第28章 专题九 与旋转有关的几何类比探究题（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 以“猜想-探究-应用”三阶训练构建旋转几何问题解决体系，聚焦全等构造与动态推理，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转类比探究|2道综合题|构造全等三角形（SAS/ASA）、辅助线添加（连中点/作垂线）、旋转不变性应用|从等腰直角三角形/正方形性质出发，通过旋转角转化证全等，建立静态到动态的逻辑链，结合勾股定理解决最值问题|

专题九 与旋转有关的几何类比探究题 1. 【猜想】　如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ； 【探究】　如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）．试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论； 【应用】　在图2中，BC＝DE＝4.当AE取最大值时，AF的值为多少？ 2. 已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于B，连接CB． （1）问题发现：如图①，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则容易发现BD与EA之间的数量关系为　 ，BD，AB，CB之间的数量关系为　 　； （2）拓展探究：当MN绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段BD，AB，CB之间的数量关系，并证明． （3）解决问题：当MN绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线MN的两侧），若此时∠BCD=30°，BD=2，则CB= 　 ． 专题九 与旋转有关的几何类比探究题 【1题答案】 【答案】【猜想】　BG＝AE；【探究】成立，证明详见解析；【应用】　2. 【解析】 【猜想】：由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论； 【探究】如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论； 【应用】可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论． 【详解】解：【猜想】　如图1， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=CD=AD， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵四边形DEFG是正方形， ∴DE=DG． 在△BDG和△ADE中， , ∴△ADE≌△BDG（SAS）， ∴BG=AE． 故答案为：BG=AE； 【探究】成立，BG＝AE.理由如下： 如图2，连接AD. ∵在Rt△BAC中，D为斜边BC的中点， ∴AD＝BD，AD⊥BC. ∴∠ADG＋∠GDB＝90°. ∵四边形EFGD为正方形， ∴DE＝DG，且∠GDE＝90°. ∴∠ADG＋∠ADE＝90°. ∴∠BDG＝∠ADE. 在△BDG和△ADE中， ∴△BDG≌△ADE（SAS）． ∴BG＝AE. 【应用】∵BG＝AE， ∴当BG取得最大值时，AE取得最大值． 如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE. ∵BC＝DE＝4， ∴BG＝2＋4＝6. ∴AE＝6. 在Rt△AEF中，由勾股定理，得 AF＝＝＝2. 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【2题答案】 【答案】（1）BD=AE，BD+AB=CB；（2）BD-AB=CB；证明见解析；（3）BC=-． 【解析】 【分析】（1）过点C作CE⊥CB，得到∠BCD＝∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，AC＝BD，CE＝BC进而可得△ECB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （2）过点C作CE⊥CB于点C，继而判断出△ACE≌△DCB，进而可得△ECB是等腰直角三角形，继而根据等腰直角三角形的性质和等量代换即可求证结论； （3）过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，先判断△ACE≌△DBC，AC＝BD，CE＝BC得到△BCE是等腰直角三角形，过点D作DH交CB的延长线于点H，继而得到BD＝BH＝2，再利用三角函数值和线段的和差即可求解． 【详解】（1）如图所示，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E， ∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°， ∴∠ACE＝90°－∠ACB，∠BCD＝90°－∠ACB ∴∠ACE＝∠BCD， ∵BD⊥MN ∴在四边形ACDB中，∠BAC＋∠ACD＋∠ABD＋∠D＝360°， ∴∠BAC＋∠D＝180° ∵∠BAC＋∠CAE＝180° ∴∠CAE＝∠D， ∵AC＝AD 在△ACE和△DBC 中 ∴△ACE≌△DBC（ASA） ∴AE＝BD，CE＝CB ∵∠ECB＝90° ∴△ECB是等腰直角三角形 ∴BE＝ CB ∵BE＝AE＋AB＝BD＋AB BD＋AB＝ CB （2）线段BD，AB，CB之间的数量关系为：BD－AB=CB 证明：如图所示，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E， ∴∠ACE＝90°＋∠ACB， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°＋∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵BD⊥MN ∴∠CAE＝90°－∠AFB，∠D＝90°－∠CFD， ∵∠AFB＝∠CFD ∴∠CAE＝∠D， ∵AC＝CD ∴△ACE≌△BCD（ASA） ∴AE＝BD，CE＝BC， ∵∠BCE＝90° ∴△BCE是等腰直角三角形 ∴BE＝BC ∴BE＝AE－AB＝BD－AB ∴BD－AB＝BC， （3）如图所示，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90－DCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∵BD⊥MN ∴∠CAE＝90°－∠AFC，∠BDF＝90°－∠BFD， ∵∠AFC＝∠BFD ∴∠CAE＝∠BDF， ∵AC＝CD ∴△ACE≌△BCD（ASA） ∴AE＝BD，CE＝BC， ∵∠BCE＝90° ∴△BCE是等腰直角三角形 ∴BE＝BC ∴BE＝AB－AE＝AB－BD ∴AB－BD＝BC， ∵△BCE是等腰直角三角形 ∴∠BEC＝∠EBC＝45°, ∵∠ABD＝90° ∴∠DBH＝45° 过点D作DH交CB的延长线于点H， ∴△BDH是等腰直角三角形 ∴BD＝BH＝2， ∴BH＝DH＝， 在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝， ∴CH＝DH＝ ∴BC＝CH－BH＝－ 【点睛】本题是几何变换综合题，涉及到全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等，解题的关键是正确作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $