27.1 二次函数的概念（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦二次函数概念这一核心知识点，系统梳理形如y=ax²+bx+c(a≠0)的一般形式及特殊形式，明确与一次函数的本质区分，构建从概念辨析到根据实际问题列表达式的学习支架，强调自变量取值范围的实际意义。 资料通过“特别提醒”“易错提醒”强化对a≠0等核心条件的理解，结合鸡场面积、宾馆定价等生活情境培养数学眼光中的抽象能力与模型意识，分层题型设计从基础辨析到迁移创新，助力课中教学效率提升，课后学生可通过随练与通关题查漏补缺，发展数学思维中的推理意识。

第二十七章 二次函数 27.1 二次函数 课标要点 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围。 学习重难点 重点：1.能判定一个函数是否为二次函数。 2.根据简单二次函数问题列出二次函数表达式。 难点：1.理解隐含条件(a≠0)这一核心条件。 2..结合实际问题挖掘隐藏等量关系，列出二次函数表达式。 知识点 二次函数的概念（重点） 1. 二次函数的概念 一我们把形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 二次函数的一般式 二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a，b是常数，a≠0) y=ax²+c(a，c是常数，a≠0) 特别提醒 二次函数辨析是针对整理化简后的函数表达式而言的. 易错提醒（1）a≠0 （2）ax²+bx+c必须是整式； 随学随练 1．下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点 根据实际问题列出二次函数表达式 根据实际问题列出二次函数表达的步骤 1) 认真审题，确定两个变量； 2) 寻找等量关系，用含x的代数式子表示y; 3) 写出自变量的取值范围。特别提醒 二次函数自变量一般取任意实数 易错提醒 在实际问题中的自变量取值一定要符合实际意义。 随学随练 如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 题型 二次函数的辨析 解题贴士 掌握二次函数的定义是解题的关键．一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数． ▌例1下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练2. 在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号） 题型 识别各项与系数 解题贴士 识别各项与系数时，一定要先将表达式化成一般形式，按降幂排列。 ▌例1 把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． ▌对点练1. 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） ▌对点练2. 下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) (为常数)． 题型 根据定义求参数 解题贴士 根据二次函数的定义，确定系数、次数中的字母取值. ▌例1 已知是二次函数，那么的值是________． ▌对点练1. 已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ ▌对点练2. 已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 题型 根据实际问题列出二次函数表达式 解题贴士 根据实际问题列二次函数表达式与列一次函数表示式的步骤相同，先确定两个变量，在找出等量关系式，用含x的代数式表示出y即可。 ▌例1 某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ ▌对点练1. 已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． ▌对点练2. 某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 题型 求二次函数表达式及有关计算 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）已知自变量的取值时可将其代入表达式求出函数值，已知函数值时亦可以求出相应的自变量的取值。 ▌例1 已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 ▌例2已知二次函数，当时，；当时，；当时，；a-b+c=________,a+b+c=________,c=_________. ▌对点练1. 二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 ▌对点练2-1. 已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … (1)求n的值和二次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求m的值． ▌对点练2-2. 已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 基础通关 1．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 5．（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 7．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 8．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 9．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 10．（25-26九年级上·浙江·期末）某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 素养提升 1．（25-26九年级上·上海青浦·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 3．（24-25八年级下·上海·阶段检测）下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）当________时，是二次函数． 5．（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 7．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 8．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 9．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 10．（2023·吉林松原·一模）如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 迁移创新 1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为． ①求与之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 二次函数 27.1 二次函数 课标要点 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围。 学习重难点 重点：1.能判定一个函数是否为二次函数。 2.根据简单二次函数问题列出二次函数表达式。 难点：1.理解隐含条件(a≠0)这一核心条件。 2..结合实际问题挖掘隐藏等量关系，列出二次函数表达式。 知识点 二次函数的概念（重点） 1. 二次函数的概念 一我们把形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 二次函数的一般式 二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a，b是常数，a≠0) y=ax²+c(a，c是常数，a≠0) 特别提醒 二次函数辨析是针对整理化简后的函数表达式而言的. 易错提醒（1）a≠0 （2）ax²+bx+c必须是整式； 随学随练 1．下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 知识点 根据实际问题列出二次函数表达式 根据实际问题列出二次函数表达的步骤 1) 认真审题，确定两个变量； 2) 寻找等量关系，用含x的代数式子表示y; 3) 写出自变量的取值范围。特别提醒 二次函数自变量一般取任意实数 易错提醒 在实际问题中的自变量取值一定要符合实际意义。 随学随练 如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 题型 二次函数的辨析 解题贴士 掌握二次函数的定义是解题的关键．一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数． ▌例1下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的定义是关键．形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数．根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、，属于二次函数，符合题意； 选项B、是正比例函数，不符合题意； 选项C、是一次函数，不符合题意； 选项D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． ▌对点练1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、当时，函数不是二次函数，故不符合题意； B、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故符合题意， 故选：D． ▌对点练2. 在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 题型 识别各项与系数 解题贴士 识别各项与系数时，一定要先将表达式化成一般形式，按降幂排列。 ▌例1 把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． ▌对点练1. 指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 ▌对点练2. 下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) (为常数)． 【答案】(1)不是二次函数，是一次函数 (2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数 (4)时，不是二次函数 【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4）时，不是二次函数． 题型 根据定义求参数 解题贴士 根据二次函数的定义，表达式中x的最高次项的次数为2，系数不为0. ▌例1 已知是二次函数，那么的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故答案为：． ▌对点练1. 已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）一般地，形如（，为常数）的函数，叫做一次函数，根据一次函数的定义进行作答即可． （2）形如 （为常数，且）的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义进行作答即可． 【详解】（1）解：若函数为一次函数， 则有， 解得， 所以，当时，此函数是一次函数； （2）解：若函数为二次函数， 则有， 解得且， 所以，当且时，此函数是二次函数． ▌对点练2. 