精品解析：第二十三届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学六年级

**基本信息** 第二十三届“YMO”小学六年级竞赛初选卷，通过空间几何、数论、应用题等10道选择与10道填空题，考查抽象能力、几何直观、运算推理及模型意识，适配竞赛选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|正方体分割表面积（空间观念）、最简真分数和（数感）、梯形面积计算（几何直观）|基础巩固到创新应用，如商品价格变化考查分数运算推理| |填空题|10题|工程问题（模型意识）、行程追及（运算能力）、几何阴影面积（空间观念）|综合应用，如浓度问题构建数学模型，体现数学思维逻辑性|

第二十三届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学六年级 一、选择题。 1. 把一个正方体分割成8个大小相同的小正方体，小正方体的表面积之和比原来大正方体的表面积增加了（ ）倍。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】假设大正方体棱长为，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，分别计算出大正方体表面积和个小正方体的表面积之和；把原来大正方体的表面积看作单位“1”，用增加的面积除以原来大正方体的表面积，即可解答。 【详解】设原来大正方体的棱长为，则每个小正方体的棱长为。 ××6＝24 ××6＝6 6×8＝48 48－24＝24 24÷24＝1 2. 一件商品先涨价，再降价，该商品的价格（ ）。 A. 比原价低 B. 比原价高 C. 与原价相同 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】把这件商品的原价看作单位“1”，先求出涨价15%后的价格，再在这个基础上降价15%，求出最终的价格，与一开始的“1”比较大小，如果比“1”小，那就比原价低，如果比“1”大，那就比原价高。 【详解】把这件商品的原价看作单位“1”。 涨价15%后的价格是： 1×（1＋15%）＝1.15 再降价15%后的价格是： 1.15×（1－15%） ＝1.15×0.85 ＝0.9775 因为0.9775＜1，所以该商品的价格比原价低。 3. 分母是2016的所有最简真分数的和是（　　）。 A. 288 B. 576 C. 144 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】最简真分数是指分子小于分母且分子与分母互质的分数。 若是最简真分数，则也是最简真分数，两者之和为1。因此，如有1000个最简真分数，每两个和是1，那么所有最简真分数的和是500，所以所有最简真分数的和等于最简真分数个数÷2 若n的质因数分解为： 则与n互质的数的个数： 【详解】根据分析， 对2016进行分解质因数 与2016互质的数的个数： （个） 即分母是2016的最简真分数共有个。 所有最简真分数的和： 4. 有盐水若干克，第一次加水若干，浓度变为；然后又加入同样多的水，浓度变为；第三次再加入同样多的水，这时浓度变为（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在加水稀释的过程中，盐水中盐的质量是不变的，变化的是水的质量和盐水的总质量。根据这一特点，可以采用“设数法”进行解答。为了方便计算，设第一次加水后盐水的质量为一个具体的数值（通常设为百分数的分母的公倍数或便于计算的整百数），求出盐的质量，进而求出每次加入水的质量，最后计算第三次加水后的浓度。 【详解】设第一次加水后，盐水的质量为300克。 300×4%＝300×0.04＝12（克） 12÷3%＝12÷0.03＝400（克） 400－300＝100（克） 400＋100＝500（克） 12÷500×100% ＝0.024×100% ＝2.4% 5. 定义，读作n的阶乘。能被7整除，如果把这个乘积反复除以7，直到不能被7整除为止，从第一次除以7开始算，共可除以7（ ）次。 A. 288 B. 329 C. 334 D. 335 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，表示从1乘到2019的积。要求这个积能除以多少次7，实质是求的分解质因数中含有多少个质因数7。解题思路是分别统计1至中是的倍数、的倍数、的倍数的数的个数，并将它们相加，因为高次幂的倍数中包含低次幂的因数，需要重复计数。 【详解】2019÷7＝288……3，即能被7整除的数的个数有288个； ＝49 2019÷49＝41……10，即能被49整除的数的个数有41个； ＝343 2019÷343＝5……304，即能被343整除的数的个数有5个； ＝2401＞2019，超出范围，不再考虑 288＋41＋5＝334 6. 一个长方形的周长是76厘米，现将这个长方形的长和宽各增加20厘米变成一个新的长方形，新长方形的面积比原长方形的面积多（ ）平方厘米。 A. 400 B. 760 C. 1160 D. 1520 【答案】C 【解析】 【分析】先根据原长方形的周长求出长与宽的和，再表示出新长方形面积与原长方形面积的差值，最后代入数据计算出结果。 【详解】根据长方形周长公式，原长方形的长与宽之和为：（厘米） 设原长方形的长为，宽为，则。 原长方形的面积为。 新长方形的长为，宽为。 新长方形的面积为。 新长方形的面积比原长方形的面积多： 将代入上式计算： （平方厘米） 7. 有一个自然数，用它分别去除都有余数，这三个余数的和是24，这三个余数中最大的是（ ）。 A. 14 B. 16 C. 18 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】根据余数的定义，被除数等于除数乘商加余数。三个被除数的和减去三个余数的和，所得的差一定是这个自然数的因数。通过这个差找出该自然数的所有可能值，再结合“都有余数”、“余数小于除数”以及“余数和为24"等条件筛选出唯一的除数，最后计算出各个余数并找出最大值。 【详解】根据分析， 三个被除数的和为：62＋90＋130＝282 三个被除数的和减去余数的和： 282－24＝258 这个自然数一定是258的因数。 分解质因数可得： 258＝2×3×43。 258的因数有：1、2、3、6、43、86、129、258。 根据题意“都有余数”，说明这个自然数不能整除62、90、130中的任何一个。 若除数是1、2、3、6，这些数都能整除90，不符合题意； 若除数是86、129、258，此时余数和不等于24，不符合题意。 综上所述，这个自然数只能是43。 计算三个数除以43的余数： 62÷43＝1……19 90÷43＝2……4 130÷43＝3……1 三个余数分别是19、4、1，它们的和是19＋4＋1＝24，符合题意。 因此这三个余数中最大的是19。 8. 整数146和234的三个数位上数字的乘积都是24（注：）。那么共有（ ）个三位数其各位数字的乘积是72。 A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，三位数的各位数字不能为0，因为乘积为72。将72分解为三个一位数（1－9）的乘积，找出所有可能的数字组合，再根据数字是否重复计算每种组合能构成的三位数个数，最后求和。 【详解】根据分析枚举： （1）最小数字是1的组合： 1×8×9＝72，数字组合为1、8、9； （2）最小数字是2的组合（不含1）： 2×4×9＝72，数字组合为2、4、9； 2×6×6＝72，数字组合为2、6、6； （3）最小数字是3的组合（不含1、2）： 3×3×8＝72，数字组合为3、3、8； 3×4×6＝72，数字组合为3、4、6； （4）最小数字是4及以上的组合（不含1、2、3）： 若最小数字为4，则剩余两数乘积为72÷4＝18。因为数字不能小于4，且4×4＝16＜18，4×5＝20＞18，无整数解，故无新组合。 综上，共有5组数字组合。 各组能组成的三位数个数： （1、8、9）：三个数字互不相同，第一个数有3个位置可选，第二个数有2个位置可选，第三个数有1个位置可选，可组成不同的三位数个数：3×2×1＝6（个） （2、4、9）：三个数字互不相同，交换位置可组成6个不同的三位数。 （2、6、6）：有两个数字相同，可组成3个不同的三位数（266、626、622）。 （3、3、8）：有两个数字相同，可组成3个不同的三位数（338、383、833）。 （3、4、6）：三个数字互不相同，交换位置可组成6个不同的三位数。 综上，三位数其各位数字的乘积是72的数字个数： 6＋6＋3＋3＋6＝24（个） 9. 已知一个质数的三倍与另一个质数的五倍的和是301，则这两个质数的和是（ ）。 A. 61 B. 85 C. 99 D. 61或99 【答案】D 【解析】 【分析】是奇数，根据奇偶性运算性质，奇数偶数奇数，可知这两个加数中必然一个是奇数，一个是偶数。因为和都是奇数，所以这两个质数中必然有一个是偶数。在质数中，只有是偶数，其余均为奇数。由此可确定其中一个质数为，分两种情况讨论另一个质数，验证是否为质数后求出两质数之和即可。 【详解】根据分析，可知其中一个质数是2， 设这两个质数分别为和， 当＝2时， 验证：是质数，符合题意。 此时两个质数的和为： 当时， 验证：是质数，符合题意。 此时两个质数的和为：。 综上所述，这两个质数的和是或。 10. 如下图，梯形ABCD的面积是120，AB＝3CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是（ ）。 A. 20 B. 21 C. 22 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】梯形ABCD的面积是120，AB＝3CD， 能够求出三角形ABC和ADC的面积。延长BF、CD相交于G点，BG、AC为平行四边形ABCG的对角线相互平分，从AB＝3CD得知AB＝2DG，AF＝2FD，又根据鸟头模型，＝×，从而求出三角形AEF 的面积。最后用三角形ACD的面积减去AEF的面积，就是四边形CDFE的面积。 【详解】延长BF、CD相交于G点（如下图） S△ACD＝120×＝30， ∵BG、AC为平行四边形的对角线，AB＝3CD，∴在S△AFB和S△GFD 中，＝＝。∵＝×，E是AC的中点，＝，＝×＝，∴S△AEF＝30×＝9，四边形CDEF的面积＝S△ACD－S△AEF＝30－9＝21。 【点睛】梯形中，上下底比等于对角线分三角形面积比。平行线加中点，必然能构造出相似三角形或线段比例，用“份数法”拆分面积，是这类题的最优解。 二、填空题。 11. ______。 【答案】333333 【解析】 【分析】观察发现，每个加数都是由1、2、3、4、5、6组成的，所以每个数位上的数字加起来，都是1＋2＋3＋4＋5＋6。每个数位上的数字和都是21，六个数的总和等于各数位的和相加，总和＝21个十万＋21个万＋21个千＋21个百＋21个十＋21个一。最后用总和除以7，得出答案。 【详解】原式＝21×（100000＋10000＋1000＋100＋10＋1）÷7 ＝3×111111 ＝333333 12. 已知质数满足： ，那么 的最大值是______。 【答案】4042 【解析】 【分析】根据质数的定义可以判断出三个数中有一个一定为2；根据数学规律：当两个数的和一定时，两个数差越小，乘积越大。 【详解】质数里只有2是偶数，其余全是奇数。 三个质数的和为92（偶数），依据：奇数＋奇数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＋奇数＝奇数。因此三个质数中一定有一个为2。 假设A＝2，则B＋C＝92－2＝90； 要使A×B×C＝2×B×C的值最大，就需要B×C的值最大； 和为90，且差最小的两个质数为：43、47； 所以A×B×C的最大值为：2×43×47＝4042。 13. 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要15天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。这项工程由甲单独完成需要______。 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意，把工程总量看作单位“1”，甲、乙、丙三人合作15天完成工程，因此三人效率和为。 “丙休息2天，乙多做4天”：说明丙2天的工作量＝乙4天的工作量，可推出乙、丙的效率比。 “丙休息2天，或甲、乙合作1天”：说明丙2天的工作量＝甲、乙合作1天的工作量，可推出甲、乙、丙的效率比。 【详解】根据分析，设甲的工作效率为x，乙的工作效率为y，丙的工作效率是z， 则有： 2z＝4y，2z＝x＋y 所以z＝2y， 4y＝x＋y，即x＝3y。 因此三人效率和可以表示为：3y＋y＋2y＝6y 根据题意，三人效率和：1÷15＝ 6y＝ y＝ 所以x＝3y＝3×＝，即甲的工作效率为； 这项工程由甲单独完成需要的时间：1÷＝30（天） 14. 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑20米，则甲跑10秒可追上乙；若乙比甲先跑3秒，则甲跑6秒能追上乙。甲每秒跑______米。 【答案】6 【解析】 【分析】先根据第一次追及的路程差与追及时间求出速度差，将乙的速度设为未知数，并表示出甲的速度，再结合第二次的追及条件列出方程，算出乙的速度，进而求出甲的速度。 【详解】甲乙速度差：20÷10＝2（米/秒） 第二次追上时乙跑的时间：6＋3＝9（秒） 设乙每秒跑x米，那么甲每秒跑（x＋2）米。 6×（x＋2）＝9x 6x＋12＝9x 9x－6x＝12 3x＝12 x＝12÷3 x＝4 x＋2＝4＋2＝6（米） 甲每秒跑6米。 15. 一个三位数与2019之和恰好是一个完全平方数，这样的三位数共有______个。 【答案】8 【解析】 【分析】根据三位数的取值范围，算出这个三位数与2019之和的取值范围，用试算的方法推算这个范围内有多少个完全平方数，就对应有多少个三位数。因数个数为奇数的数叫完全平方数。 【详解】设完全平方数为n2，三位数的大小范围在100和999之间，那么三位数与2019之和的取值范围就在（100＋2019）和（999＋2019）中间，也就是2119＜n2＜3018。 因为402＝1600，602＝3600，所以n的取值在40和60中间。 进一步试算缩小范围，452＝2025，462＝2116，2116仅比2119小3，那么n的最小值为47。 552＝3025，542＝2916，那么n的最大值为54。 所以n可能的取值为：47、48、49、50、51、52、53、54，共8个，对应的三位数也有8个。 所以这样的三位数共有8个。 16. 一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达,如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达,则甲、乙两地相距______千米. 【答案】270 【解析】 【详解】设原定车速为千米/小时,原定时间为小时,则有:, 解得. 再设汽车行120千米用时为小时,则有:, 解得. 故汽车速度为120÷=45(千米/小时),于是甲乙两地相距45×6=270(千米). 17. 百货超市购进一批大米，第一个月售出大米的，第二个月又售出大米520袋，这时已售出的和剩下的数量比是，则百货超市最初购进大米______袋。 【答案】1200 【解析】 【分析】根据题意，将已售出数量看作5份，剩下的数量看作1份，则大米总量为5＋1＝6（份）。将大米总量看作单位“1”，已售出的占总量的。第一个月售出大米的40%＝，则第二个月售出的520袋占总量的：＝，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”，据此解答。 【详解】＝＝ 520÷ ＝520× ＝1200（袋） 18. 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。 【答案】10.5 【解析】 【分析】 首先从总体来看，矩形横向长度表示人数，竖向长度表示平均分，面积表示总分。请注意一下：d与e分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分；而a表示一等奖后4名同学的平均分。b与c表示调整后一等奖与二等奖的平均分。我们要求的量是de之间的平均分之差！ 我们要想一想，为什么这么一调整，一等奖的平均分高上去了，同时二等奖的平均分也高上去了呢？原因在于：前6名的cd之间的面积移补到一等奖后4名da之间的面积部分了。根据面积相等，长与宽成反比关系，可知：cd之间的高度差︰da之间的高度差＝4︰6＝2︰3即3︰da之间的平均分之差＝2︰3.所以da之间的平均分之差＝4.5（分），也就是说，这是后4名现在从原来的d降了4.5分。同理，后4人ab之间的面积＝20人be之间的面积；所以ab之间的高度差︰be之间的高度差＝20︰4＝5︰1所以ab之间的平均分之差︰1＝5︰1，ab之间的平均分之差＝5（分） 所以de之间的平均分之差为4.5＋5＋1＝10.5（分）。 【详解】由分析可得： 4.5＋5＋1＝10.5（分） 那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分。 【点睛】对于平均数增量问题，用矩形图，数形结合去分析。要注意平均数问题最基本的原理是“移多补少”，另外要注意所要移补的是总量，而不是平均量，也就是平均分差量与人数的乘积。 19. 如下图，正方形与等腰直角三角形放在一起，点为正方形的边的中点，阴影部分的面积是21平方厘米，正方形的面积是______平方厘米。 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意，B＝90°，BF＝BE， 又M、N是正方形边的中点，即AM＝MD＝DN＝NC 可以设正方形ABCD的边长为，那么AM＝MD＝DN＝NC＝ 三角形MDN的面积： 正方形的面积： 观察图形，可以发现，阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积－三角形MDN的面积，据此列方程计算即可。 【详解】根据分析，设正方形ABCD的边长为 则有：－＝21 ＝21 所以正方形的面积是24平方厘米。 20. 甲、乙、丙三辆车同时从地出发到地去，出发后12分甲车超过了一名长跑运动员，4分后乙车也超过这名运动员，又过了4分丙车也超过了这名运动员。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走______米。 【答案】680 【解析】 【分析】甲车12分钟追上运动员，甲行驶的路程为1000×12米； 又过了4分钟，乙车追上运动员，乙车行驶的路程为800×（12＋4）米，甲车和乙车的路程差就是运动员在这4分钟里行驶的路程，除以4分钟就是运动员的速度； 从三辆车出发开始到甲追上运动员的12分钟里运动员跑的路程＝运动员速度×12，甲在这12分钟里行驶的路程减去运动员的路程，就是追及路程，即三辆车出发时运动员距离A地的距离； 丙车超过运动员时运动员跑了20分钟，跑的路程＝运动员的速度×20，丙车行驶的路程就是追及路程＋运动员跑的路程，除以时间20分钟，即为丙车的速度。 【详解】1000×12＝12000（米） 800×（12＋4）＝12800（米） 12800－12000＝800（米） 运动员的速度为：800÷4＝200（米/分钟） 200×12＝2400（米） 所以追及路程为： 12000－2400＝9600（米） 200×20＝4000（米） 丙车追上运动员共行驶路程为9600＋4000＝13600（米） 丙车的速度为：13600÷20＝680（米/分钟） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学六年级 一、选择题。 1. 把一个正方体分割成8个大小相同的小正方体，小正方体的表面积之和比原来大正方体的表面积增加了（ ）倍。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 一件商品先涨价，再降价，该商品的价格（ ）。 A. 比原价低 B. 比原价高 C. 与原价相同 D. 无法判断 3. 分母是2016的所有最简真分数的和是（　　）。 A. 288 B. 576 C. 144 D. 200 4. 有盐水若干克，第一次加水若干，浓度变为；然后又加入同样多的水，浓度变为；第三次再加入同样多的水，这时浓度变为（ ）。 A. B. C. D. 5. 定义，读作n的阶乘。能被7整除，如果把这个乘积反复除以7，直到不能被7整除为止，从第一次除以7开始算，共可除以7（ ）次。 A. 288 B. 329 C. 334 D. 335 6. 一个长方形的周长是76厘米，现将这个长方形的长和宽各增加20厘米变成一个新的长方形，新长方形的面积比原长方形的面积多（ ）平方厘米。 A. 400 B. 760 C. 1160 D. 1520 7. 有一个自然数，用它分别去除都有余数，这三个余数的和是24，这三个余数中最大的是（ ）。 A. 14 B. 16 C. 18 D. 19 8. 整数146和234的三个数位上数字的乘积都是24（注：）。那么共有（ ）个三位数其各位数字的乘积是72。 A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 9. 已知一个质数的三倍与另一个质数的五倍的和是301，则这两个质数的和是（ ）。 A. 61 B. 85 C. 99 D. 61或99 10. 如下图，梯形ABCD的面积是120，AB＝3CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是（ ）。 A. 20 B. 21 C. 22 D. 25 二、填空题。 11. ______。 12. 已知质数满足： ，那么 的最大值是______。 13. 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要15天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。这项工程由甲单独完成需要______。 14. 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑20米，则甲跑10秒可追上乙；若乙比甲先跑3秒，则甲跑6秒能追上乙。甲每秒跑______米。 15. 一个三位数与2019之和恰好是一个完全平方数，这样的三位数共有______个。 16. 一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达,如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达,则甲、乙两地相距______千米. 17. 百货超市购进一批大米，第一个月售出大米的，第二个月又售出大米520袋，这时已售出的和剩下的数量比是，则百货超市最初购进大米______袋。 18. 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。 19. 如下图，正方形与等腰直角三角形放在一起，点为正方形的边的中点，阴影部分的面积是21平方厘米，正方形的面积是______平方厘米。 20. 甲、乙、丙三辆车同时从地出发到地去，出发后12分甲车超过了一名长跑运动员，4分后乙车也超过这名运动员，又过了4分丙车也超过了这名运动员。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走______米。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $