第1章 第4讲 基本不等式（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求和高考评价体系，梳理了利用基本不等式求最值、参数范围等核心考点，考情分析显示以选择填空为主，中高难度，归纳直接法、配凑法等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题融入与应试技巧指导，如2022新高考全国卷II真题通过构造不等式法突破，强调“一正二定三相等”易错点，培养数学运算和逻辑推理素养，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导复习。

第4讲　基本不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 a＞0，b＞0 a＝b 算术平均值 几何平均值 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 x＝y x＝y 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 × √ × 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 课标要求 考情分析 1．探索并了解基本不等式的证明过程． 2．掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题． 考点考法：本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，中高档难度． 核心素养：数学运算、逻辑推理、数学建模． 1．基本不等式(又称均值不等式)：≥ (1)基本不等式成立的条件是______________． (2)等号成立的条件是：当且仅当________时，等号成立． (3)其中，称为正数a，b的______________，称为正数a，b的______________． [微提醒]　应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 2．基本不等式与最值 已知x，y均为正数，则 (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当________时，xy取得最大值______． (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当________时，x＋y取得最小值______． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． 2 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同号)； (3)ab≤(a，b∈R)； (4)≥(a，b∈R). (5)≤≤≤ (a>0，b>0) 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋(x＞0)的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　) 2．(北师大版必修一P30练习第4题改编)已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 解析　因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18. 答案　B 3．(北师大版必修一P30习题第5题(1)改编)函数f(x)＝(x＞0)的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　f(x)＝＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故f(x)的最小值为3.故选B. 答案　B 4．(北师大版必修一P30练习1改编)函数y＝的最大值为____________． 解析　函数y的定义域为{x|0≤x≤3}． 当x＝0或x＝3时，y＝＝0； 当0<x<3时，3－x>0，所以y＝≤＝， 当且仅当x＝3－x，即x＝时，等号成立． 综上，函数y＝的最大值为. 答案　 5．(北师大版必修一P31习题B组第4题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是____________． 解析　设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积为S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时等号成立． 答案　25 m2 考点一　利用基本不等式求最值　多维探究　发散思维 角度1　直接法求最值 (1)(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．＋ B．2x＋2－x C．y＝|sin x|＋ D．＋ (2)若1≤x≤4，则的最大值为(　　) A．4 B． C．2 D．2 [解析]　(1)选项A中，当ab<0时，函数y＝＋<0，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，在y＝|sin x|＋中，|sin x|>0，所以y＝|sin x|＋≥2＝2，当且仅当|sin x|＝1时，等号成立，满足题意； 选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． (2)因为1≤x≤4，所以6－x>0，x＋2>0， 所以≤＝4， 当且仅当6－x＝x＋2，即x＝2时等号成立， 所以的最大值为4. [答案]　(1)BC　(2)A 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式≥成立的前提条件为a>0，b>0；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可． 角度2　配凑法求最值 (1)已知0<x<，则x的最大值为(　　) A． B． C． D． (2)函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 [解析]　(1)x＝ ＝≤ ×＝， 当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立． (2)因为x∈(－1，＋∞)，则x＋1>0， 则f(x)＝4x＋＝4(x＋1)＋－4 ≥2－4＝12－4＝8， 当且仅当即x＝时，等号成立， 故函数f(x)＝4x＋，x∈(－1，＋∞)的最小值为8. [答案]　(1)D　(2)B 配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值． 角度3　常数代换法求最值 (1)已知正数x，y满足x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值是(　　) A．6 B．16 C．20 D．18 (2)已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　) A． B．1 C．19 D．24 [解析]　(1)因为正数x，y满足x＋8y＝xy，即＋＝1， 则x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝12，y＝3时等号成立． (2)因为x，y均为正实数，且＋＝， 则x＋y＝(x＋2)＋(y＋3)－5＝6[(x＋2)＋(y＋3)]－5 ＝6－5，因为>0，>0， 所以6－5≥6－5＝19， 即x＋y≥19，当且仅当 即时，等号成立． 所以x＋y的最小值为19. 答案　(1)D　(2)C 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 角度4　构造不等式法求最值(考教衔接) 高考真题 (多选)(2022·新高考全国卷Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 解析　对于A，B：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，则(x＋y)2－1＝3xy≤3，则(x＋y)2－1≤(x＋y)2，所以(x＋y)2≤1，则|x＋y|≤2，所以－2≤x＋y≤2，故B正确．对于C，D：由x2＋y2－xy＝1，及基本不等式得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时等号成立，所以x2＋y2≤2，故C正确． 答案　BC 教材溯源 (北师大版必修一P31习题A组第10题改编)若a，b>0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围． 解析　由已知得a＋b＝ab－3，又a，b>0，则a＋b≥2，所以ab－3≥2，所以()2－2－3≥0，则(－3)(＋1)≥0，所以≥3或≤－1(舍去)，所以≥3，则ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围为[9，＋∞). 预测高考 已知x＞0，y＞0，且xy＝2x＋y＋1，则x＋2y的最小值为__________． 解析　由xy＝2x＋y＋1得，x＝＝1＋＞0，则y－2＞0，所以x＋2y＝1＋＋2y＝2(y－2)＋＋5≥2＋5，当且仅当＝2(y－2)，即y＝2＋时等号成立，所以x＋2y的最小值为2＋5. 答案　2＋5 若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值． 1．函数y＝(x>0)的最大值为(　　) A．－3 B． C．3 D．1 解析　因为x>0，所以y＝＝≤＝3， 当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，故原函数的最大值为3. 答案　C 2．设x<2，对于函数y＝2x－1＋，下列说法正确的是(　　) A．最小值为7 B．最小值为－1 C．最大值为7 D．最大值为－1 解析　因为x<2，所以2－x>0， 所以y＝2x－1＋＝2(x－2)＋＋3＝－＋3， 因为2(2－x)＋≥2＝4， 当且仅当2(2－x)＝，即x＝1时等号成立， 故－＋3≤－4＋3＝－1， 所以函数y＝2x－1＋有最大值为－1. 答案　D 3．(多选)(2025·郑州外国语学校期末)已知正数a，b满足3ab＝a＋3b，则下列说法正确的是(　　) A．3a＋b的最小值为 B．ab的最小值为 C．a2＋9b2的最小值为8 D．b> 解析　因为3ab＝a＋3b，即＋＝1，所以3a＋b＝(3a＋b)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确； 3ab＝a＋3b≥2，所以ab≥，当且仅当a＝3b＝2时等号成立，故B正确； a2＋9b2≥6ab≥8，当且仅当a＝3b＝2时等号成立，故C正确； 由3ab＝a＋3b得a＝，因为a>0，b>0，所以b>，故D错误． 答案　ABC 考点二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题　重难考点　师生共研 若正实数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，且x＋≥a2－3a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|－1<a<4} B．{a|－1≤a≤4} C．{a|－4≤a≤1} D．{a|－4<a<1} [解析]　因为正实数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，即xy＝4x＋y，所以＋＝1，所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时等号成立，因为x＋≥a2－3a恒成立，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，即实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． [答案]　B 利用基本不等式解题的策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解； (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式后求解； (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关式子成立的条件，从而求得参数的值或范围． 4．若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式＋<m2＋m有解，则实数m的取值范围是____________． 解析　因为正实数x，y满足x＋y＝1，则(x＋1)＋y＝2， 所以＋＝[(x＋1)＋y]· ＝≥＝， 当且仅当即时，等号成立， 所以＋的最小值为. 因为不等式＋<m2＋m有解， 则m2＋m>，即2m2＋3m－9>0， 解得m<－3或m>.所以实数m的取值范围是(－∞，－3)∪. 答案　(－∞，－3)∪ 考点三　基本不等式的实际应用　重难考点　师生共研 勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于6 cm，则三角形面积取得最大值时的斜边边长为____________cm. [解析]　设直角三角形的直角边长分别为a cm，b cm，则斜边长为 cm，则a＋b＋＝6≥2＋＝(2＋)，则ab≤18(3－2)，则直角三角形面积的最大值为9(3－2)，当且仅当a＝b＝3(2－)时，等号成立，此时斜边长为6(－1)cm. [答案]　6(－1) 利用基本不等式解决实际问题的策略 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 5．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为____________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小). 解析　设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4) ＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 答案　12 $