限时作业（四）（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案限时作业（人教版·新教材）

**基本信息** 聚焦二次函数，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到动态应用的知识进阶，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、图像平移、基本性质|选择1-3直接考查定义与平移，填空9-10强化解析式书写与函数值比较| |中档|图像性质综合、对称性应用|选择4-7结合图像判断系数与顶点，填空11-12渗透二次函数对称性| |提升|动态几何与参数探究|解答15动态点平移与抛物线交点问题，体现模型意识与运算能力|

限时作业（四） 一、选择题 1. 下列函数中，是二次函数的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 抛物线与x轴有两个交点，则c的值可能为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 4. 已知抛物线如图所示，有下列命题：①；②对称轴为直线；③若抛物线经过点，则；④顶点坐标是．其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( ) A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6 二、填空题 9. 写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______． 10. 若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______________． 11. 坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点，均在轴上，且有一条水平线与两图象相交于，，，四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度为______ ． 12. 如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． 三、解答题 13. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出其对称轴和顶点坐标． （2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 14. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，C是抛物线的顶点，的顶点D在y轴上． （1）求a的值； （2）若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 15. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 限时作业（四） 一、选择题 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：①，是二次函数，符合题意； ②，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ③，是二次函数，符合题意； ④，不符合二次函数的定义，不是二次函数； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如：这样的函数是二次函数是解题的关键． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握二次函数图形的平移规律是解答本题的关键，“二次函数图形的平移规律是左加右减，上加下减”，据此规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即， ∴平移后的二次函数的顶点坐标为， 故选：D． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线与x轴有两个交点，即即可求出c． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 解得， ∴选项A符合题意． 故选：A． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象和二次函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：由抛物线开口向上知，故①是真命题； ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，故②是真命题； ∵，线开口向上，对称轴为直线， ∴，故③是假命题； ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标是，故④是真命题； ∴真命题有：①②④，共3个； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，以及二次函数相关的性质，解题的关键是掌握二次函数相关的性质． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有 A．若，则，原说法错误； B．若，则，原说法错误； C．若，则，原说法错误； D．若，则，原说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质． 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】因为已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，再利用所求抛物线与的图象开口大小相同，可确定a的值，从而得到这条抛物线解析式． 【详解】解：设抛物线解析式为：， ∵所求抛物线与的图象开口大小相同， 且最大值为-5，则开口向下 ∴a=， ∴这条抛物线解析式为：． 故答案为B． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程方程的关系、判断点所在象限等知识点，根据二次函数的图象判断出的符号是解题的关键． 先根据二次函数的图象及性质判断a、b、c的符号，进而确定的正负；再根据抛物线与x轴有两个交点，则，进而确定点所在的象限． 【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴，即； ∵抛物线交y轴于负半轴， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴点在第一象限． 故选A． 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑： 当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论； 当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在； 当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】解：如图， 当h＜2时，有-（2-h）2=-1， 解得：h1=1，h2=3（舍去）； 当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意； 当h＞5时，有-（5-h）2=-1， 解得：h3=4（舍去），h4=6． 综上所述：h的值为1或6． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键． 二、填空题 【9题答案】 【答案】答案不唯一，例如： 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由抛物线开口向下可知，且过点，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线开口向下可知，且与y轴交于点，因此符合条件的抛物线表达式可以为； 故答案为（答案不唯一）． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称性和增减性是解题的关键，可通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 又， ． 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由，，的长度及抛物线的对称性可得点与点，点与点的横坐标之差，再利用即可求解； 【详解】解：，， ∴, ∴， ，， ， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的对称性，利用横坐标的差表示特殊线段长度，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解． 【12题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键． 三、解答题 【13题答案】 【答案】（1），顶点坐标为，对称轴． （2）图见解析．由图象可知：当时，自变量x的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）根据配方法，可以将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可写出顶点坐标； （2）先求出抛物线的顶点坐标，与轴的两个点，及其它的两个点，然后即可画出相应的函数图象；根据函数图象，可以直接写出当函数值时，自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：． ∴该函数的对称轴为，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表： 图象如图所示： 由图象可知：当时，自变量x的取值范围为． 【14题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线得到点，易得，在平行四边形中，根据平行四边形的性质，且，根据点A和点B关于对称，进而得到，代入即可得出a值； （2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再根据抛物线的平移特点，可设平移后抛物线的解析式为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点A、B，C是抛物线的顶点， ， ∵四边形是平行四边形， 且， 抛物线对称轴为直线， ； 将代入抛物线中得：， 解得：； 【小问2详解】 解：设平移后抛物线解析式为， ， 将代入得：， 解得：， 平移后抛物线解析式为． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【15题答案】 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【解析】 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $