第1章 拓视野1 三元基本不等式与柯西不等式（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三元基本不等式与柯西不等式”核心考点，依据高考评价体系明确不等式在最值求解中的考查要求，通过梳理n元均值不等式链、柯西不等式向量及一般形式，归纳出“构造定值”“和式消元”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“原理推导+真题解析+技巧提炼”，如例1通过“拆项构造三元均值”、例2用柯西不等式向量形式求最值，培养学生数学思维与运算能力。设“易错点警示”（如等号成立条件），教师可依托例题精讲提升学生解题效率，助力高考冲刺。

拓视野1 三元基本不等式与柯西不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 谢谢观看 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 一、三元基本不等式 (1)设a1，a2，a3是正实数，则≤， 当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立． (2)n元基本不等式：设a1，a2，…，an是正实数，则 ≤≤ ≤ ， 当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．(即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数．) 已知2a>b>0，则a＋的最小值为____________． [解析]　方法一　由于所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值的式子，以便利用均值不等式． 分母为b(2a－b)，所以可将a构造为·2a＝·[(2a－b)＋b)]， 从而对三项使用均值不等式即可求出最小值． a＋＝≥·3＝3(当且仅当a＝b＝2时，等号成立). 方法二　观察到待求表达式中分式的分母为b(2a－b)，想到作和式消去b，可得b(2a－b)≤2＝a2， 从而a＋≥a＋(当且仅当b＝2a－b，即a＝b时， 等号成立). 设f(a)＝a＋，可继续构造乘积为定值的式子： f(a)＝＋＋≥3＝3，当且仅当a＝2时，等号成立． [答案]　3 二、柯西不等式 (1)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或者存在实数k，使得α＝kβ时等号成立． (2)用平面向量的坐标(二维形式)表示上面的不等式，则得到二维的柯西不等式：设a1，a2，b1，b2∈R，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2，当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立． (3)推广到一般形式：设ai，bi∈R(i＝1，2，3，…，n)，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)，或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时等号成立． 　(1)设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为____________． (2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为____________． [解析]　(1)由柯西不等式，得(22＋32)(x2＋y2)≥(2x＋3y)2＝132，所以x2＋y2≥13，当且仅当＝，即x＝2，y＝3时等号成立． (2)由柯西不等式，得(＋＋)2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)＝3，所以当且仅当a＝b＝c＝时，＋＋的最大值为. [答案]　(1)13　(2) $