精品解析：江苏扬州市江都区2025-2026学年第二学期期末考试七年级数学试卷

七年级数学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算是（   ） A. 8 B. C. D. 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A. B. C. D. 6. 如图，若，则（ ） A. 100 B. 105 C. 110 D. 115 7. 用反证法证明“三角形中，至少有一个内角不大于”应首先假设：（ ） A. 每个内角都小于 B. 每个内角都大于 C. 每个内角都不小于 D. 每个内角都不大于 8. 如图，，点P为内一点，M、N分别是射线、上的动点，连接、、，当最小时，（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小3分，共30分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 生物学家发现某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示为___________． 10. 命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 11. 若，则的值为__________． 12. 若，则=______． 13. 若是关于的一元一次不等式，则的值为________． 14. 如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是________． 15. 如图，长方形中，，沿折叠长方形，使、两点分别落在、处，若，则为________． 16. 如图，若，则________． 17. 若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，则的取值范围是________． 18. 已知关于、的方程组（为常数），给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②不论取何值，的值始终为4；③方程组有且仅有三个正整数解；④的最大值为2．以上结论正确的是________．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程组： （1） （2） 21. 计算： （1）解不等式，并将它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出所有整数解的和． 22. 先化简，再求值：，其中x、y互为倒数． 23. 仅用无刻度直尺在如图所示的方格纸中作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）沿方向平移，使点落在点处，画出平移后的．其中，的对应点是，的对应点是； （2）在（1）的条件下，若连接，，则线段与线段的关系 ； （3）画出关于点对称的．其中，的对应点是，的对应点是； （4）在（1）（3）的条件下，与成中心对称，请作出对称中心点； （5）在上作一点，使最短． 24. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 25. 如图，在中，． （1）如图1，若，求∠BPC的度数； （2）如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 26. 同学们在学习七年级下册第八章《整式乘法》时，学习了重要的公式——完全平方公式，请解答下列各题： 【基础公式】 （1）请写出 ， ； 【公式变形】 （2）请写出、与的关系： ； 【公式应用】 （3）已知：，，求的值； （4）已知：，求的值． 27. 代数推理是指依据代数知识（公式、法则、等式或不等式的性质等）进行运算或证明．请用代数推理解决如下问题： （1）已知：，求证：； （2）已知：是一个三位数，各数位上数字a、b、c为三个连续整数且，求证：能被整除； （3）已知：，，，且，求t的最大值和t的最小值． 28. 在四边形中，，点是延长线上一定点． （1）尺规作图：在图中作线段的中点，连接交于点，作的平分线交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，点是线段上一动点，连接，平分． ①如图，当与重合时，求证：； ②如图，当在右侧时，与交于点，与有怎样的数量关系，并说明理由； ③当在线段上且不与、重合时，直线与直线交于点，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，，A错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，D错误． 2. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ． 【详解】A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ， B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 ， C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， D． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ． 3. 计算是（   ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． 根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质，注意在乘除负数时不等号方向改变，同时要考虑除数不能为0的情况． 【小问1详解】 解：对于选项A：，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：，不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故B错误； 对于选项C：当时，，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得； 当时，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得； 当时，式子无意义，故C不一定成立； 对于选项D：，不等式两边同除以3，不等号方向不变，得； 再两边同加，不等号方向不变，得，故D正确． 故选：D． 5. 学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组；根据型客车情况，总人数等于座位数加无座人数；根据型客车情况，空出一辆车，实际使用车辆数减一，且一辆车只坐人，其余坐满，列出方程． 【详解】解：设计划租用辆车，共有学生和带队教师人， 选用型客车时，一辆车坐人，有人无座， 总人数，即． 选用型客车时，空出一辆车，实际使用车辆为辆， 其中一辆只坐人，其余辆车坐满人， 总人数． 因此，方程组为， 故选：B． 6. 如图，若，则（ ） A. 100 B. 105 C. 110 D. 115 【答案】A 【解析】 【分析】先利用多边形外角和为，求出的外角的度数，再根据邻补角互补计算出的度数． 【详解】解：如图，设的外角为． ，， ， ， ． 7. 用反证法证明“三角形中，至少有一个内角不大于”应首先假设：（ ） A. 每个内角都小于 B. 每个内角都大于 C. 每个内角都不小于 D. 每个内角都不大于 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题“三角形中，至少有一个内角不大于”的否定为“每个内角都大于”，即可得到答案． 【详解】解：∵命题“三角形中，至少有一个内角不大于”的否定为“每个内角都大于”， ∴反证法证明“三角形中，至少有一个内角不大于”应首先假设“每个内角都大于”． 8. 如图，，点P为内一点，M、N分别是射线、上的动点，连接、、，当最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作的对称点，作的对称点，推出当、、、四点共线时有最小值，结合三角形外角的性质解题． 【详解】解：如图，过点作的对称点，作的对称点，连接、， 由对称性知，， ∴， 当且仅当、、、四点共线时有最小值，连接分别交于、交于，连接、，即所求的角为； ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共有10小题，每小3分，共30分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 生物学家发现某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 【详解】∵， 故答案为：． 10. 命题“如果，那么”的逆命题是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【解析】 【分析】交换原命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的条件为，结论为， 交换条件和结论，得到逆命题为“如果，那么”， 当时，可得或，即不能推出，因此该逆命题是假命题． 11. 若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了逆用同底数幂除法公式求解等知识，逆用同底数幂除法公式得到，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 12. 若，则=______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出与的值即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：6． 13. 若是关于的一元一次不等式，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列出条件求解． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴或， 即或. ∵， ∴，不符合系数不为的条件，舍去； 当时，，符合条件． 14. 如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个方程组解相同，直接得到公共解；将解代入含的方程，得到关于的二元一次方程组；解方程组求出的值，最后计算 【详解】解：与有相同的解， ，， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，长方形中，，沿折叠长方形，使、两点分别落在、处，若，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据得出，即可求出． 【详解】解：∵沿折叠长方形，使、两点分别落在、处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 16. 如图，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 17. 若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再结合不等式组有解且最多有4个整数解的条件，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得； 不等式组有解， 不等式组的解集为， ∴ 不等式组最多有个整数解， 不等式组的整数解最多为，不能包含， ∴ 综上，的取值范围是． 18. 已知关于、的方程组（为常数），给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②不论取何值，的值始终为4；③方程组有且仅有三个正整数解；④的最大值为2．以上结论正确的是________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解法，配方法求二次式的最值.先解方程组得到，关于的表达式，再逐一判断四个结论即可． 【详解】解：解方程组，得， ①当时，代入得，， 将，代入，得，满足方程，故①正确； ②， 故不论取何值，的值恒为，故②正确； ③若方程组的解为正整数解，则，均为正整数，即， 解得， 要使，均为正整数，则必为整数， 仅满足条件，对应唯一正整数解，故③错误； ④， ， ，即， 故的最大值为，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘方，零指数幂，及负整数指数幂，再计算有理数的和差即可； （2）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算，再计算同底数幂的除法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由②得，， 化简得③， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 21. 计算： （1）解不等式，并将它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并写出所有整数解的和． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解一元一次不等式，再依据解集在数轴上画出对应图像． （2）分别求解不等式组里两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组解集，找出范围内全部整数解，最后相加算出整数解的和． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 在数轴上表示解集略； 【小问2详解】 解： 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组解集为， ∴整数解为 ，，，，， ∴所有整数解的和为． 22. 先化简，再求值：，其中x、y互为倒数． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， x、y互为倒数， ， 将代入上式得：． 23. 仅用无刻度直尺在如图所示的方格纸中作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）沿方向平移，使点落在点处，画出平移后的．其中，的对应点是，的对应点是； （2）在（1）的条件下，若连接，，则线段与线段的关系 ； （3）画出关于点对称的．其中，的对应点是，的对应点是； （4）在（1）（3）的条件下，与成中心对称，请作出对称中心点； （5）在上作一点，使最短． 【答案】（1）如图所示 （2）连接，如图，；相等且平行 （3）如图所示 （4）如图，点即为所求 （5）如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）依据平移的定义，确定平移方向与平移距离，分别平移点、点得到对应点、，顺次连接三点得到平移后的三角形． （2）根据平移的性质，直接得出平移对应线段的数量与位置关系． （3）取格点、，顺次连接、、，则是的对称三角形． （4）根据中心对称图形对称中心的作图方法，连接，连接，两条连线的交点即为对称中心点． （5）利用轴对称求最短路径原理，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时最短，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【小问5详解】 略 24. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【解析】 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 25. 如图，在中，． （1）如图1，若，求∠BPC的度数； （2）如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）．理由如下： ， ， ，， ， 即， ． 【解析】 【分析】（1）根据及，可证明，再根据三角形内角和定理，即可求得答案； （2）根据平行线的性质及三角形内角和定理，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 26. 同学们在学习七年级下册第八章《整式乘法》时，学习了重要的公式——完全平方公式，请解答下列各题： 【基础公式】 （1）请写出 ， ； 【公式变形】 （2）请写出、与的关系： ； 【公式应用】 （3）已知：，，求的值； （4）已知：，求的值． 【答案】（1） （2） （3）10 （4） 【解析】 【分析】（1）直接默写完全平方和、完全平方差基础公式． （2）将两个完全平方公式作差，整理得到三者之间的等量变形关系． （3）利用完全平方差变形公式 ，代入已知数值计算． （4）设，，先计算的定值，已知，利用完全平方变形公式求出，再通过化简得到，开平方求出的值． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴； 【小问4详解】 解：设 ，，则， ，， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴，即， ． 27. 代数推理是指依据代数知识（公式、法则、等式或不等式的性质等）进行运算或证明．请用代数推理解决如下问题： （1）已知：，求证：； （2）已知：是一个三位数，各数位上数字a、b、c为三个连续整数且，求证：能被整除； （3）已知：，，，且，求t的最大值和t的最小值． 【答案】（1）证明：， ，， ， ， ； （2）证明：a、b、c为三个连续整数且， ，， ， ， 能被整除； （3）的最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由可得出，与的大小关系，进而可得到与的大小关系，利用平方差公式可得证； （2）由题目条件用表示出和，再把表示成关于的式子，这个式子提出公因数就可得证； （3）利用，这两个条件用表示出和，从而可用表示出，再利用求出的取值范围，用这个范围可以求出的取值范围，从而得到的最大值和最小值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：设，， 则得，解得， 得，解得， ， ， ，化简得，解得， ，化简得，解得， ， ，， ， 的最大值为，最小值为． 28. 在四边形中，，点是延长线上一定点． （1）尺规作图：在图中作线段的中点，连接交于点，作的平分线交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，点是线段上一动点，连接，平分． ①如图，当与重合时，求证：； ②如图，当在右侧时，与交于点，与有怎样的数量关系，并说明理由； ③当在线段上且不与、重合时，直线与直线交于点，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）如图， （2）①证明：， ， 平分，平分，与重合， ，， ， ； ②，理由如下： 如图，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ③． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作线段垂直平分线确定中点；连接交得点；再尺规作的角平分线，与交于，全程保留作图圆弧痕迹即可． （2）①由得到平行线等角，结合角平分线定义推导同位角相等，根据平行线判定定理证两直线平行． ②设交于点，先根据平行线性质、平角定义推导；再结合对顶角相等、三角形内角和得到，联立两式化简推导出两角倍数关系． ③在线段上时，重复运用平行线性质、平角、三角形内角和、对顶角、角平分线等量代换推导，直接得出两角倍数关系式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②略 ③当点在点的右侧时，由（）②可得； 当点在点的左侧时，如图，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $