专练17 数形结合（三）分析一元二次方程的根（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

**基本信息** 该专项以数形结合为核心方法，系统构建二次函数图象与一元二次方程根的转化逻辑，通过函数交点分析根的个数与范围，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例导练|1道示范题（2问）|函数图象转化法：将方程根问题转化为函数交点问题，通过画图象分析交点个数与参数范围|二次函数与一元二次方程的关系（根即交点横坐标）→几何直观分析交点→推理根的情况| |知能检测|2道选择（第2、3题）|方程与函数关系应用：利用函数图象比较根的大小、确定参数取值范围|二次函数性质（对称轴、增减性）→方程解的存在性→参数范围推理|

专练17 数形结合（三） 分析一元二次方程的根 典例导练 示范题 1. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线与交于点Q，线段的长记为d． （1）求d关于m的函数解析式． （2）根据d的不同取值试探索点P的个数情况． 知能检测 2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，，，是方程的两个根，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 专练17 数形结合（三） 分析一元二次方程的根 典例导练 示范题 【1题答案】 【答案】（1） （2）①时，点P的个数为1；②时，点P的个数为2；③时，点P的个数为3 【解析】 【分析】（1）利用点、两点的坐标求出直线的解析式，由可求点的坐标，进而求解即可； （2）运用数形结合思想，画出（1）中关于的函数图象，转化为求直线与抛物线在范围内的交点个数． 【小问1详解】 解：令得，解得 ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴ 设直线的解析式为，将，代入 得，解得 ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，代入抛物线解析式可得， ∵且与相交， 故，解得 ∴ ∴ 当时，， 当时，， 综上所述，． 【小问2详解】 解：当时，为开口向下的抛物线，顶点为， 当时，为开口向上的抛物线，在区间内单调递减，最大值趋向于； 图像如图所示 ∴①当时，两段抛物线各有两个和一个解，总共个点； ②当时，两段抛物线各有一个解，总共个点； ③当时，仅开口向上的抛物线有解，总共个点； 综上所述，①时，点的个数为；②时，点的个数为；③时，点的个数为． 知能检测 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及与方程的关系．根据二次函数与一元二次方程的关系，方程化为，即二次函数与的交点横坐标分别为，，数形结合即可解答． 【详解】解：， 可化为， ，是方程的两个根， 二次函数与的交点横坐标分别为，，如图： 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， ． 故选：D． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $