目：把1～9这九个数字填入方格，使每行、每列、对角线的和都相等。 【思路导航】 1. 算总和： 。 2. 定幻和： 。即每条线必须等于15。 3. 找中心： 。所以正中心填 5。 4. 列组合：找出和为15且包含5的组合（如2+5+8, 4+5+6），以及不包含5的组合（如4+9+2）。 5. 定四角：数字5出现在4组算式中（中心特征）；数字2、4、6、8各出现在3组算式中，必须填在四个角；剩下的1、3、7、9填在四边中间。 【标准答案】 4 9 2 3 5 7 8 1 6 💡 知识小贴士：标准1~9幻方通过旋转和翻转，可得到8种外形，但本质相同。 【例2】等差数列三阶幻方 题目：用 11，13，15，17，19，21，23，25，27 编制一个三阶幻方。 【解析】 这是一组公差为2的等差数列。 1. 找中间数：共9项，按大小排序，第5个数 19 为中心数。 2. 定四角：根据“序号为偶数的项放四角”原则（指在数列中的位置为偶数，即第2、4、6、8项），将 13、17、21、25 填入四角。 3. 补边：剩下的数（11、15、23、27）填入四边中间，调整位置使和为幻和 。 【完整填法】 13 27 17 23 19 15 21 11 25 【例3】奇异三阶幻方 题目：将1~9填入方格，满足：①任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同；②相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。 【解析】 采用 “螺旋排列法” ，从外向内顺时针或逆时针填数，即可满足条件。 【标准填法】（蛇形填法）　按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。 1 2 3 8 9 4 7 6 5 9 8 7 2 1 6 3 4 5 【例4】公式推导:推导中心数与幻方的关系（学霸必会） 题目：证明将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数，则中心方格中的数必为. 【证明】 因为每行的三数之和都等于，共有三行，所以九个数之和等于。如下图所示， 设九数总和为 ，幻和为 ，中心方格中的数为 。 经过中心数的线有4条（横、竖、斜2），这4条线的总和为 。 这4条线包含了所有9个数，且中心数 被重复计算了3次（多算了3次）。 所以： 。 又因为 ，代入得： 。 结论： 。 注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求。这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用。 　　在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方。 【例5】三阶质数幻方 题目：构造三阶质数幻方，使每行、每列、对角线三数之和均为 267。 【解析】 1. 中心数： （89是质数，符合要求）。 2. 配对和：两端数之和应为 。 3. 找质数对：找出和为178的质数对，如 (11, 167), (29, 149), (47, 131), (71, 107)。 4. 填入：将这些数对分别填入经过中心的四条线两端。 【答案示例】 29 131 107 167 89 11 47 71 149 三、拓展例题 拓展例 1 残缺幻方补数 题目：已知三阶幻方幻和为 27，根据已有数字，补全方格内空缺数字。 (1) 7 12 (2) 12 7 思路 利用核心规律：中心数 = 幻和 ÷3=9；同线两端数之和 = 2× 中心数=18，按此规律，逐步推导未知数字。 解答 (1) 6 17 4 7 9 11 14 1 12 (2) 11 2 14 12 9 6 4 16 7 拓展例 2 已知九数总和求质数幻方 题目：有一个三阶质数幻方，9 个数字总和为 657，完成幻方构造。 分析 幻和：； 中心数：； 每组配对质数和：，寻找和为 146 的质数组合，完成填数。例如： 37 139 43 79 73 67 103 7 109 四、基础练习 1. 将九个连续自然数填入3×3的方格内，使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都 66。 2. 把 1，3，5，7，9，11，13，15，17 填入3×3的方格内，构成一个幻方。 3. 用 2，4，6，12，14，16，22，24，26 九个偶数编制一个幻方。 4. 把 2、3、4、5、6、7、8、9、10 这九个连续自然数填入 3×3 方格，构成3×3幻方。 5. 用 5、10、15、20、25、30、35、40、45 九个等差数编制三阶幻方。 6. 题目：将 1、5、9、13、17、21、25、29、33 填入九宫格，做成三阶幻方。 五、 拓展练习 1. 题目：下图为不完整三阶幻方，幻和为 30，请补全所有空格。 ？ 11 ？ 17 ？ ？ ？ ？ 14 2. 题目：已知一个三阶幻方的幻和为 42，求中心数，并自主编写一组符合条件的三阶幻方。 3. 题目：有 9 个整数，总和为 81，能否构成标准三阶幻方？请说明理由。 4. 题目：构造三阶质数幻方，使每行、每列、对角线三数之和 = 177。 5. 题目：把 1~9 填入九宫格，做成三阶奇异幻方（每行、每列、对角线和互不相等，相邻数字位置相邻）。 六、📝基础练习参考答案与解析 1. 中心数： 。选取连续数 18~26，按标准格式填入。 19 26 21 24 22 20 23 18 25 2. 中心数：9。填法如下： 3 17 7 13 9 5 11 1 15 3. 解析 这组数虽然不是连续的，中心数：14。找出和为 14×2=28 的数对，序号为偶数的项（即第2、4、6、8项：4, 12, 16, 24）放在四个角。 12 26 4 6 14 22 24 2 16 4. 解析 求九数总和： 总和 = 幻和： 中心数： 3 10 5 8 6 4 7 2 9 5. 解析 九数总和：总和 = 幻和： 中心数： 参考答案 10 45 20 35 25 15 30 5 40 6. 参考答案 5 33 13 25 17 9 21 1 29 七、📝拓展练习参考答案与解析 练习 1 参照三阶幻方基础规律，逐格推导，补全后标准图形略（旋转形式均可）。 解题步骤 中心数： 中心数 对角线：，符合幻和； 利用「两端数之和 = 2× 中心数」逐格推导。 参考答案 6 11 13 17 10 3 7 9 14 练习 2 题目：已知一个三阶幻方的幻和为 42，求中心数，并自主编写一组符合条件的三阶幻方。 解答 幻和 = 42 中心数： 以 14 为中心，选取 9 个整数构造即可，示例： 8 22 12 18 14 10 16 6 20 练习 3 题目：有 9 个整数，总和为 81，能否构成标准三阶幻方？请说明理由。 解答 可以。 幻和 ，中心数 ，为整数，满足三阶幻方基本条件。 练习 4 题目：构造三阶质数幻方，使每行、每列、对角线三数之和 = 177。 分析 幻和S=177，中心数：（59 是质数） 两两质数和： 和为 118的质数组合： 参考答案 17 89 71 113 59 5 47 29 101 练习 5 题目：把 1~9 填入九宫格，做成三阶奇异幻方（每行、每列、对角线和互不相等，相邻数字位置相邻）。 参考答案（标准螺旋奇异幻方） 1 2 3 8 9 4 7 6 5 学科网（北京）股份有限公司 $