第27章 专题八 反比例函数与几何问题的结合（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 聚焦反比例函数与几何结合，以k的几何意义为核心，构建从基础应用到综合图形的方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |类型一：k的几何意义|6题（含中考题）|面积与|k|关系、面积代换|从k的几何意义基础（三角形、矩形面积）到多函数综合| |类型二：与几何图形综合|6题|几何图形性质（等腰、平行四边形等）与k的转化|从单一图形到复杂图形（菱形、坐标系综合），体现概念应用拓展|

专题八 反比例函数与几何问题的结合 类型一 反比例函数与面积——k的几何意义 1. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为1，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A. B. C. D. 3. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是________． （山西中考） 4. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为_______． 5. 如图，已知直线与反比例函数和交于A、B两点，与y轴交于点C，若，则________． 6. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与、交于点D、E，若四边形的面积为9，求k的值． 类型二 反比例函数与面积——与几何图形的综合 7. 已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则=_______． 8. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________． 9. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过点，，过点B作y轴的垂线，垂足为C，连接，． （1）该反比例函数的解析式为________________． （2）当的面积为4时，点B的坐标为________． 10. 如图，过反比例函数图象上的四点，，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，，再过，，，分别作轴，，，的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为，，，，，则与的数量关系为_____________． 11. 如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论： ① ②当时， ③ ④ 则所有正确结论的序号是_____________． 12. 如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，四边形是平行四边形，，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点，轴，轴，垂足为，． （1）求反比例函数解析式； （2）若点为边的中点，求的长和点的坐标； 专题八 反比例函数与几何问题的结合 类型一 反比例函数与面积——k的几何意义 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到关于的方程，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：轴， ， 解得：， 又， ． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，即可得到结论． 【详解】解：∵点为反比例函数上不同的三点， 轴， 垂直轴于点， ∴， ∵， ∴，（故B正确、故A.C错误） ∵ ∴，即D错误. 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【3题答案】 【答案】 【解析】 【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，如图， ∵AB⊥x轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， 而S△OAB＝|k|， ∴|k|＝3， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． （山西中考） 【4题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数k值的几何意义得到矩形OCPD的面积为3，△ODB的面积和△OAC的面积为，然后列等式即可求解k． 【详解】∵C2：y＝过A，B两点，C1：y＝过P点， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟知反比例函数k值的几何意义． 【5题答案】 【答案】 【解析】 【分析】作轴于，轴于，先证明得到，再利用面积代换得到，然后根据反比例函数比例系数的几何意义进行计算． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， 在和中， ， ， ， = ． 【6题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，根据点为矩形对角线的交点，可得点的坐标为，点在反比例函数图象上，则，然后根据反比例函数的几何意义，结合矩形的面积公式，得到关于的方程，由此即可求出，即为的值． 【详解】解：设点坐标为， ∵点为矩形对角线的交点， ∴点的坐标为，则， ， ∵， ， ∴，即． 类型二 反比例函数与面积——与几何图形的综合 【7题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB即可． 【详解】过点A作AC⊥OB于点C， ∵AO=AB， ∴CO=BC， ∵点A在的图象上， ∴AC×CO=3， ∴AC×BC=3， ∴S△AOB=6． 故答案为：6． 【8题答案】 【答案】8 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k与几何面积的关系，列方程可以直接求出k 的值． 【详解】解：过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E， 则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半， 根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程： ， 解得：， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数k与几何面积的关系，熟悉反比例函数系数k代表的几何意义是解题关键． 【9题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法直接代入求解即可； （2）利用代入法直接可得到、的关系，然后根据三角形的面积表示出、即可得到的坐标． 【详解】解：（1）∵反比例函数（，）的图象经过点， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵点在的图象上， ∴， 又∵， ， ∴， ∴点B的坐标为． 【10题答案】 【答案】． 【解析】 【分析】设=m，则O=2m，O=3m，O=4m，由点，，，都在反比例函数图象上，可求得，，，，根据矩形的面积公式可得，，，，由此即可得． 【详解】设=m，则O=2m，O=3m，O=4m， ∵点，，，都在反比例函数图象上， ∴，，，， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得、、、是解决问题的关键． 【11题答案】 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误． 【详解】直线， 当时，， ， ， 四边形是菱形， ， A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D， 在中，， ，故①错误； 在双曲线上， ， ， 当时，，故②正确； ， ， 点B在直线上， ， ， ，故③正确； ，故④错误； 综上，正确结论的序号是②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【12题答案】 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）根据含30度角的直角三角形的性质，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平行四边形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而得到的纵坐标，代入解析式求出点的横坐标，进而得到的长，进而求出的长，根据平行四边形的性质，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $