第2章 第2讲 函数的单调性与最值（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性与最值专题，依据课标要求和考情分析，系统梳理定义、单调区间、最值等核心知识，明确高考以基本初等函数为载体考查判断、比较大小、解不等式、求最值等常考题型，对接数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识整合+考点突破+真题训练”模式，如针对复合函数单调区间，采用“定义域优先+同增异减”方法解析，结合导数法证明单调性培养逻辑推理素养，设置易错点分析和知能达标训练，帮助学生掌握解题技巧提高得分率，教师可据此实施系统复习教学。

第2讲　函数的单调性与最值 第二章　函数 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 单调递增 单调递减 单调区间 栏目导航 第二章　函数 1 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 × × × × 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 栏目导航 第二章　函数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第二章　函数 1 谢谢观看 栏目导航 第二章　函数 1 课标要求 考情分析 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最值． 2．理解函数的单调性、最值的实际意义，掌握函数单调性的简单应用． 考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查对函数单调性的判断，利用单调性比较大小、解不等式、求函数的最值．函数单调性的应用是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算． 1．函数的单调性 (1)单调递增和单调递减 类别 单调递增 单调递减 定义 设函数y＝f(x)的定义域是D，如果对于任意的x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 图象 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上___________或___________，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有(严格的)单调性．此时，区间I为函数y＝f(x)的____________． [微提醒]　(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，若存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有___________； (2)∃x0∈D，使得___________ (1)∀x∈D，都有___________； (2)∃x0∈D，使得___________ 结论 M为最大值 M为最小值 [微提醒]　(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在I上单调递增； (2)＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在I上单调递减． 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质 (1)当f(x)，g(x)都单调递增(减)时，f(x)＋g(x)单调递增(减)； (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 3．对于复合函数y＝f(φ(x))，若u＝φ(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(u)在(φ(a)，φ(b))或(φ(b)，φ(a))上也是单调函数，则y＝f(φ(x))在(a，b)上的单调性为“同增异减”． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝在定义域内单调递减．(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) (4)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1，3)上单调递增．(　　) 2．(北师大版必修一P62练习第3题改编)下列函数中，在其定义域上是减函数的是(　　) A．y＝－2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝2x 解析　y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故B错误； y＝在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误． 答案　A 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　) A．[－1，2]∪[4，5] B．[－1，2]和[4，5] C．[－3，－1]∪[2，4] D．[－3，－1]和[2，4] 解析　由图象知,该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5],故选B. 答案　B 4．(北师大版必修一P62练习第3题改编)函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　) A．2 B． C． D．－ 解析　因为y＝在[2，3]上单调递减，所以ymin＝＝. 故选B. 答案　B 5．(北师大版必修一P64练习第2题改编)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是____________． 解析　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由题意得1－a≥4，解得a≤－3. 答案　(－∞，－3] 考点一　求函数的单调区间　基础考点　自练自悟 1．函数f(x)＝(x－4)·|x|的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，0)和(2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析　函数f(x)＝(x－4)·|x|＝的图象如图所示， 由图可知函数的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞). 答案　C 2．函数f(x)＝的单调递减区间为____________，单调递增区间为____________． 解析　因为3－2x－x2>0，所以－3<x<1. 由二次函数图象可知f(x)的单调递减区间为(－3，－1]，单调递增区间为(－1，1). 答案　(－3，－1]　(－1，1) 3．求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log(－x2＋4x＋5). 解析　(1)f(x)＝ 其大致图象如图所示， 所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]， 单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞). (2)令u＝－x2＋4x＋5，则f(x)＝logu. 因为u>0，所以－1<x<5，且当x∈(－1，2]时，u单调递增； 当x∈(2，5)时，u单调递减． 又f(x)＝logu在(0，＋∞)上为减函数， 根据复合函数同增异减的性质， 故f(x)的单调递增区间为(2，5)，单调递减区间为(－1，2]. 求函数的单调区间的方法 (1)求简单函数单调区间的常见方法：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间；②定义法；③图象法；④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． (2)求复合函数的单调区间的一般步骤：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 警示：求函数单调区间注意定义域优先原则． 考点二　证明函数的单调性　重难考点　师生共研 设函数f(x)＝－2x，证明：函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减． [证明]　方法一　设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－－2x1＋2x2 ＝－2(x1－x2) ＝(x1－x2)， 因为0≤x1<x2，所以<1. 所以(x1－x2)>0. 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减． 方法二　对f(x)＝－2x求导， 得f′(x)＝·－2＝－2， 因为x≥0，所以<1，所以f′(x)<0. 故f(x)在[0，＋∞)上单调递减． 判断函数的单调性的方法 (1)定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；(2)图象法：若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性；(3)导数法：先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调性． 1．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解析　方法一(定义法) 设－1<x1<x2<1，因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 方法二(导数法) f′(x)＝＝＝－. 故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 考点三　函数单调性的应用　多维探究　发散思维 角度1　比较函数值的大小 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c [解析]　∵f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f＝f.又∵当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立， ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．∵2＜＜e，∴f(2)＞f＞f(e)， ∴b＞a＞c. [答案]　D 比较函数值的大小的方法 利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小． 角度2　解函数不等式(一题多变) 已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，总有>0，则f(x＋1)>f(2x)的解集是____________． [解析]　依题意不妨设x1>x2，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以，函数f(x)是定义在R上的增函数，因为f(x＋1)>f(2x)，则x＋1>2x，解得x<1.因此，f(x＋1)>f(2x)的解集为(－∞，1). [答案]　(－∞，1) (变条件)本例中的“定义域为R”变为“定义域为[－2，2]”，其余不变，则f(x＋1)>f(2x)的解集是____________． 解析　对任意的x1，x2∈[－2，2]且x1≠x2，总有>0，不妨设x1>x2，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以，函数f(x) 是定义在[－2，2]上的增函数，因为f(x＋1)>f(2x)，则解得－1≤x<1.因此，不等式的解集为[－1，1). 答案　[－1，1) 利用函数单调性解不等式的具体步骤 (1)将函数不等式转化为f(x1)＞f(x2)的形式． (2)确定函数f(x)的单调性． (3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式，从而得解． 角度3　求参数的范围(值) 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(0，1) D．(0，1] [解析]　因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0＜a≤， 所以实数a的取值范围为. [答案]　B 利用函数的单调性求参数的方法 (1)根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)[不等式(组)]或先得到其图象的升降，再结合图象求解． (2)对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，a∈R，则(　　) A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(2a) D．f(a2＋1)＜f(a) 解析　∵a2＋1－a＝＋＞0，∴a2＋1＞a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，∴f(a2＋1)＜f(a)，故选D. 答案　D 3．已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是(　　) A．(－2，1) B．(0，1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析　由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数，则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞). 答案　C 4．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为____________． 解析　f(x)＝＝＝1＋，因为f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以⇒1≤a<2. 答案　[1，2) 考点四　函数的最值　重难考点　师生共研 求下列函数的最值． (1)f(x)＝，x∈[1，4]； (2)f(x)＝2x2－. [解析]　(1)∵f(x)＝＝＝2－，x∈[1，4]， ∴f(x)在[1，4]上单调递增， ∴函数的最小值为f(1)＝，最大值为f(4)＝. (2)令 ＝t，t≥1，则x2＝t2－1， ∴y＝2(t2－1)－t＝2t2－t－2(t≥1). ∵y＝2t2－t－2(t≥1)的图象的对称轴为直线t＝， ∴当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的， ∴ymin＝2×12－1－2＝－1， ∴函数f(x)的最小值为－1，无最大值． 求函数最值(值域)的五种常用方法 (1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值； (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求出最值； (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 5．已知函数f(x)＝(a＞0)在区间[2，6]上的最大值为5，则a＝(　　) A．2 B．3 C．15 D．3或15 解析　f(x)＝＝＝2＋.因为a＞0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在区间[2，6]上的最大值为f(2)＝2＋＝2＋a＝5，解得a＝3. 答案　B 6．函数f(x)＝的最大值为____________． 解析　作出函数f(x)＝的图象(如图所示)，由函数图象可知，f(x)max＝f(0)＝2. 答案　2 $