第4章 第4讲 三角函数的图象与性质（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的图象与性质”专题，依据课标要求梳理了定义域、值域、单调性、周期性、对称性五大核心考点，结合考情分析明确单调性、周期性为高频考查内容，归纳出选择、填空等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题改编+规律总结+素养提升”的复习策略，如例1通过换元法求三角函数值域，例3用整体法确定单调区间，培养学生逻辑推理和数学运算素养。特设“易错点警示”和“解题模板”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展复习教学，助力学生高效备战高考。

第4讲　三角函数的图象与性质 第四章　三角函数与解三角形 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 (0，1) (π，－1) 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 [－1，1] [－1，1] 2π π 奇函数 偶函数 [－π＋2kπ，2kπ] [2kπ，π＋2kπ] 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 (kπ，0) x＝kπ 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 × × × √ 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　三角函数与解三角形 1 课标要求 考情分析 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．能利用正弦、余弦函数在[0，2π]上及正切函数在上的图象与性质解决问题． 考点考法：本讲是高考热点之一，主要考查三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、对称性等基本性质，题目难度多是容易题． 核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算． 1．正弦、余弦函数图象上的五个关键点 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是(0，0)，____________，(π，0)，____________，(2π，0)； (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是_________，，___________，，(2π，1). 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 __________ __________ R 最小 正周期 2π __________ _______ 奇偶性 __________ __________ 奇函数 递增 区间 __________________ _________________ _________________ 递减 区间 _________________ _________________ 无 x＝kπ＋ [微提醒]　正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调． 对称 中心 __________ _______________ _______________ 对称轴 方程 _________________ __________ 无 零点 kπ kπ＋ kπ 1．对称性与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期； (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)； (2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z). 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　) (3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (4)y＝sin |x|是偶函数．(　　) 2．(北师大版必修二P42实例改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 解析　T＝＝π，A＝2－1＝1，故选A. 答案　A 3．(北师大版必修二P52习题A组第4题改编)函数y＝2sin (x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 解析　令－＋2kπ≤x－≤ ＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.因为x∈[－π，0]，所以所求函数的单调递增区间为. 答案　D 4．(北师大版必修二P52习题A组第2题改编)已知函数f(x)＝sin (0＜φ＜2π)为偶函数，则φ＝(　　) A． B． C．π D． 解析　因为函数f(x)为偶函数，得＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝π＋2kπ，k∈Z，又0＜φ＜2π，所以φ＝π. 答案　C 5．函数y＝cos ，x∈的值域是____________． 解析　由x∈得x＋∈， 所以y＝cos 的值域为. 答案　 考点一　三角函数的定义域和值域　重难考点　师生共研 (1)函数y＝的定义域为______________． (2)函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2的值域为________________． [解析]　(1)方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z). 方法二　要使函数y＝有意义， 则sin x－cos x≥0，即sin ≥0， 即2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z， 即原函数的定义域为(k∈Z). (2)设sin x＋cos x＝sin ＝t， t∈[－，]，则2sin x cos x＝t2－1， 则由函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin x cos x＋2， 可知y＝t2＋t＋1＝＋，t∈[－，]， 当t＝－时，ymin＝；当t＝时，ymax＝3＋. 因此函数的值域为. [答案]　(1)(k∈Z)　(2) 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． 2．三角函数值域的求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域． 1．函数y＝tan 的值域为(　　) A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 解析　因为－≤x≤且x≠0，所以≤－x≤且－x≠， 所以函数y＝tan 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞). 答案　B 2．若函数f(x)＝4sin x－2cos 2x＋m在R上的最大值是3，则实数m等于(　　) A．－6 B．－5 C．－3 D．－2 解析　因为f(x)＝4sin x－2(1－2sin2x)＋m＝4sin2x＋4sinx＋m－2＝(2sin x＋1)2＋m－3，当sin x＝1时，函数取到最大值，即(2＋1)2＋m－3＝3，解得m＝－3. 答案　C 考点二　三角函数的奇偶性、周期性和对称性　重难考点　师生共研 (1)已知函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 (2)(多选)(2025·河南部分名校段测)已知函数f(x)＝sin 2x＋，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)以π为周期 (3)函数f(x)＝3sin ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________． [解析]　(1)因为函数f(x)＝2sin (ω＞0)的最小正周期为4π，即T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin .令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称轴为直线x＝＋2kπ(k∈Z).令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．故选B. (2)由题意得，f(x)＝sin 2x＋，则sin 2x≠0，则2x≠kπ，k∈Z，即x≠，k∈Z，则函数f(x)的定义域为. 函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A正确； 设t＝sin 2x∈[－1，0)∪(0，1]，则当t∈(0，1]时，y＝t＋在区间(0，1]上单调递减，y∈[3，＋∞)，因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，－3]∪[3，＋∞)，故B错误； f＝sin (3π－2x)＋＝sin 2x＋＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确； f(x＋π)＝sin (2x＋2π)＋＝sin 2x＋＝f(x)，所以函数f(x)的周期为π.故D正确．故选ACD. (3)∵f(x)＝3sin ＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.∴f(x)＝3sin ＋1＝3cos 2x＋1，令2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z). [答案]　(1)B　(2)ACD　(3)　(k∈Z) 有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式． (2)周期的计算方法：利用周期的公式求解． (3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心． 3．(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝cos (x＋φ)，则“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由题意可知，f(x)的定义域为R， 若f(0)＝cos φ＝0，可得φ＝＋kπ，k∈Z， 若k为偶数，则f(x)＝cos ＝cos ＝－sin x为奇函数； 若k为奇数，则f(x)＝cos ＝－cos ＝sin x为奇函数， 即充分性成立； 若f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即必要性成立． 综上所述，“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的充要条件． 答案　C 4．(多选)(2024·平顶山模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则(　　) A．ω＝2 B．函数f(x)为奇函数 C．函数f(x)的图象关于点对称 D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 解析　f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2＝2sin ， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以T＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2， 所以f(x)＝2sin ，故A正确； 显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误； 对于C选项，f＝2sin ＝2sin (－π)＝0， 所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确； 对于D选项，f＝2sin ＝2sin ＝－1， 所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误． 答案　AC 考点三　三角函数的单调性　多维探究　发散思维 角度1　求三角函数的单调区间 函数f(x)＝sin 的单调递减区间为________________，在[0，π]上的单调递减区间为________________． [解析]　f(x)＝sin 的单调递减区间是g(x)＝sin 的单调递增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函数的单调递减区间为(k∈Z). 令A＝(k∈Z)，B＝[0，π]， ∴A∩B＝∪， ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. [答案]　(k∈Z)　和 角度2　根据单调性求参数 (2025·广州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝，则ω等于(　　) A． B．1 C． D．2 [解析]　由函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ， 因为f(a)＝1，f(b)＝－1，所以sin ＝，sin ＝－， 又f(x)在区间[a，b]上单调递减，ω>0， 所以ωa＋＝＋2kπ，k∈Z，ωb＋＝＋2kπ，k∈Z， 两式相减，可得ω(b－a)＝，因为b－a＝，所以ω＝. [答案]　C 1．已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2．已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 5．(2025·赣州联考)已知函数f(x)＝2cos ，x∈，则f(x)的单调递增区间是(　　) A． B． C．， D．， 解析　f(x)＝2cos ，可化为f(x)＝2cos ， 令2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤， ∵x∈，∴f(x)的单调递增区间是，. 答案　D 6．(2025·邢台质检)若函数f(x)＝1－tan (ω≠0)在(0，1)上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　由函数f(x)＝1＋tan 在(0，1)上单调递增，结合正切函数的性质，可得－ω＞0，当x∈(0，1)时，可得－ωx＋∈，则－ω＋≤，解得－≤ω＜0.故选D. 答案　D $