专练22 二次函数综合（二）抛物线与平行四边形（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

**基本信息** 聚焦抛物线与平行四边形存在性问题，通过分类讨论构建系统性解题方法，强化二次函数与几何性质的逻辑推导。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线与平行四边形存在性|1道示范题|分类讨论平行四边形构成（以AC为边或对角线），利用坐标关系列方程求解|二次函数解析式（待定系数法）→对称轴→平行四边形性质（坐标关系）的推导应用，培养推理意识与几何直观|

专练22 二次函数综合（二） 抛物线与平行四边形 典例导练 示范题 1. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 专练22 二次函数综合（二） 抛物线与平行四边形 典例导练 示范题 【1题答案】 【答案】（1）y＝x2x+2；（2）存在，点M的坐标为（2，）或（﹣4，）或（﹣2，2）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和AB=4，得出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分①当四边形ACMN为平行四边形，②当四边形ACNM为平行四边形，③当四边形AMCN为平行四边形，三种情况根据平行四边形的性质得出方程计算即可. 【详解】解：（1）∵矩形OBDC的边CD＝1， ∴OB＝1， 由AB＝4，得OA＝3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点， ∴a+b+2=0，9a－3b+2=0， 解得：a=，b=， ∴抛物线解析式为y＝x2x+2； （2）以AC为边或对角线分类讨论： A（﹣3，0），C（0，2）， 抛物线y＝x2x+2的对称轴为x＝﹣1， 设M(m， yM)，N(－1，n)，yM=m2m+2 ①当四边形ACMN为平行四边形时， 有：， 解得：m=2，yM=，即M(2，)； ②当四边形ACNM为平行四边形时， 有：， 解得：m=－4，yM=，即M(－4，)； ③当四边形AMCN为平行四边形时， 有：， 解得：m=－2，yM=2，即M(－2，2)； 综上所述，点M的坐标为（2，）或（﹣4，）或（﹣2，2）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形和矩形的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的方法解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $