解三角形-2026年高一、二暑假专项练习

**基本信息** 高考真题系统汇编，覆盖解三角形核心知识，通过选择、填空、解答题系统训练，注重知识逻辑与解题能力培养，体现数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础定理应用|1-10题|已知边边角、角角边等求边或角|正弦定理、余弦定理直接应用，构建边与角的转化关系| |面积与角度综合|11-15题|结合面积公式求边长、角度或最值|面积公式与正余弦定理融合，培养逻辑推理与运算能力| |实际应用与创新|12-13题|测量问题、数学文化背景题|数学建模应用，体现用数学语言描述现实世界| |综合解答|16-29题|多问递进，涉及定理证明、周长面积最值|知识综合运用，强化知识内在联系与问题解决能力|

高一、二暑假数学专项练习-解三角形 1（2025·新高考Ⅱ卷）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 2（2025·新高考Ⅰ卷多选题）已知△ABC的面积为，若，，则（ ） A． B． C． D． 3（2016全国3卷理）在△ABC中，，边上的高等于，则（ ） （A） （B） （C） （D） 4（2020全国3卷理）在△ABC中，cos C=，AC=4，BC=3，则cos B=（ ） A. B. C. D. 5（2018全国2卷文理）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 6（2019全国1卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， a sin A－b sin B=4csinC，cos A=－，则=（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7（2020全国3卷文）在△ABC中，cos C=，AC=4，BC=3，则tan B=（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 8（2019全国2卷文）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c. 已知b sin A+a cos B=0，则B=_______ 9（2018全国3卷文理）的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 10（2014全国2卷理）钝角的面积是，，，则（ ） A.5 B. C.2 D.1 11（2014全国1卷理）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且，则面积的最大值为 12（2022年全国甲卷理） 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上 的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O 为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，． “会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：． 当时，（       ） A． B． C． D． 13（2014全国1卷文）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________. 14（2026新高考1卷）．已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 15（2019北京卷）在中，， ， ． （1）求b,c的值；（2）求的值. 16（2024新高考1卷） 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求B；（2）若的面积为，求c． 17（2024新高考2卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A．（2）若，，求的周长． 18（2023新高考1卷）已知在中，． （1）求；（2）设，求边上的高． 19（2022年全国乙卷理）记的内角的对边分别为，已知 ．(1)证明：； (2)若，求的周长． 20（2022年新高考1卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B；(2)求的最小值． 21（2022年新高考2卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积；(2)若，求b． 22（2019全国1卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A；(2)若，求sin C． 23（2020全国2卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A；(2)若，证明：△ABC是直角三角形． 24（2013全国2卷理）在内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若，求面积的最大值． 25（2020全国2卷理）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sin B sin C (1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值. 26（2023新高考2卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．（1）若，求；（2）若，求． 27（2018全国1卷理）在平面四边形中，，，，. (1)求；(2)若，求. 28（2015全国2卷理）中，是上的点，平分，面积是 面积的2倍． (1)求； (2)若，，求和的长． 29（2021全国新高考I卷）的内角的对边分别为，已知.点D在边AC上，.（1）证明： （2）若,求 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一、二暑假数学专项练习-解三角形 1（2025·新高考Ⅱ卷）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， 又，所以. 选A 2（2025·新高考Ⅰ卷多选题）已知△ABC的面积为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 ABC 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A正确； 由诱导公式，， 展开可得，即 ， 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 由，由，则，即， 则，同理，注意到是锐角，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则， 则， 于是，B正确，由勾股定理可知，，D错误.选ABC 3（2016全国3卷理）在△ABC中，，边上的高等于，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【详解】设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知， 即，解得，选D 4（2020全国3卷理）在△ABC中，cos C=，AC=4，BC=3，则cos B=（ ） A. B. C. D. 【详解】在△ABC中，根据余弦定理 即， 可得 ，即 由，故. 选A 5（2018全国2卷文理）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】， ，，选A 6（2019全国1卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， a sin A－b sin B=4csinC，cos A=－，则=（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【详解】由已知及正弦定理可得，由余弦定理可得 ，选A 7（2020全国3卷文）在△ABC中，cos C=，AC=4，BC=3，则tan B=（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【详解】设，由余弦定理可得 ，选C 8（2019全国2卷文）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c. 已知b sin A+a cos B=0，则B=_______ 【答案】 【详解】由正弦定理，得．， 得，即， 9（2018全国3卷文理）的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【详解】根据题意及三角形的面积公式知， 所以，所以在中，，选C 10（2014全国2卷理）钝角的面积是，，，则（ ） A.5 B. C.2 D.1 【详解】∵△ABC面积为 ， ∴，∴，∴或 当时，，，∴ 此时，,故，这与△ABC为钝角三角形矛盾. 当时,,∴，选B 11（2014全国1卷理）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且，则面积的最大值为 【答案】 【详解】由且 ， 即，由及正弦定理得： ∴，故，∴， ，∴， ∴ 12（2022年全国甲卷理） 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上 的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O 为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，． “会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：． 当时，（       ） A． B． C． D． 【详解】如图，连接，因为是的中点，所以， 又，所以三点共线，即， 又，所以， 则，故， 所以．选B 13（2014全国1卷文）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________. 【答案】150 【详解】在直角三角形 ABC 中，由条件可得， 在△MAC 中，由正弦 定理可得， 故，在直角△MAN 中，. 14（2026新高考1卷）．已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2） 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 15（2019北京卷）在中，， ， ． （1）求b,c的值；（2）求的值. 解：(1)由余弦定理，得. 因为，所以， 解得， 所以 (2)由得， 由正弦定理得 在中，由，得是钝角，所以为锐角， 所以 所以 16（2024新高考1卷） 记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求B；（2）若的面积为，求c． 解：(1)由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而， 又因为，即，又，所以. (2)由(1)可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，， 由已知面积为，可得，所以. 17（2024新高考2卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A．（2）若，，求的周长． 解：(1)方法一：由可得，即， 由于，故，解得 方法二：由，又，消去得到： ，解得， 又，故 (2)由题设条件和正弦定理，得 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 18（2023新高考1卷）已知在中，． （1）求；（2）设，求边上的高． 解：(1)，，即， 又， ， ，，即，所以， . (2)由(1)知，， 由， 由正弦定理，，可得， ，. 19（2022年全国乙卷理）记的内角的对边分别为，已知 ．(1)证明：； (2)若，求的周长． (1)证明：因为， 所以， 由正弦定理、余弦定理得 ， 即， 所以； (2)解：因为，由（1）得， 由余弦定理可得， 则，所以， 故，所以， 所以的周长为. 20（2022年新高考1卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B；(2)求的最小值． 解：，， 由正弦定理，得 当且仅当，的最小值是 21（2022年新高考2卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积；(2)若，求b． 解：(1)边长为a的正三角形的面积为,，即， 由得：，， 故 由正弦定理得：，故 22（2019全国1卷理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求A；(2)若，求sin C． 解：(1) 即，由正弦定理可得： 由余弦定理可得， (2)由正弦定理及得, 由得， ∴ ∴, ∴ ， ，， 解2：，由正弦定理得， , 解3：由得， 又∴，，∴， ∴ 23（2020全国2卷文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A；(2)若，证明：△ABC是直角三角形． 解：(1)因为，所以，即， 解得，又，所以； (2)因为，所以，即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即△ABC是直角三角形． 24（2013全国2卷理）在内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若，求面积的最大值． 解：(1)因为，所以由正弦定理得，所以， 即，因为0，所以，解得 (2)由余弦定理得，即， 因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以△ABC的面积为=，当且仅当时取等号 所以△ABC面积的最大值为． 25（2020全国2卷理）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sin B sin C (1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值. 解：(1)由已知和正弦定理可得， 所以 ， (2)BC=3，即，由余弦定理得：， 即，由（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以△ABC周长，所以△ABC周长的最大值为. 26（2023新高考2卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．（1）若，求；（2）若，求． 解：(1)在中，因为为中点，，， 则， 解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ，所以 (2)在中，因为为中点，则，又， 于是，即， 解得， 又，解得， 又，所以，所以. 27（2018全国1卷理）在平面四边形中，，，，. (1)求；(2)若，求. 解：(1)在中，由正弦定理得,∴, ∵,∴. (2)∵,∴ 在中,由余弦定理得, ∴.∴ 28（2015全国2卷理）中，是上的点，平分，面积是 面积的2倍． (1)求； (2)若，，求和的长． 解：(1) 又面积是面积的2倍， 在中，根据正弦定理得 (2)，接下来求 解1：, 在中， (1) 在中， (2) 联立(1)(2)得， 解得，从而 解2：, 在中， (3) 在中， (4) 联立(3)(4)得，解得，从而 解3：, 在中， (5) 在中， (6) 由， 联立(5)(6)得，解得，从而 解4：, 在中，(7) 在中， (8) 由(7)+(8)=0 得，解得，从而 29（2021全国新高考I卷）的内角的对边分别为，已知.点D在边AC上，.（1）证明： （2）若,求 ，整理得， 学科网（北京）股份有限公司 $