已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】根据二次函数定义可得，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项。 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型 根据实际问题列出二次函数表达式 解题贴士 根据实际问题列二次函数表达式与列一次函数表示式的步骤相同，先确定两个变量，在找出等量关系式，用含x的代数式表示出y即可。 ▌例1 某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． ▌对点练1. 已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． ▌对点练2. 某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 题型 求二次函数表达式及有关计算 解题贴士 1）类比一次函数，求二次函数表达式的主要方法也是待定系数法。 2）已知自变量的取值时可将其代入表达式求出函数值，已知函数值时亦可以求出相应的自变量的取值。 ▌例1 已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B ▌例2已知二次函数，当时，；当时，；当时，；a-b+c=________,a+b+c=________,c=_________. 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． ▌对点练1. 二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 【答案】C 【分析】把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可． 【详解】把代入， 得 ， 整理得，， 解得，， ∴对应的自变量的值是或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键． ▌对点练2-1. 已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … (1)求n的值和二次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)， (2)3或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数图像的性质，求二次函数值或自变量的值，对于（1），根据表格确定对称轴，由抛物线的对称性得出n，再根据待定系数法求出关系式； 对于（2），令，求出一元二次方程的解即可. 【详解】（1）解：根据图表可知： 二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∵的对称点为， ∴ 设， 将和代入得 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）点Q能在该函数图象上， 把代入，得． 解得或. ∴m的值是3或． ▌对点练2-2. 已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是代入后正确的计算， （1）将给定的自变量值代入函数表达式，通过计算即可得到对应的函数值； （2）把给定的函数值代入函数表达式，得到一个关于自变量的一元二次方程，然后通过因式分解等方法求解方程的根，即自变量的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，函数的值为2； （2）解：当时，即， 解得，或， ∴当函数值为2时，自变量x的值为或． 基础通关 1．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、当时，函数不是二次函数，故不符合题意； B、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故符合题意， 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数是二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 5．（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 6．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）已知是y关于x的二次函数，那么t的值是_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 7．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 9．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 10．（25-26九年级上·浙江·期末）某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 素养提升 1．（25-26九年级上·上海青浦·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，，为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．当时是一次函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．是一次函数，故不符合题意 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如，，为常数，的函数叫做二次函数． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若函数是关于x的二次函数，则（）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项的次数为2且二次项不能为0是解题的关键． 根据二次函数的定义列方程计算即可． 【详解】解：由题意：根据二次函数的定义可得： ．解得：． 故选A． 3．（24-25八年级下·上海·阶段检测）下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】依次对每个命题，依据相关数学定义、性质判断正误，统计正确命题个数．本题主要考查二元二次方程的解、四边形面积与对角线的关系、必然事件与不可能事件的判定、二次函数的定义，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）当________时，是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 5．（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【答案】 1 【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键； （1）根据正比例函数的定义求解； （2）根据二次函数的定义求解； （3）根据反比例函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）已知关于的函数． (1)若该函数为二次函数，求的值； (2)若该函数为一次函数，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念，熟练掌握其概念并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）根据二次函数的概念得，且，求解即可； （2）根据一次函数的概念得且，，求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，且， 解得 ∴时，该函数为二次函数； （2）解：依题意，当首项次数为1，且合并同类项后一次项系数不为零时， 且， 解得， 当首项系数为零时，， 解得和， 综上，，和时，该函数为一次函数． 7．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）解：∵， ∴是的二次函数； （3）解：由题意得：自变量的取值范围是． 8．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)23米 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 9．（2025·湖北孝感·一模）某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 10．（2023·吉林松原·一模）如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】当点在上时，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，从而可得，所以可得； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知，当时，重叠部分的面积为的面积；当时，重叠部分的面积为 等腰梯形的面积；当时，重叠部分的面积为 五边形的面积．分情况求出与之间的函数关系式即可； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知：的中点运动的路径为线段，利用勾股定理求出矩形的对角线的长度即可． 【详解】（1）解：如下图所示，当点在上时， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 故答案为； （2）解：当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为的面积， 是等腰直角三角形， 点到边上的高为， ； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 等腰梯形的面积， 是等腰直角三角形，， ， 在中，， ， ， ， 整理得：； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 五边形的面积， 此时， ， ， 整理得：； 综上所述，与之间的函数关系式是； （3）解：如下图所示， 当点在上时，， ， ， ， 点是的中点， 的中点运动的路径为线段， ， 点 移动的距离． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，求分段函数关系式，勾股定理等，解决本题的关键是要利用分类讨论的思想分情况求关系式． 迁移创新 1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式； 【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为． ①求与之间的函数解析式； ②当最小时，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据四边形为正方形，边长为6，得出，结合，表示出，，根据点 G 为 边的中点，得出，根据五边形的面积求解即可． （2）①如图，过点P作，在菱形中，，，，，证明是等边三角形，得出，证明，得出，则，根据，得出，，，求出，即可求解． ②根据，，得出当时，最小，此时，点共线，结合四边形是菱形，得出，求出，代入①中解析式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形，边长为6， ， ， ，， ∵点 G 为 边的中点， ， ， ， ， ∴五边形的面积 ． 即． （2）①如图，过点P作， 在菱形中，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， 即． ②∵， ∴， 则最小时，最小， 当时，最小，此时，点共线， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定以及函数解析式等知识，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $