第五章一元一次方程同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元一次方程核心知识点，从方程概念、等式性质到解法步骤，再到实际应用问题，构建完整知识脉络。以“理解意义—掌握性质—学会求解—解决问题”为学习支架，层层递进帮助学生夯实基础。 资料设计分层次例题与同步检测（A、B、C级），通过方程概念辨析培养抽象能力（数学眼光），解方程步骤训练提升运算与推理意识（数学思维），实际问题建模强化模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后答案解析详细，便于学生自学查漏补缺。

第五章 一元一次方程 学习目标 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程的意义，经历估计方程解的过程 2.掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形 3.能根据等式的基本性质解一元一次方程 5.1 方程 知识精讲 知识点1 从算式到方程 1.方程的概念：含有未知数的等式，这样的等式叫做方程 注意：同时具备：①等式②含有未知数 2.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 3.求方程的解的过程，叫做解方程 4.一元一次方程：方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程 注意：判断满足的条件：①首先是一个整式方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 列一元一次方程的步骤：①审清题意，找出等量关系，分清已知量和未知量②根据题意设未知数③用含有未知数的式子将等量关系中的量表示出来，从而列出方程 例题训练 1．下列各方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x﹣2y＝4 B．xy＝4 C．3y﹣1＝4 D．x2＝1 2．下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④yx+2＝0； ⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 知识点2 等式的性质 1.基本事实：①等式两边可以交换；②相等关系可以传递 2.等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 3.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 例题训练 1．已知x＝y，下列各式不一定成立的是（　　） A．x+a＝y+a B．a﹣x＝a﹣y C．ax＝ay D． 2．下列变形正确的是（　　） A．由x+3＝5，得x＝5+3 B．由3x＝6，得x＝2 C．由﹣2x＝4，得x＝2 D．由，得x＝2 同步检测 1．【A】已知方程3y﹣x＝7，若用y来表示x，可得x＝　 　 ． 2．【A】已知方程3x﹣▲＝10，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是x＝4，那么▲处的数字是 　 　 ． 3．【A】若x＝y，则（　　） A．x+3＝y﹣3 B．2x+2y＝0 C．﹣3x＝3y D． 4．【A】已知（m﹣3）x|2m﹣7|﹣3＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．﹣3 D．3或4 5．【A】有下列条件：①a﹣4＝b﹣4；②ac＝bc；③3a﹣6＝3b﹣6；④a2＝b2；⑤，其中可以得到a＝b的条件有 　 　 ．（填序号） 6．【B】若方程（m﹣1）x|m|+2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或1 7．【B】已知关于x的方程x（m﹣1）＝3x﹣m+2的解是x＝﹣2，则m的值为（　　） A．6 B．﹣4 C．﹣2 D．2 8．【B】请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． （1）x与3的差是5． （2）代数式2+x与2y﹣5的值相等． （3）两个正方形的边长分别为xcm，ycm，它们的面积差为7cm2． （4）小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了（8﹣x）场，胜的场数大于负的场数． 9．【B】小明今年12岁，他爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍？（列方程并估计问题的解） 10．【B】检验下列各数是不是方程的解． （1）x＝2； （2）x＝﹣1． 11．【B】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为x＝a的形式： （1）2x﹣1＝5； （2）9﹣5x＝3﹣2x． （3）2（x﹣3）＝x+2； （4）． 12．【B】若m＝2n，则下列等式错误的是（　　） A．2m＝4n B．1+m＝1+2n C． D．3m+6n＝0 13．【B】若x+5＝0，则x＝﹣5．其依据是　 　 ． 14．【B】将方程2（x﹣1）＝3（x﹣1）的两边同除以（x﹣1），将得2＝3，其原因是（　　） A．方程本身是错的 B．方程无解 C．如果x﹣1＝0，那么方程两边不能同时除以x﹣1 D．一定条件下2＝3 15．【B】根据下列条件，写出仍然成立的等式： （1）如果m+5＝10，两边都减去5，那么 　 　 ； （2）如果4a＝﹣12，两边都除以4，那么 　 　 ； （3）如果2x＝14﹣x，两边都加上x，那么 　 　 ； （4）如果y＝14，两边都乘，那么 　 　 ． 16．【C】已知|m﹣1|+（n﹣5）2＝0，则2m+n＝0是一元一次方程吗？请说明理由． 17．【C】已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求： （1）m的值； （2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值． 5.2 解一元一次方程 知识精讲 知识点1 一元一次方程的解法 ①去分母：在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数（依据是等式的性质2） ②去括号：括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号（依据是乘法分配律） ③移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项（依据是等式的性质1） ④合并同类项：把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用（依据是乘法分配律） ⑤系数化一：在方程的两边同时除以未知数的系数（或乘未知数系数的倒数），将未知数系数化为1（依据是等式的性质2） 注意：移项的时候注意变号；去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号 例题训练 1．解方程： （1）5（x+2）＝14﹣3x； （2）1． 同步检测 1．【A】解方程2（x﹣3）＝5x，第一步去括号正确的是（　　） A．2x﹣3＝5x B．2x﹣6＝5x C．2x+6＝5x D．2x+3＝5x 2．【A】解为的方程是（　　） A．2x＝4 B．2x+1＝0 C．6x＝3 D．x＝3x 3．【A】下面解一元一次方程2（x+3）＝5x的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（　　） （1）2（x+3）＝5x2x+6＝5x； （2）2x+6＝5x6＝5x﹣2x； （3）6＝5x﹣2x6＝3x； （4）6＝3xx＝2． A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第④步 D．第③步和第④步 4．【A】对有理数a、b，规定运算★的意义是：a★b＝a×b+a+b，则方程x★3＝5的解是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．【A】若x＝3是关于x的方程2k﹣x＝7的解，则k的倒数是（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 6．【B】下列方程变形正确的是（　　） A．由4x＝﹣1得x＝﹣4 B．由5x+3＝0得5x＝﹣3 C．由得3x＝2x+1 D．由﹣2（x﹣1）＝4得﹣2x﹣1＝4 7．【B】已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2026的值为　 　 ． 8．【B】下列方程变形正确的是（　　） A．x+2＝5变形得：x＝5+2 B．3x＝2x+7变形得：3x﹣2x＝7 C．3x＝5变形得： D．5﹣x＝16变形得：x＝16﹣5 9．【B】若式子8﹣x与3x﹣2的值相等，则x的值是　 　 ． 10．【B】若代数式4x﹣5与3x﹣9的值互为相反数，则x的值为 　 　 ． 11．【B】下列方程中，解为x＝4的是（　　） A．x﹣1＝4 B．4x＝1 C．4x﹣1＝3x+3 D．2x﹣1＝1 12．【B】定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕（﹣3）＝2×1﹣3×（﹣3）＝11． （1）求4⊕（﹣3）的值； （2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝5，求x的值． （3）若关于x的方程2⊕（kx﹣1）＝﹣11的解为正整数，求整数k的值． 13．【B】解方程： （1）3x﹣1＝5； （2）． 14．【B】解下列方程： （1）x﹣1＝2x+5； （2）4x+3＝2（x﹣1）+1； （3）； （4）． 15．【B】解方程： （1）5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2； （2）． 16．【B】解方程： （1）2（x+2）＝1﹣（x+3）； （2）． 17．【B】解方程： （1）6x﹣7＝4x﹣5； （2）． 18．【C】方程2.5的解是x＝　 　 ． 5.3 实际问题与一元一次方程 知识精讲 知识点1 实际问题与一元一次方程 1.一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 ①行程（相遇/追及/航行）问题；②水费电费问题；③配套问题；④销售（利润/方案）问题；⑤工程问题；⑥数字（和差倍分）问题；⑦几何问题；⑧古代问题；⑨比赛问题 例题训练 1．2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 同步检测 1.小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 2.我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12的部分 a元/ 超过12但不超过20的部分 元/ 超过20的部分 元/ (1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示） (2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示） (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示） 3.一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 4.随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元． (1)设每台乙型打印机为元，则每台甲型打印机为 元(用x表示)． (2)若购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 5.按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批排球和跳绳，经过市场调查后发现排球120元/个，跳绳20元/根．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： A方案：买一个排球送一根跳绳； B方案：排球和跳绳都按定价的90%付款． (1)若学校要购买排球50个，跳绳100根，则选择________方案更优惠 若学校要购买排球50个，跳绳300根，则选择________方案更优惠； (2) 若学校要购买排球50个，跳绳x根（），请问购买多少根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多？ 6.一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 7.一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 8.如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 9.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问车有几何？”其意思是：“每车坐3人，空出来2车；每车坐2人，9人没车坐，问车有多少辆？” 10.在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数． 答案与解析 5.1 方程 知识点1 从算式到方程 例题解析 1．解：A．方程x﹣2y＝4中含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．方程xy＝4中含有两个未知数且含未知数项的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C．方程3y﹣1＝4符合一元一次方程的定义，故此选项符合题意； D．方程x2＝1含未知数项的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．解：（1）根据方程的定义可得①③④⑥⑦⑧是方程； （2）②2x＞3是不等式，不是方程； （3）⑤3x﹣2不是等式，就不是方程； 故有6个式子是方程． 故选：C． 知识点2 等式的性质 例题解析 1.解：A、若x＝y，则x+a＝y+a，故此选项不符合题意； B、若x＝y，则﹣x＝﹣y，所以a﹣x＝a﹣y，故此选项不符合题意； C、若x＝y，则ax＝ay，故此选项不符合题意； D、若x＝y，则（a≠0），故此选项符合题意； 故选：D． 2.解：根据等式的基本性质逐项分析判断如下： A、∵x+3＝5，等式两边同时减3，可得x＝5﹣3，∴A变形错误，不符合题意； B、∵3x＝6，等式两边同时除以3，可得x＝2，∴B变形正确，符合题意； C、∵﹣2x＝4，等式两边同时除以﹣2，可得x＝﹣2，∴C变形错误，不符合题意； D、∵，等式两边同时乘2，可得x＝0，∴D变形错误，不符合题意； 故选：B． 同步检测答案 1．解：根据等式的恒等变形可得：x＝3y﹣7． 故答案为：3y﹣7． 2．解：把x＝4代入方程3x﹣▲＝10得： 12﹣▲＝10，▲＝12﹣10＝2，∴▲处的数字是2， 故答案为：2． 3．解：A．若x＝y．则x+3＝y+3，故选项A错误；B．若x＝y．则x﹣y＝0，2x﹣2y＝0，故选项B错误；C．若x＝y．则﹣3x＝﹣3y，故选项C错误；D．若x＝y．则，故选项D正确． 故选：D． 4．解：根据题意可知，|2m﹣7|＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝4，∴m的值为4． 故选：B． 5．解：a﹣4＝b﹣4，两边同时加上4得a＝b，则①符合题意；ac＝bc，当c＝0时，a与b不一定相等，则②不符合题意；3a﹣6＝3b﹣6，两边同时加上6再同时除以3得a＝b，则③符合题意；a2＝b2，那么a＝±b，则④不符合题意；，两边同时乘c2得a＝b，则⑤符合题意；综上，可以得到a＝b的条件有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 6．解：根据一元一次方程的特点可得， 解得m＝﹣1． 故选：A． 7．解：将x＝﹣2代入方程x（m﹣1）＝3x﹣m+2， 得﹣2（m﹣1）＝﹣6﹣m+2， 解得m＝6． 故选：A． 8．解：（1）依题意得：x﹣3＝5，是一元一次方程； （2）依题意得：2+x＝2y﹣5，不符合一元一次方程定义，不是一元一次方程； （3）依题意得：|x2﹣y2|＝7，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程； （4）依题意得：x＞8﹣x，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程． 9．解：设x年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍， 根据题意得，36+x＝2（12+x）， x＝12． 10．解：（1）当x＝2时，左边，右边＝0， ∵左边≠右边，∴x＝2不是方程的解； （2）当x＝﹣1时，左边＝﹣3，右边＝﹣3， ∵左边＝右边，∴x＝﹣1是方程的解． 11．解：（1）2x﹣1＝5， 2x＝6 x＝3； （2）9﹣5x＝3﹣2x， ﹣5x+2x＝3﹣9， ﹣3x＝﹣6， x＝2． （3）2（x﹣3）＝x+2， 2x﹣6＝x+2， 2x﹣6+6＝x+2+6， 2x＝x+8， x＝8； （4）， 4（2x+1）﹣（x﹣3）＝12， 8x+4﹣x+3＝12， 7x+7＝12， 7x＝5， ． 12．解：选项A、将m＝2n两边同乘以2，得2m＝4n，所以选项A正确，不符合题意； 选项B、将m＝2n两边同加上1，得1+m＝1+2n，所以选项B正确，不符合题意； 选项C、将m＝2n两边同除以2，得，所以选项C正确，不符合题意； 选项D、将m＝2n代入左边，得3m+6n＝3×2n+6n＝6n+6n＝12n，但n的值不一定为0，所以选项D错误，符合题意．故选：D． 13．解：∵若x+5＝0，则x＝﹣5． 根据等式的性质1，等式两边同时减去5，结果仍相等， 故答案为：等式的性质1，等式两边同时减去5，结果仍相等． 14．解：由条件可知2x﹣2＝3x﹣3， ∴x＝1， ∴错误的原因是：如果x﹣1＝0，那么方程两边不能同时除以x﹣1， 故选：C． 15．解：（1）由题知， 如果m+5＝10，两边都减去5，那么m＝5． 故答案为：m＝5； （2）由题知， 如果4a＝﹣12，两边都除以4，那么a＝﹣3． 故答案为：a＝﹣3； （3）由题知， 如果2x＝14﹣x，两边都加上x，那么3x＝14． 故答案为：3x＝14； （4）由题知， 如果y＝14，两边都乘，那么y＝﹣4． 故答案为：y＝﹣4． 16．解：2m+n＝0不是一元一次方程．理由如下： ∵|m﹣1|+（n﹣5）2＝0， ∴m﹣1＝0，n﹣5＝0， 解得，m＝1，n＝5， ∴2m+n＝0为2+5≠0， 不是一元一次方程． 17．解：（1）依题意有|m+4|＝1且m+3≠0，解之得m＝﹣5， 故m＝﹣5； （2）当m＝﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）＝﹣6m+7＝﹣6×（﹣5）+7＝37． 5.2 解一元一次方程 知识点1 一元一次方程的解法 例题解析 1.解：（1）去括号得：5x+10＝14﹣3x， 移项合并得：8x＝4， 解得：x； （2）去分母得：3x﹣2＝6﹣2（x﹣1）， 去括号得，3x﹣2＝6﹣2x+2， 移项合并得：5x＝10， 解得：x＝2． 同步检测答案 1．解：由题知，2（x﹣3）＝5x， 所以2x﹣6＝5x，显然只有B选项符合题意． 故选：B． 2．解：A．当x时，方程左边＝21，方程右边＝4，1≠4， ∴方程左边≠方程右边，∴x不是方程2x＝4的解； B．当xx时，方程左边＝21＝2，方程右边＝0，2≠0， ∴方程左边≠方程右边，∴x不是方程2x+1＝0的解； C．当x时，方程左边＝63，方程右边＝3，3＝3， ∴方程左边＝方程右边，∴x是方程6x＝3的解； D．当x时，方程左边＝1，方程右边＝3，， ∴方程左边＝方程右边，∴x不是方程x＝3x的解． 故选：C． 3．解：2（x+3）＝5x， 2x+6＝5x（去括号法则）， 5x﹣2x＝6（等式的性质1）， 3x＝6（合并同类项法则）， x＝2（等式的性质2）， 所以依据“等式的性质”变形的是第②步和第④步， 故选：C． 4．解：x★3＝5，得x×3x+3＝5， 去分母，得3x+x+6＝10， 移项、合并同类项，得4x＝4， 系数化为1，得x＝1， 故选：B． 5．解：根据题意，把x＝3代入方程2k﹣x＝7， 得2k﹣3＝7， 解得：k＝5， ∴k的倒数是． 故选：D． 6．解：A、4x＝﹣1两边同时除以4，可得到，原变形错误，该选项不符合题意； B、5x+3＝0两边同时减去3，可得到5x＝﹣3，原变形正确，该选项符合题意； C、每项同时乘以6，可得到3x＝2x+6，原变形错误，该选项不符合题意； D、﹣2（x﹣1）＝4去括号可得﹣2x+2＝4，原变形错误，该选项不符合题意； 故选：B． 7．解：由题意可得：3﹣m＝1+2n， ∴m+2n＝2， ∴m+2n+2026＝2+2026＝2028． 故答案为：28． 8．解：x+2＝5，移项得x＝5﹣2， 选项写成x＝5+2，故A错误； 3x＝2x+7，移项得3x﹣2x＝7， 与选项变形一致，故B错误； 3x＝5，两边同时除以3，得x， 选项写成x，故C错误； 5﹣x＝16，移项得，﹣x＝16﹣5，选项写成x＝16﹣5，故D错误； 故选：B． 9．解：由题可知，8﹣x＝3x﹣2， 8+2＝3x+x，， 故答案为：． 10．解：∵代数式4x﹣5与3x﹣9的值互为相反数， ∴（4x﹣5）+（3x﹣9）＝0，解得：x＝2， 故答案为：2． 11．解：A、解x﹣1＝4得x＝5，故不符合题意； B、解4 x＝1得，故不符合题意； C、解4x﹣1＝3x+3得x＝4，故符合题意； D、解2x﹣1＝1得x＝1，故不符合题意； 故选：C． 12．解：（1）根据定义可知：4⊕（﹣3）＝2×4﹣3×（﹣3）＝8+9＝17； （2）根据定义得：（3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝6x﹣4﹣3x﹣3＝3x﹣7＝5， 解得x＝4； （3）根据定义得：2⊕（kx﹣1）＝2×2﹣3×（kx﹣1）＝4﹣3kx+3＝﹣11， ∴﹣3kx＝﹣18， ∴kx＝6， 由x为正整数，且k为整数可知， 故当k＝1时，x＝6；当k＝2时，x＝3；当k＝3时，x＝2；当k＝6时，x＝1； 故整数k的值为1，2，3，6． 13．解：（1）3x﹣1＝5， 3x＝5+1， 3x＝6， x＝2； （2），2（x+1）＝6﹣3（1﹣2x）， 2x+2＝6﹣3+6x， 2x﹣6x＝6﹣3﹣2， ﹣4x＝1， x． 14．解：（1）x﹣1＝2x+5， 移项，得：x﹣2x＝5+1， 合并同类项，得：﹣x＝6， 系数化成1，得：x＝﹣6； （2）4x+3＝2（x﹣1）+1， 去括号，得：4x+3＝2x﹣2+1， 移项，得：4x﹣2x＝﹣2+1﹣3， 合并同类项，得：2x＝﹣4； 系数化成1，得：x＝﹣2； （3）， 去分母，得：3（m﹣1）＝4m+6， 去括号，得：3m﹣3＝4m+6， 移项，得：3m﹣4m＝6+3， 合并同类项，得：﹣m＝9， 系数化成1，得：m＝﹣9； （4）， 去分母，得：2（2x﹣1）﹣（x+4）＝6， 去括号，得：4x﹣2﹣x﹣4＝6， 移项，得：4x﹣x＝6+4+2， 合并同类项，得：3x＝12； 系数化成1，得：x＝4； 15．解：（1）原方程5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2可化为5x﹣2x+2＝x﹣2， 5x﹣2x﹣x＝﹣2﹣2， 2x＝﹣4， x＝﹣2； （2）去分母可得：2（2x﹣1）＝6﹣3（x+2）， 4x﹣2＝6﹣3x﹣6， 4x+3x＝6﹣6+2， 7x＝2， ． 16．解：（1）2（x+2）＝1﹣（x+3）， 去括号得：2x+4＝1﹣x﹣3 移项，合并同类项得：3x＝﹣6 系数化为1得：x＝﹣2； （2）原方程去分母得：3（x﹣1）﹣6＝2（2﹣3x） 去括号得：3x﹣3﹣6＝4﹣6x 移项，合并同类项得：9x＝13 系数化为1得：． 17．解：（1）6x﹣7＝4x﹣5， 6x﹣4x＝﹣5+7， 2x＝2， x＝1； （2）， 3（3x﹣4）＝2（2x+1）+6， 9x﹣12＝4x+2+6， 9x﹣4x＝2+6+12， 5x＝20， x＝4． 18．解：方程变形得：2.5， 去分母得：5（10x+30）﹣2（40x﹣10）＝﹣25， 去括号得：50x+150﹣80x+20＝﹣25， 移项合并得：﹣30x＝﹣195， 解得：x＝6.5． 故答案为：6.5 5.3 实际问题与一元一次方程 知识点1 实际问题与一元一次方程 例题解析 1.解：设双人合唱有x组，则单人独唱有组，根据人数关系可列方程： ， ， ， 将代入，可得单人独唱的组数为（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组． 同步检测答案 1.解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇， 由题意可得，， 解得， 答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇． 2.解：（1）根据题意，得，当时，每费用为 元，当时，每费用为 元，故本月总费用为：（元）． 故该用户4月份应缴纳的水费为元． （2）解：根据题意，得，， 故不超过12的部分费用为：（元）； 超过12但不超过20的部分费用为：（元）； 超过20的部分费用为：（元）， 故该户应缴纳的水费为： (元)． 答：应交电费元． （3）解：根据题意，得，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x， 故； 当时，甲户用水量超过12但不超过20，乙户用水量不少于12但少于20， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： （元）． 当时，甲的用水量超过20乙的用水量不超过12， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元． 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 3.解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件．则， 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件数量：（个），做B部件数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成台仪器． 4.解：（1）每台甲型打印机为元． 故答案为：． （2）根据题意，得， 解得， 元． 答：每台甲型打印机的进价为元，每台乙型打印机的进价为元． 5.解：（1）若学校要购买排球50个，跳绳100根， 选择A方案所需费用为（元）； 选择B方案所需费用为（元）， ∵， ∴此时选择A方案更优惠； 若学校要购买排球50个，跳绳300根， 选择A方案所需费用为（元）； 选择B方案所需费用为（元）， ∵， ∴此时选择B方案更优惠． 故答案为：A，B； （2）根据题意得：，解得：． 答：购买200根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多． 6.解：（1）设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解：（元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 7.解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意得：， 解得：， ， 原两位数是63． 故答案为：63． 8.解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米， 根据长方形展板上下对边相等，得， 解得， 展板的长是（米），展板的宽是（米）， 长方形展板的面积是（平方米）． 故答案为：130． 9.解：设车为x辆，根据题意，得 解得， 答：车有15辆． 10.解：设九（1）班获胜x场，则平场， 根据题意得：， 解得：． 答：九（1）班获胜7场． 学科网（北京）股份有限公司 $