第1章 第5讲 一元二次函数与一元二次不等式（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次函数与一元二次不等式”专题，依据课标要求和高考评价体系，梳理了二次函数图象与方程根的关系、不等式解法及恒成立问题等核心考点，通过考情分析明确参数范围求解为高频考点，归纳了不含参数、含参数不等式等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题演练+方法归纳+素养提升”，如结合2025全国二卷分式不等式、2023福建莆田期末多选题，详解含参数不等式分类讨论步骤和恒成立问题分离参数法，培养学生数学运算和逻辑推理素养。特设规律方法总结和易错点警示，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

第5讲　 一元二次函数与一元二次不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 {x|x＜x1，或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R ∅ ∅ 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 × √ × 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 谢谢观看 栏目导航 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 1 课标要求 考情分析 1．会结合一元二次函数的图象判断一元二次方程根的个数，了解二次函数零点与一元二次方程根的关系． 2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式． 3．能借助一元二次函数解一元二次不等式． 考点考法：二次函数是高考必考的知识，主要考查借助二次函数解一元二次不等式，利用二次函数图象解决一元二次不等式恒成立问题或求参数的取值(范围)问题． 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理． 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 类别 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 __________________ _______________ _____ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __________________ _____ _____ [微提醒]　对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 1．分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)； (2)≥0(≤0)⇔ 2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式．(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a＜0)的解集为R.(　　) 2．(北师大版必修一P38练习第2题改编)不等式x2＋3x－10＞0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) 解析　由x2＋3x－10＞0得(x＋5)(x－2)＞0，解得x＜－5或x＞2. 答案　D 3．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b＝(　　) A．－10 B．－14 C．10 D．14 解析　由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根， ∴解得∴a－b＝－10. 答案　A 4．(北师大版必修一P41习题第3题改编)不等式≥0的解集为____________． 解析　不等式变为⇒x≥1或x＜－. 答案　∪[1，＋∞) 5．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是____________． 解析　∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0， 则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3. 答案　[1，3] 考点一　不含参数不等式的解法　基础考点　自练自悟 1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) 解析　由－x2＋3x＋10>0，得x2－3x－10<0，得(x－5)(x＋2)<0， 解得－2<x<5. 答案　A 2．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 解析　≥2，即为≤0，即 故－2≤x<1，故解集为{x|－2≤x<1}，故选C. 答案　C 3．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集为____________． 解析　原不等式等价于即 由①得x<－2或x>0；由②得－3≤x≤1.画出数轴，如图， 可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或0<x≤1}． 答案　{x|－3≤x<－2，或0<x≤1} 1．解不含参数的一元二次不等式的步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实数根． (4)写：写出不等式的解集． 2．分式不等式的一般解法 (1)移项通分，化为＞0(或≥0或＜0或≤0). (2)转化为整式不等式f(x)·g(x)＞0(或≥0或＜0或≤0且g(x)≠0). (3)解整式不等式． 考点二　含参数不等式的解法　重难考点　师生共研 解关于x的不等式：ax2－(a＋2)x＋2<0(a∈R). [解析]　若a＝0，不等式可化为－2x＋2<0，解得x>1，所以不等式的解集为{x|x>1}； 若a≠0，则不等式可化为(ax－2)(x－1)<0，当(ax－2)(x－1)＝0时，x1＝，x2＝1， ①若a>0，则当>1，即0<a<2时，原不等式的解集为； 当＝1，即a＝2时，原不等式的解集为∅； 当<1，即a>2时，原不等式的解集为； ②若a<0，则<1， 且不等式变化为(－ax＋2)(x－1)>0， 解得x>1或x<， 原不等式的解集为. 综上所述，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为∅； 当a>2时，不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正数的一元二次不等式． (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 1．解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R). 解析　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)变形为(x－a)(x－a2)>0. 当(x－a)(x－a2)＝0时，x1＝a，x2＝a2. 当a<0时，a<a2，所以原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}； 当a＝0时，a＝a2＝0，所以原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，a>a2，所以原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}； 当a＝1时，a＝a2＝1，所以原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a>1时，a<a2，所以原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}． 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 考点三　“三个二次”之间的关系及应用　重难考点　师生共研 (多选)(2025·福建莆田期末)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤3，或x≥4}，则下列结论中正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c<0的解集为{x|x<－4} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 [解析]　由不等式的解集，可得对应二次函数的图象开口向上，即a>0，故A正确； 由三个“二次”的关系得，方程ax2＋bx＋c＝0的根是3和4，由根与系数的关系得－＝7，＝12，即b＝－7a，c＝12a，故a＋b＋c＝6a>0，故D正确； bx＋c<0即－7ax＋12a<0⇒7x－12>0，解得x>，故B错误； cx2－bx＋a<0即12ax2＋7ax＋a<0，所以12x2＋7x＋1<0，解得－<x<－，故C错误． [答案]　AD 2．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集是(　　) A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0，或x＞3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－1＜x＜3} 解析　由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0①.又不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以a＜0，且即②.将①两边同除以a，得x2＋x＋＜0③.将②代入③，得x2－3x＜0，解得0＜x＜3.故选A. 答案　A 1．一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． 2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及其与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 考点四　一元二次不等式恒成立问题　重难考点　师生共研 已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)＜1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)＞2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围． [解析]　(1)不等式f(x)＜1，即mx2－(m－1)x＋m－2＜0， 当m＝0时，x－2＜0，解得x＜2，不符合题意； 当m≠0时，有 解得m＜，综上所述，m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝＋＞0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈，得＝＝＝ ≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，所以＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞). (3)不等式f(x)＞2对一切m∈(0，2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3＞0对一切m∈(0，2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝＋＞0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞). 一元二次不等式恒成立问题求参数的策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 3．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C． D． 解析　∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1，2]上有解⇔a≤，x∈[1，2]，∵函数f(x)＝x＋在[1，2]上单调递增，∴f(x)max＝，∴a≤. 答案　C $