3.5共点力的平衡 课时2多力平衡问题 轻绳、轻杆模型（举一反三·讲义）物理人教版必修第一册

本高中物理讲义聚焦共点力平衡的多力平衡问题及轻绳、轻杆模型，承接二力平衡条件，系统阐述正交分解法的应用步骤，并区分轻绳死结与活结、轻杆活杆与定杆的弹力特点，构建受力分析的学习支架。 资料通过情景导入结合递进式例题与变式，如多力平衡的斜面问题、轻杆模型的动态分析，培养学生科学思维中的模型建构与科学推理能力。课中助力教师高效授课，课后作业分层设计，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

· 3.5共点力的平衡 · 课时2多力平衡问题 轻绳、轻杆模型 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在之前的学习中，我们已经掌握了二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力，大小相等、方向相反、作用在同一直线上。然而，现实生活中的物体往往受到三个甚至更多力的作用。例如，路灯悬挂在三根钢索下、起重机吊起货物、或者一个物体静止在斜面上。当物体受到多个力作用而保持静止或匀速直线运动状态时，我们称之为多力平衡。 此外，在受力分析中，我们经常会遇到“轻绳”和“轻杆”这两种理想化模型。它们虽然都是连接物体的工具，但产生的弹力方向却大相径庭。那么，如何处理多力平衡问题？轻绳和轻杆的弹力究竟有何不同？ 一、多力平衡问题 1.当物体受到不在同一条直线上的多个共点力时，一般要采用正交分解法。 2.用正交分解法解决平衡问题的一般步骤： (1)明确研究对象，对物体受力分析。 (2)建立坐标系：使尽可能多的力落在x、y轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便。 (3)根据共点力平衡的条件列方程：Fx=0，Fy=0。 例题1、如图所示，小明用与水平方向成角的轻绳拉木箱，使木箱沿地面向右匀速运动。已知绳中拉力恒为，木箱重力，，。 （1）分析木箱的受力情况，画出木箱的受力示意图； （2）求木箱所受的摩擦力大小和对地面压力大小； （3）求木箱与地面间的动摩擦因数的大小。 变式1-1、如图所示，地面上放一木箱，质量为40 kg，用与水平方向成37°角，大小为100 N的力推木箱，恰好使木箱匀速前进，若用大小为100 N，方向与水平成37°角的力斜向上方拉木箱，木箱加速运动(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求： (1)木箱与地面的动摩擦因数． (2)木箱加速运动时的加速度大小． 变式1-2、如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为，（0﹤），先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则（　　） A．F1一定小于F2 B．F1一定大于F2 C．两次的推力之比为cosθ＋μsinθ D．两次的推力之比为cosθ－μsinθ 变式1-3、如图所示，光滑固定斜面上有一楔形物体A，A的上表面水平，A上放置一物块B．已知斜面足够长、倾角为θ，A的质量为2m，B的质量为m，A、B间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，现对A施加一水平推力，求： (1)物体A、B保持静止时，水平推力的大小F1； (2)当水平推力大小为4mgtanθ时，物体A、B一起沿斜面向上运动，此时B受到的摩擦力大小； (3)第(2)问的情况下，A、B一起运动距离x后撤去推力，A、B仍一起沿斜面上滑，还能上滑多久？ 二、轻绳、轻杆模型 1.轻绳模型： (1)死结：两根不同绳子，两绳上的拉力大小不一定相等 (2)活结：同一根绳子，绳上的拉力一定处处相等 2.轻杆模型： (1)活杆：可以绕铰链自由转动的轻杆，是“活杆”，杆的弹力方向沿杆方向 (2)定杆：固定于某点(比如墙上)的轻杆，是“定杆”，杆的弹力方向不一定沿杆方向。 例题2、如图甲所示，在一固定斜面上物体A通过光滑定滑轮与物体B相连，物体A、B均保持静止，已知物体A的质量，斜面倾角。 (1)若斜面光滑，求物体B的质量； (2)若斜面由特殊材料制成，物体A、B仍保持静止，物体A向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求物体B质量的范围； (3)如图乙所示，若在P点对B施加一水平外力F，物体A、B仍保持静止，细线与竖直方向夹角，物体B质量，求A受到的摩擦力； (4)图乙中物体A保持静止，且细线与竖直方向夹角不变，物体B质量，改变F的大小和方向，F的最小值是多少？F取最小值时与水平方向夹角是多少？ 变式2-1、如图所示，轻质细绳AO和BO相交于O点，其A、B端是固定的，在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体，平衡时，AO水平，BO与水平方向的夹角为θ，已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同。AO和BO的拉力大小分别为F1和F2，已知重力加速度为g，则（　　） A． B． C．F1与F2的合力大小为mg，方向竖直向下 D．增大物体的质量，最先断的是细绳BO 变式2-2、四个相同的物块用轻绳系住，绕过光滑的轻质滑轮，并将绳子另一端系在墙壁上。甲、丁两杆固定插在竖直墙壁上，乙、丙两杆带有铰链并固定于竖直墙壁上，轻杆与轻绳与水平方向夹角如图所示。四幅图中，能够保持静止且杆的作用力相同的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 变式2-3、晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的两点，两点等高，无风状态下衣服保持静止。某一时刻衣服受到水平向右的恒定风力而发生滑动，并在新的位置保持静止，如图所示。两杆间的距离为，绳长为，衣服和衣架的总质量为，重力加速度为，不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，。则（　　） A．无风时，衣服只能停在绳子中点 B．无风时，轻绳的拉力大小为 C．有风时，衣服在新的平衡位置，挂钩左、右两侧绳子的拉力大小不相等 D．有风时，衣服在新的平衡位置，不变 例题3、如图所示，轻杆一端固定一质量为m的小球A，另一端与放置在粗糙水平地面上的木板B上的铰链O连接。将小球A用轻绳绕过光滑的定滑轮O'由力F牵引，且定滑轮O'位于铰链O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小，使小球A绕O点远离O'缓慢运动，木板B始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．力F逐渐减小 B．轻杆对小球A的作用力增大 C．地面对木板B的摩擦力逐渐减小 D．地面对木板B的作用力逐渐减小 变式3-1、如图，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、OD与竖直方向的夹角均为=30∘，下列说法正确的是（　　） A．甲图中，绳子OB的拉力大小为2m2g B．甲图中，轻杆AB对B点的弹力大小为m1g C．乙图中，绳子的拉力大小一定为2m4g D．甲、乙两图中，若m1=m3，则绳子OB与的拉力大小相等 变式3-2、如以下四幅图所示，关于下列各图受力情况的叙述中正确的是（　　） A．甲图中原木在、两点各受一个弹力，方向不都是竖直向上 B．乙图中杆对滑轮的弹力一定由指向 C．丙图中静止的铁块只受重力和支持力的作用 D．丁图中的弹簧一定处于压缩状态 变式3-3、如图所示，一轻质直杆可绕点在竖直面内旋转，长度为的细绳两端分别固定在杆上点和点，绳中间穿有质量为的光滑圆环，点和点之间的距离为L。轻杆处于水平位置，现将杆的右端向上抬高稍许，则轻绳上的拉力将（　　） A．保持不变 B．先增大后减小 C．增大 D．减小 模块三 课后作业 1．如图，用手拎电脑包，包水平静止。已知拎带与等长、夹角为，、等高，包的总质量为3kg。取重力加速度大小，忽略拎带的重力，则拎带的拉力大小约为（　　） A．15N B．17N C．30N D．60N 2．如图所示，不可伸长的轻绳AO、BO与弹性绳CO（遵循胡克定律）系于O点，AO另一端固定，BO水平且另一端连接着置于粗糙水平面的物体P，弹性绳CO下方悬挂一小球Q，初始时系统处于静止状态。现由于小球Q受到水平向左恒定风力作用，稳定后弹性绳CO偏离竖直方向一定夹角，此过程中物体P未发生移动，下列说法正确的是（　　） A．轻绳AO的拉力变小 B．轻绳BO的拉力变小 C．物体P受到的摩擦力不变 D．小球Q的位置一定变高 3．便携式晾衣绳因其“免夹防滑”的等距小孔设计而备受推崇。如图所示，将此晾衣绳的两端固定在水平距离为d的两等高挂点M、N上，一旅客将衣服挂在正中间O点时，绳与水平方向夹角小于30°，两边绳张力大小均为；挂在靠近左端M的P处时，左侧绳PM张力为，右侧绳PN张力为，忽略绳重力。下列判断正确的是（　　） A．挂在P处时，由于两段绳材质相同，故 B．挂在P处时，左侧绳更陡峭，故 C．无论挂在OM间何处，两段绳拉力的合力不变 D．无论挂在OM间何处，均有 4．如图所示，“”形硬钢架竖直固定放置，OM沿竖直方向，∠MON=30°。一个光滑的轻环套在ON上，一根足够长的轻绳穿过轻环，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。当系统处于稳定状态时，ON受到轻环的弹力大小为（　　） A．mg B． C． D． 5．如图某同学自制了一个简易动滑轮演示仪器，柔软的轻质细绳左端固定在竖直圆环上A点，右端可在竖直圆环上自由移动，右端的位置B比左端略高，AB均高于圆心且位于竖直直径的两侧，C位置低于圆心。动滑轮下面悬挂了可视为质点的物块，不计动滑轮的摩擦，下列说法正确的是（    ） A．若绳右端缓慢下移到C的过程中，A、B等高时绳上张力最大 B．若绳右端缓慢左移至和左端重合，绳上张力先增大后减小 C．若保持右端在B位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到A点运动至最高点的过程中，当左右两端等高时绳上张力最大 D．若保持右端在B位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到A点运动至最高点的过程中，绳上张力持续减小 6．如图所示，上表面光滑的半圆柱体静止在粗糙水平面上，小球A通过滑轮P用细线悬挂在空中，细线一端固定在点，另一端跨过滑轮连接一弹簧，弹簧下端与放置在半圆柱体上的小球B相连，两球均处于静止状态。已知球B质量为m，小滑轮用轻杆固定在半圆柱体圆心的正上方，与竖直方向成角，长度与半圆柱体半径相等，与竖直方向成角，细线、滑轮、弹簧质量可忽略不计，下列叙述正确的是（  ） A．半圆柱体对球B的支持力大小为 B．地面对半圆柱体的摩擦力大小为 C．杆对滑轮的作用力大小为 D．球A质量为 7．如图所示，两相同轻质硬杆可绕其两端垂直纸面的水平轴转动，在点悬挂一质量为的重物，将质量为的两相同木块紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。若将两挡板缓慢靠近少许距离后，与竖直方向夹角为，靠近过程保持始终等高，则靠近过程中（　　） A．挡板与木块间的弹力变大 B．挡板与木块间的摩擦力一定保持不变 C．若木块没有滑动，则两挡板的摩擦力之和大于 D．若木块没有滑动，则木块与挡板间摩擦因数至少为 8．如图甲的玩具吊车，其简化结构如图乙所示，杆AB固定于平台上且不可转动，其B端固定一光滑定滑轮；轻杆CD用铰链连接于平台，可绕C端自由转动，其D端连接两条轻绳，一条轻绳绕过滑轮后悬挂一质量为m的重物，另一轻绳缠绕于电动机转轴O上，通过电动机的牵引控制重物的起落。某次吊车将重物吊起至一定高度后保持静止，此时各段轻绳与杆之间的夹角如图乙所示，其中两杆处于同一竖直面内，OD绳沿竖直方向，γ = 37°，θ = 90°，重力加速度大小为g，则（   ）    A．α一定等于β B．AB杆受到绳子的作用力大小为 C．CD杆受到绳子的作用力方向沿∠ODB的角平分线方向，大小为mg D．当启动电动机使重物缓慢下降时，AB杆受到绳子的作用力将逐渐增大 9．图（a）为明代画家倪端创作的《捕鱼图》的局部，图（b）是对其中捕鱼器械的简化模型：轻质撑杆OA可绕岸边O点自由转动，渔网用轻绳AC系于撑杆上端的A点，站在岸上的渔翁拉动系在撑杆上端的轻绳AB，即可向上提起渔网。某次渔网被缓慢向上提起，当轻绳AB，AC与撑杆的夹角均为时，作用在轻绳AB的拉力大小为F，则此时岸对撑杆的作用力大小为（    ） A． B． C． D．F 10．某同学搭建了一个甲烷分子球棍模型，并将其静置在光滑水平桌面上，如图所示。质量均为m的四个相同小球a，b，c，d通过轻杆连接在小球O周围，形成正四面体结构。已知小球O质量为M，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．轻杆1对小球d的作用力大小为Mg B．桌面对小球a的弹力大小为 C．轻杆2对小球b的作用力大小为 D．小球O受到四根轻杆的合力大小等于 11．如图甲所示，轻杆BC水平插入竖直墙内，轻绳AD跨过水平轻杆BC右端的轻滑轮悬挂一个质量为的物体；如图乙所示，水平轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端通过轻绳EG拉住，且端用轻绳GF悬挂一个质量也为的物体；已知AC、EG与水平方向的夹角均为，重力加速度取，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．绳AC的拉力大小为 B．绳EG的拉力大小为 C．滑轮对绳子的弹力大小为 D．将端的铰链去掉，杆HG垂直插入墙内，绳EG的拉力大小一定不变 12．如图所示、在竖直的墙面上用铰链固定一粗糙轻杆，开始时轻杆处于水平方向。一套在轻杆上的轻环A通过一定长度的轻绳与杆上的B点固定连接，悬挂有一物块的光滑动滑轮跨在轻绳上。现让轻杆绕铰链缓慢转动较小角度。已知转动过程中，轻环A始终未滑动，下列说法正确的是（　　） A．若轻杆顺时针转动，则跨过滑轮的轻绳拉力增大 B．若轻杆顺时针转动，则跨过滑轮的轻绳拉力减小 C．若轻杆逆时针转动，则轻环A所受摩擦力减小 D．若轻杆逆时针转动，则轻环A所受摩擦力增大 13．如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC上的弹力大小为mg B．轻杆 BC上的弹力大小为 C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 14．如图所示，两个完全相同的小圆环套在水平晾衣杆上，一根不可伸长的光滑轻绳两端分别固定在小圆环上。将挂有衣服的晾衣架静止悬挂在轻绳的中间位置。已知小圆环的质量为m，晾衣架与衣服总质量为M，绳与竖直方向夹角均为，，。求： (1)轻绳上的拉力大小为多少？ (2)晾衣杆对每个小圆环弹力和摩擦力的大小分别为多少？ 15．如图所示，轻质杠杆放在钢制水平凹槽中，杠杆能以点或点为支点在竖直面内转动。，端挂有一重为的物体，现在点施加一个竖直向下力，使得杠杆保持水平平衡。求： (1)能使杠杆恰好以点为支点顺时针转动的力。 (2)能使杠杆恰好以点为支点逆时针转动的力。 (3)若施加在杠杆上的力在某一范围内变化，能使杠杆保持水平平衡，且这个范围内最大力与最小力的差为20牛，求物体的重力。 第14页，共28页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 3.5共点力的平衡 · 课时2多力平衡问题 轻绳、轻杆模型 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在之前的学习中，我们已经掌握了二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力，大小相等、方向相反、作用在同一直线上。然而，现实生活中的物体往往受到三个甚至更多力的作用。例如，路灯悬挂在三根钢索下、起重机吊起货物、或者一个物体静止在斜面上。当物体受到多个力作用而保持静止或匀速直线运动状态时，我们称之为多力平衡。 此外，在受力分析中，我们经常会遇到“轻绳”和“轻杆”这两种理想化模型。它们虽然都是连接物体的工具，但产生的弹力方向却大相径庭。那么，如何处理多力平衡问题？轻绳和轻杆的弹力究竟有何不同？ 一、多力平衡问题 1.当物体受到不在同一条直线上的多个共点力时，一般要采用正交分解法。 2.用正交分解法解决平衡问题的一般步骤： (1)明确研究对象，对物体受力分析。 (2)建立坐标系：使尽可能多的力落在x、y轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便。 (3)根据共点力平衡的条件列方程：Fx=0，Fy=0。 例题1、如图所示，小明用与水平方向成角的轻绳拉木箱，使木箱沿地面向右匀速运动。已知绳中拉力恒为，木箱重力，，。 （1）分析木箱的受力情况，画出木箱的受力示意图； （2）求木箱所受的摩擦力大小和对地面压力大小； （3）求木箱与地面间的动摩擦因数的大小。 【答案】（1）、；（2），；（3） 【详解】（1）木箱受绳的拉力、重力、地面的支持力和摩擦力的作用，受力示意图如图所示 （2）建立如图所示的直角坐标系，由正交分解得，水平方向 竖直方向 解得 由牛顿第三定律得，木箱对地面的压力大小为 （3）由滑动摩擦力公式得 解得 变式1-1、如图所示，地面上放一木箱，质量为40 kg，用与水平方向成37°角，大小为100 N的力推木箱，恰好使木箱匀速前进，若用大小为100 N，方向与水平成37°角的力斜向上方拉木箱，木箱加速运动(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求： (1)木箱与地面的动摩擦因数． (2)木箱加速运动时的加速度大小． 【答案】（1）0.17 ；（2）0.56m/s2 【详解】（1）以木箱为研究对象，因为物体匀速运动，故有 代入数据解得 （2）当斜向上拉时，对物体受力分析并正交分解 代入数据解得 变式1-2、如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为，（0﹤），先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则（　　） A．F1一定小于F2 B．F1一定大于F2 C．两次的推力之比为cosθ＋μsinθ D．两次的推力之比为cosθ－μsinθ 【答案】AD 【详解】F1作用时，物体的受力情况如图1，根据平衡条件得 F1=mgsinθ+μFN FN=mgcosθ 解得 F1=mgsinθ+μmgcosθF2作用时，物体的受力情况如图2，根据平衡条件得 F2cosθ=mgsinθ+μFN′ FN′=mgcosθ+F2sinθ 解得 联立可解得 可知F1一定小于F2，故AD正确，BC错误。 故选AD。 变式1-3、如图所示，光滑固定斜面上有一楔形物体A，A的上表面水平，A上放置一物块B．已知斜面足够长、倾角为θ，A的质量为2m，B的质量为m，A、B间动摩擦因数为μ，重力加速度为g，现对A施加一水平推力，求： (1)物体A、B保持静止时，水平推力的大小F1； (2)当水平推力大小为4mgtanθ时，物体A、B一起沿斜面向上运动，此时B受到的摩擦力大小； (3)第(2)问的情况下，A、B一起运动距离x后撤去推力，A、B仍一起沿斜面上滑，还能上滑多久？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1) A和B整体处于平衡状态，由平衡条件得 F1cosθ=（2m+m）gsinθ 解得 F1=3mgtanθ (2)当水平推力大小为F=4mgtanθ时，对整体 F1cosθ-（2m+m）gsinθ=3ma 解得    对B f=macosθ 解得 (3)水平推力撤去前 水平推力撤去后 （2m+m）gsinθ=3ma′ 解得 二、轻绳、轻杆模型 1.轻绳模型： (1)死结：两根不同绳子，两绳上的拉力大小不一定相等 (2)活结：同一根绳子，绳上的拉力一定处处相等 2.轻杆模型： (1)活杆：可以绕铰链自由转动的轻杆，是“活杆”，杆的弹力方向沿杆方向 (2)定杆：固定于某点(比如墙上)的轻杆，是“定杆”，杆的弹力方向不一定沿杆方向。 例题2、如图甲所示，在一固定斜面上物体A通过光滑定滑轮与物体B相连，物体A、B均保持静止，已知物体A的质量，斜面倾角。 (1)若斜面光滑，求物体B的质量； (2)若斜面由特殊材料制成，物体A、B仍保持静止，物体A向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求物体B质量的范围； (3)如图乙所示，若在P点对B施加一水平外力F，物体A、B仍保持静止，细线与竖直方向夹角，物体B质量，求A受到的摩擦力； (4)图乙中物体A保持静止，且细线与竖直方向夹角不变，物体B质量，改变F的大小和方向，F的最小值是多少？F取最小值时与水平方向夹角是多少？ 【答案】(1) (2) (3)，方向沿斜面向上 (4)， 【详解】（1）若斜面光滑，沿斜面方向对A分析，A静止受力平衡，则绳子拉力 对B受力分析，在竖直方向，由平衡条件，得绳子拉力 因此 代入数据解得 （2）若A刚好不下滑，最大静摩擦力沿斜面向上，由平衡条件，得 代入数据解得 若A刚好不上滑，最大静摩擦力沿斜面向下，由平衡条件，得 代入数据解得 故物体B的质量范围为 （3）对结点P受力分析，由平衡条件，得 解得 对物体A受力分析，设摩擦力沿斜面向上，由平衡条件，得 解得A受到的摩擦力大小为 结果为正，说明摩擦力方向沿斜面向上。 （4）对结点P受力分析，如图所示 重力大小方向不变，绳子拉力方向固定，根据共点力平衡的矢量三角形，当垂直于时，取得最小值，大小为 由几何关系，垂直时，与水平方向夹角为 变式2-1、如图所示，轻质细绳AO和BO相交于O点，其A、B端是固定的，在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体，平衡时，AO水平，BO与水平方向的夹角为θ，已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同。AO和BO的拉力大小分别为F1和F2，已知重力加速度为g，则（　　） A． B． C．F1与F2的合力大小为mg，方向竖直向下 D．增大物体的质量，最先断的是细绳BO 【答案】BD 【详解】AB．以结点O为研究对象，受力情况如图所示 根据共点力平衡条件有， 解得，，故A错误，B正确； C．由图可知与的合力大小为mg，方向竖直向上，故C错误； D．根据平衡条件有 增大物体的质量，BO绳上的拉力先达到最大值，先断开，故D正确。 故选BD。 变式2-2、四个相同的物块用轻绳系住，绕过光滑的轻质滑轮，并将绳子另一端系在墙壁上。甲、丁两杆固定插在竖直墙壁上，乙、丙两杆带有铰链并固定于竖直墙壁上，轻杆与轻绳与水平方向夹角如图所示。四幅图中，能够保持静止且杆的作用力相同的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【详解】甲图中，对滑轮受力分析如图 由图可知杆可以保持静止，对滑轮的作用力大小为 与竖直方向成60°夹角向右上方。 乙图中，对滑轮受力分析如图 由可知，滑轮受力不平衡，杆不能静止。 丙图中，对滑轮受力分析如图 由图可知杆可以保持静止，对滑轮的作用力大小为 与竖直方向成60°夹角向右上方。 丁图中，对滑轮受力分析如图 由图可知杆可以保持静止，对滑轮的作用力大小为 与竖直方向成45°夹角向右上方。 综上所述，能够保持静止且杆的作用力相同的是甲图和丙图。 故选C。 变式2-3、晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的两点，两点等高，无风状态下衣服保持静止。某一时刻衣服受到水平向右的恒定风力而发生滑动，并在新的位置保持静止，如图所示。两杆间的距离为，绳长为，衣服和衣架的总质量为，重力加速度为，不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，。则（　　） A．无风时，衣服只能停在绳子中点 B．无风时，轻绳的拉力大小为 C．有风时，衣服在新的平衡位置，挂钩左、右两侧绳子的拉力大小不相等 D．有风时，衣服在新的平衡位置，不变 【答案】AB 【详解】A．无风时，衣服受重力和两段绳子的拉力平衡，由于绳子两端固定点等高，且绳子是 “活结”，两段绳子的拉力大小相等，根据对称性，衣服会停在绳子的中点，故A正确； B．无风时，衣服受到重力和两边绳子的拉力处于平衡状态，同一条绳子拉力大小相等，则挂钩左右两侧绳子与竖直方向的夹角相等，设为。由几何关系可得 解得 根据平衡条件可得 解得，故B正确； C．由于不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，则挂钩相当于动滑轮，两端绳子的拉力总是相等，故C错误； D．设无风时绳子夹角的一半为，绳长为L，有风时绳子夹角的一半为，有风时如图 根据几何关系，有风时可得 无风时可得 又 故，可知有风时，衣服在新的平衡位置，变小，故D错误。 故选AB。 例题3、如图所示，轻杆一端固定一质量为m的小球A，另一端与放置在粗糙水平地面上的木板B上的铰链O连接。将小球A用轻绳绕过光滑的定滑轮O'由力F牵引，且定滑轮O'位于铰链O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小，使小球A绕O点远离O'缓慢运动，木板B始终保持静止，则在整个过程中（　　） A．力F逐渐减小 B．轻杆对小球A的作用力增大 C．地面对木板B的摩擦力逐渐减小 D．地面对木板B的作用力逐渐减小 【答案】D 【详解】A．对小球进行受力分析，小球受到的三个力构成矢量三角形，如图所示 根据几何关系可知两三角形相似，因此 缓慢运动过程O'A越来越大，则F逐渐增大，故A错误； B．由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误； C．对木板B，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越大，地面对木板的摩擦力 越来越大，越来越大，F不变，故摩擦力f越来越大，故C错误； D．木板B受重力、地面的支持力、杆的弹力和地面的摩擦力，根据力的合成与分解可知地面对木板B的作用力与木板B受重力和杆的弹力的合力等大反向，杆的作用力与竖直方向的夹角越来越大，则木板B受重力和杆的弹力的合力逐渐减小，所以地面对木板B的作用力减小，故D正确。 故选D。 变式3-1、如图，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、OD与竖直方向的夹角均为=30∘，下列说法正确的是（　　） A．甲图中，绳子OB的拉力大小为2m2g B．甲图中，轻杆AB对B点的弹力大小为m1g C．乙图中，绳子的拉力大小一定为2m4g D．甲、乙两图中，若m1=m3，则绳子OB与的拉力大小相等 【答案】D 【详解】A．甲图中轻杆AB对外的弹力方向沿杆，对结点B进行受力分析，如图所示 根据平衡条件可知，故A错误； B．由图像可知轻杆的弹力，故B错误； C．图乙中的轻杆CD是固定在墙面上的，所以杆上的弹力方向不一定沿着轻杆，无法判断此时的两个物体与的质量关系，故C错误； D．在甲、乙两图中，同一个绳上的拉力是相等的，有和 所以当时 有，故D正确。 故选D。 变式3-2、如以下四幅图所示，关于下列各图受力情况的叙述中正确的是（　　） A．甲图中原木在、两点各受一个弹力，方向不都是竖直向上 B．乙图中杆对滑轮的弹力一定由指向 C．丙图中静止的铁块只受重力和支持力的作用 D．丁图中的弹簧一定处于压缩状态 【答案】AD 【详解】A．原木在点受到的弹力方向竖直向上，在点受到的弹力方向垂直于原木间的接触面斜向上，故A正确； B．乙图中杆固定在墙上，不可转动，受力分析可得杆对滑轮的弹力与两侧绳子拉力的合力平衡，方向不一定由指向，故B错误； C．铁块静止，受力分析可得此时除了受重力和支持力的作用外还受到摩擦力的作用，故C错误； D．丁图中对小球受力分析，小球受到斜向上的沿绳子的拉力，竖直向下的重力，可得此时弹簧对小球一定有水平向右的弹力，所以弹簧一定处于压缩状态，故D正确。 故选AD。 变式3-3、如图所示，一轻质直杆可绕点在竖直面内旋转，长度为的细绳两端分别固定在杆上点和点，绳中间穿有质量为的光滑圆环，点和点之间的距离为L。轻杆处于水平位置，现将杆的右端向上抬高稍许，则轻绳上的拉力将（　　） A．保持不变 B．先增大后减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【详解】令轻杆从水平方向逆时针转过的角度为，此时轻绳与竖直方向的夹角为，根据几何性质有 设绳受到的拉力为，对圆环、圆环与轻绳的接触点进行分析，根据平衡条件有 解得，可知随着逐渐增大，的值逐渐减小。 故选D。 模块三 课后作业 1．如图，用手拎电脑包，包水平静止。已知拎带与等长、夹角为，、等高，包的总质量为3kg。取重力加速度大小，忽略拎带的重力，则拎带的拉力大小约为（　　） A．15N B．17N C．30N D．60N 【答案】B 【详解】已知总质量，、等长对称，因此两条拎带拉力大小相等，设拉力为，则拉力也为，每条拎带与竖直方向的夹角为，有 得 故选B。 2．如图所示，不可伸长的轻绳AO、BO与弹性绳CO（遵循胡克定律）系于O点，AO另一端固定，BO水平且另一端连接着置于粗糙水平面的物体P，弹性绳CO下方悬挂一小球Q，初始时系统处于静止状态。现由于小球Q受到水平向左恒定风力作用，稳定后弹性绳CO偏离竖直方向一定夹角，此过程中物体P未发生移动，下列说法正确的是（　　） A．轻绳AO的拉力变小 B．轻绳BO的拉力变小 C．物体P受到的摩擦力不变 D．小球Q的位置一定变高 【答案】D 【详解】A．初始时，设小球的质量为，轻绳的拉力为，对小球，在竖直方向受力平衡，有 设与水平方向的夹角为，轻绳的拉力为，由平衡条件，在竖直方向，有 解得 稳定后，不变，设偏离竖直方向的角度为，由平衡条件，得弹性绳的拉力 解得 对结点，在竖直方向受力平衡，有 解得 由可知，和初始状态相比，轻绳的拉力大小不变，故A错误； B．初始时，设轻绳的拉力为，由平衡条件，在水平方向，有 解得 设风力为，稳定后，对小球，水平方向平衡，有 对结点，水平方向平衡，有 由可知，轻绳BO的拉力比原来变大，故B错误； C．物体始终处于静止状态，由平衡条件可知，物体受到的摩擦力始终与轻绳BO的拉力大小相等，因此物体P受到的摩擦力也变大，故C错误； D．设弹性绳CO的原长为，劲度系数为，根据胡克定律，可得初始时小球Q到结点的距离为 稳定后，小球到结点的竖直距离为 因为，所以 则小球的位置变高，故D正确。 故选D。 3．便携式晾衣绳因其“免夹防滑”的等距小孔设计而备受推崇。如图所示，将此晾衣绳的两端固定在水平距离为d的两等高挂点M、N上，一旅客将衣服挂在正中间O点时，绳与水平方向夹角小于30°，两边绳张力大小均为；挂在靠近左端M的P处时，左侧绳PM张力为，右侧绳PN张力为，忽略绳重力。下列判断正确的是（　　） A．挂在P处时，由于两段绳材质相同，故 B．挂在P处时，左侧绳更陡峭，故 C．无论挂在OM间何处，两段绳拉力的合力不变 D．无论挂在OM间何处，均有 【答案】C 【详解】AB．作用点不移动，为“死结”模型。设左侧绳与水平方向夹角为α，右侧绳与水平方向夹角为β，由于P点靠近M端，根据几何关系，左绳PM必然比右绳PN更陡峭，即 由水平方向受力平衡有 又，可知，故AB错误； C．根据平衡条件，两段绳拉力的合力始终与衣架及衣服重力等大反向，保持不变，故C正确； D．在O点时， 由 可知 在MO间存在一点P使得，即 此时有， 即，故D错误。 故选 C。 4．如图所示，“”形硬钢架竖直固定放置，OM沿竖直方向，∠MON=30°。一个光滑的轻环套在ON上，一根足够长的轻绳穿过轻环，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。当系统处于稳定状态时，ON受到轻环的弹力大小为（　　） A．mg B． C． D． 【答案】A 【详解】对轻环受力分析如图所示 绳子张力处处相等，均为mg，轻环光滑，没有摩擦，由平行四边形法则可知，弹力方向在两段绳子夹角的角平分线上，由几何关系可知，两段绳子夹角为120°，则N=mg 故选A。 5．如图某同学自制了一个简易动滑轮演示仪器，柔软的轻质细绳左端固定在竖直圆环上A点，右端可在竖直圆环上自由移动，右端的位置B比左端略高，AB均高于圆心且位于竖直直径的两侧，C位置低于圆心。动滑轮下面悬挂了可视为质点的物块，不计动滑轮的摩擦，下列说法正确的是（    ） A．若绳右端缓慢下移到C的过程中，A、B等高时绳上张力最大 B．若绳右端缓慢左移至和左端重合，绳上张力先增大后减小 C．若保持右端在B位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到A点运动至最高点的过程中，当左右两端等高时绳上张力最大 D．若保持右端在B位置不变，绕过圆心且垂直于圆面的轴顺时针缓慢转动圆环，直到A点运动至最高点的过程中，绳上张力持续减小 【答案】C 【详解】A．本题属于晾衣绳问题，滑轮两侧绳子与竖直方向夹角相同，当重物受重力和绳长不变时，绳子拉力只与绳子两端的水平距离有关，因此在B下移至C的过程中，当B处于圆心所在水平面时，A、B水平距离最远，绳上张力最大，A错误； B．当B向左移时，A、B水平距离持续减小，绳上张力持续减小，B错误； CD．保持B位置不动意味着AB长度固定，绕圆心旋转圆环改变AB在水平方向上的投影长度，也即A、B水平间距，设AB长为，AB与水平方向夹角为 则A、B水平间距为 当时，A、B等高，取得最大值 随着先减小后增大，先增大后减小，绳上张力先增大后减小，C正确、D错误。 故选 C。 6．如图所示，上表面光滑的半圆柱体静止在粗糙水平面上，小球A通过滑轮P用细线悬挂在空中，细线一端固定在点，另一端跨过滑轮连接一弹簧，弹簧下端与放置在半圆柱体上的小球B相连，两球均处于静止状态。已知球B质量为m，小滑轮用轻杆固定在半圆柱体圆心的正上方，与竖直方向成角，长度与半圆柱体半径相等，与竖直方向成角，细线、滑轮、弹簧质量可忽略不计，下列叙述正确的是（  ） A．半圆柱体对球B的支持力大小为 B．地面对半圆柱体的摩擦力大小为 C．杆对滑轮的作用力大小为 D．球A质量为 【答案】C 【详解】AD．对小球B分析，受拉力、重力、支持力处于平衡状态，根据几何关系和平衡条件可得== 对小球A分析，根据竖直方向平衡条件可得 联立可得，A错误，D错误； B．对小球B分析，圆柱体对B的支持力大小 方向与竖直方向夹角为30°，则根据牛顿第三定律，B对圆柱体压力 对圆柱体分析，根据水平方向的平衡条件可得 解得，故B错误； C．对滑轮分析，根据平衡条件，两绳对滑轮的作用力合力（两力大小相等且垂直，则合力为）与杆对滑轮作用力大小相等，则杆对滑轮作用力大小 ，故C正确； 故选C。 7．如图所示，两相同轻质硬杆可绕其两端垂直纸面的水平轴转动，在点悬挂一质量为的重物，将质量为的两相同木块紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。若将两挡板缓慢靠近少许距离后，与竖直方向夹角为，靠近过程保持始终等高，则靠近过程中（　　） A．挡板与木块间的弹力变大 B．挡板与木块间的摩擦力一定保持不变 C．若木块没有滑动，则两挡板的摩擦力之和大于 D．若木块没有滑动，则木块与挡板间摩擦因数至少为 【答案】D 【详解】A．设轻质硬杆的弹力为F，与竖直方向夹角为，将细线对O点的拉力按照效果分解如图所示 竖直方向有 再将杆对木块的推力按照效果分解，如下图所示 根据几何关系，有 联立，解得 若挡板间的距离稍许减小后，角变小，变小，所以挡板与木块间的弹力变小。故A错误； BC．若木块没有滑动，对整体受力分析，由平衡条件可知两挡板的摩擦力之和与整体的重力平衡，即 若木块发生了相对滑动，则挡板与木块间的摩擦力由静摩擦力转变为滑动摩擦力。故BC错误； D．若木块没有滑动，对其中一个木块受力分析如图所示 竖直方向 联立，解得 由于 则 即木块与挡板间摩擦因数至少为。故D正确。 故选D。 8．如图甲的玩具吊车，其简化结构如图乙所示，杆AB固定于平台上且不可转动，其B端固定一光滑定滑轮；轻杆CD用铰链连接于平台，可绕C端自由转动，其D端连接两条轻绳，一条轻绳绕过滑轮后悬挂一质量为m的重物，另一轻绳缠绕于电动机转轴O上，通过电动机的牵引控制重物的起落。某次吊车将重物吊起至一定高度后保持静止，此时各段轻绳与杆之间的夹角如图乙所示，其中两杆处于同一竖直面内，OD绳沿竖直方向，γ = 37°，θ = 90°，重力加速度大小为g，则（   ）    A．α一定等于β B．AB杆受到绳子的作用力大小为 C．CD杆受到绳子的作用力方向沿∠ODB的角平分线方向，大小为mg D．当启动电动机使重物缓慢下降时，AB杆受到绳子的作用力将逐渐增大 【答案】D 【详解】A．杆AB固定于平台，杆力不一定沿杆，同一条绳的力大小相等，其合力一定在其角平分线上，由于杆力不一定沿杆，所以α不一定等于β，故A错误； B．如图所示    两个力所作力的平行四边形为菱形，根据平衡条件可得 根据几何关系可得 对角线为，则AB杆受到绳子的作用力大小为 故B错误； C．根据题意D端连接两条轻绳，两条轻绳的力不一定大小相等，且杆为铰链连接，为“活”杆，杆力沿着杆的方向，水平方向，根据 解得 故C错误； D．当启动电动机使重物缓慢下降时，即不变，变小，根据 可知变大，故D正确。 故选D。 9．图（a）为明代画家倪端创作的《捕鱼图》的局部，图（b）是对其中捕鱼器械的简化模型：轻质撑杆OA可绕岸边O点自由转动，渔网用轻绳AC系于撑杆上端的A点，站在岸上的渔翁拉动系在撑杆上端的轻绳AB，即可向上提起渔网。某次渔网被缓慢向上提起，当轻绳AB，AC与撑杆的夹角均为时，作用在轻绳AB的拉力大小为F，则此时岸对撑杆的作用力大小为（    ） A． B． C． D．F 【答案】B 【详解】轻质撑杆OA杆为活杆，对端点A受力分析，杆对其作用力沿杆的方向，轻绳AC、轻绳AB对端点A拉力，由拉力的对称性及共点力的平衡，得杆对其支持力为 即此时岸对撑杆的作用力大小为 故选B。 10．某同学搭建了一个甲烷分子球棍模型，并将其静置在光滑水平桌面上，如图所示。质量均为m的四个相同小球a，b，c，d通过轻杆连接在小球O周围，形成正四面体结构。已知小球O质量为M，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．轻杆1对小球d的作用力大小为Mg B．桌面对小球a的弹力大小为 C．轻杆2对小球b的作用力大小为 D．小球O受到四根轻杆的合力大小等于 【答案】C 【详解】A．对小球d，根据平衡条件可得轻杆1对小球d的作用力大小为，故A错误； B．对整体，根据平衡条件可得 所以，故B错误； C．对小球b，根据平衡条件可得 所以轻杆2对小球b的作用力大小为，故C正确； D．对小球O，根据平衡条件可得 即小球O受到四根轻杆的合力大小等于Mg，故D错误。 故选C。 11．如图甲所示，轻杆BC水平插入竖直墙内，轻绳AD跨过水平轻杆BC右端的轻滑轮悬挂一个质量为的物体；如图乙所示，水平轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端通过轻绳EG拉住，且端用轻绳GF悬挂一个质量也为的物体；已知AC、EG与水平方向的夹角均为，重力加速度取，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．绳AC的拉力大小为 B．绳EG的拉力大小为 C．滑轮对绳子的弹力大小为 D．将端的铰链去掉，杆HG垂直插入墙内，绳EG的拉力大小一定不变 【答案】C 【详解】A．因C点为定滑轮，可知绳AC的拉力大小等于物块的重力大小，即为，A错误； B．对G点受力分析可知 即绳EG的拉力大小为，B错误； C．滑轮两边绳子的拉力均为20N，夹角为120°，则滑轮对绳子的弹力大小为，C正确； D．将端的铰链去掉，杆HG垂直插入墙内，则杆对G点的支持力方向不一定沿杆的方向，可知绳EG的拉力大小可能会发生改变，D错误。 故选C。 12．如图所示、在竖直的墙面上用铰链固定一粗糙轻杆，开始时轻杆处于水平方向。一套在轻杆上的轻环A通过一定长度的轻绳与杆上的B点固定连接，悬挂有一物块的光滑动滑轮跨在轻绳上。现让轻杆绕铰链缓慢转动较小角度。已知转动过程中，轻环A始终未滑动，下列说法正确的是（　　） A．若轻杆顺时针转动，则跨过滑轮的轻绳拉力增大 B．若轻杆顺时针转动，则跨过滑轮的轻绳拉力减小 C．若轻杆逆时针转动，则轻环A所受摩擦力减小 D．若轻杆逆时针转动，则轻环A所受摩擦力增大 【答案】BC 【详解】AB．设滑轮左端绳长L1，右端绳长L2，AB水平距离为d，由于节点为活节，故滑轮左右端绳的拉力大小相等，同时滑轮左端绳子及右端绳子与竖直方向的夹角相等，假设均为θ，杆与L1成α角，于是可以得到图 设绳子拉力为T，对滑轮受力分析可知 由于绳长度不变，当轻杆顺时针转动时，AB水平距离d减小，则θ减小，绳子拉力T也减小，故A错误，B正确； CD．若轻杆逆时针转动，同上分析可得绳子拉力T减小，且α角变大，由平衡条件可知，轻环A所受摩擦 故则轻环A所受摩擦力减小，故C正确，D错误。 故选BC。 13．如图所示，轻杆AC和轻杆BC 的一端用光滑铰链连接在C点，另一端分别用光滑铰链固定在竖直墙壁上，将一质量为m 的物块通过细线连接在C点并保持静止状态。已知重力加速度大小为g，AB=BC=AC，下列说法正确的是（　　） A．轻杆AC上的弹力大小为mg B．轻杆 BC上的弹力大小为 C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，物块仍能静止在原来位置 【答案】AC 【详解】AB．以C点为对象，进行受力分析，如图所示 由于为等边三角形，根据图中几何关系可得 故A正确，B错误； C．若将轻杆AC换成相同长度的细线，则细线AC的拉力仍沿AC向上，物块仍能静止在原来位置，故C正确； D．若将轻杆BC换成相同长度的细线，则细线BC的拉力应沿CB向下，物块不能静止在原来位置，故D错误。 故选AC。 14．如图所示，两个完全相同的小圆环套在水平晾衣杆上，一根不可伸长的光滑轻绳两端分别固定在小圆环上。将挂有衣服的晾衣架静止悬挂在轻绳的中间位置。已知小圆环的质量为m，晾衣架与衣服总质量为M，绳与竖直方向夹角均为，，。求： (1)轻绳上的拉力大小为多少？ (2)晾衣杆对每个小圆环弹力和摩擦力的大小分别为多少？ 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）以衣服和晾衣架为研究对象     解得轻绳上的拉力大小为     （2）以小圆环，衣服及晾衣架整体为研究对象         解得晾衣杆对每个小圆环弹力         以小圆环为研究对象     解得晾衣杆对每个小圆环摩擦力的大小 15．如图所示，轻质杠杆放在钢制水平凹槽中，杠杆能以点或点为支点在竖直面内转动。，端挂有一重为的物体，现在点施加一个竖直向下力，使得杠杆保持水平平衡。求： (1)能使杠杆恰好以点为支点顺时针转动的力。 (2)能使杠杆恰好以点为支点逆时针转动的力。 (3)若施加在杠杆上的力在某一范围内变化，能使杠杆保持水平平衡，且这个范围内最大力与最小力的差为20牛，求物体的重力。 【答案】(1) (2)G (3)30N 【详解】（1）当AD杆水平平衡时，若以C为支点，动力臂为 阻力臂CD，根据杠杆平衡的条件 则 可得 （2）则以B为支点时，动力臂为，阻力臂为BD，根据杠杆平衡的条件 则 可得 （3）以B为支点时，拉力等于G；以C为支点时，拉力等于；由题意知，拉力最大变化量 则 解得 第14页，共28页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $