26.4 第2课时 二次函数与商品利润（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 本练习以“二次函数与商品利润”为核心，通过基础达标、能力提升、思维拓展三层设计，构建从单一知识点应用到综合情境问题解决的巩固路径，培养数学抽象、模型应用与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|利用二次函数求利润最大值|选择与简单解答结合本土素材（如湖北排骨藕汤），强化核心公式应用| |能力提升|多变量利润关系及实际约束|含数据表格（消毒液销售）、双变量问题（A/B快餐利润），提升综合建模能力| |思维拓展|图像分析与复杂情境应用|结合销售量限制、公益捐款，融入图像信息，培养问题解决与创新意识|

第2课时 二次函数与商品利润 01 基础达标 知识点 利用二次函数求商品利润的最大值 1. 某种设备的销售利润(万元)与销售数量(万件)之间满足函数解析式 则利润的（ ） A. 最大值为万元 B. 最大值为万元 C. 最小值为万元 D. 最小值为万元 2. 某旅行社要组团去外地旅游，经计算所获营业额y（元）与旅行团人数x（人）满足关系式，要使所获营业额最大，则此旅行团应有（ ） A. 30人 B. 40人 C. 50人 D. 55人 3. 某种商品的成本是元，试销阶段每件商品的售价（元）与产品的销售量（件）满足当时，，当时，，且是的一次函数，为了获得最大利润（元），每件产品的销售价应定为（ ） A. 160元 B. 180元 C. 140元 D. 200元 4. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售100件，据统计，一件工艺品每降1元销售，则每天可多售4件，要使每天获得利润最大，每件需降价的钱数为（ ） A. 4元 B. 5元 C. 8元 D. 10元 易错点 求最值时忽略自变量的取值范围 [新考法・本土素材] 5. 排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45元；若每罐以60元销售，平均每天可销售40罐；价格每降低1元，平均每天多销售10罐；若设每罐降价x元（x为整数），每天的销售量为y罐． （1）直接写出每天销售量y与x之间的函数关系式 ；（不写x的取值范围） （2）若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定价为多少元? （3）为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56元，不得低于47元，求该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润． 02 能力提升 6. 某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（　　） A. 252元/间 B. 256元/间 C. 258元/间 D. 260元/间 7. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元． 8. 去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：，下表是某4个月的销售记录．每月销售量（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系． 月份 … 二月 三月 四月 五月 … 销售价x（元件） … 6 7 7.6 8.5 … 该月销售量y（万件） … 30 20 14 5 … （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？ （3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴） 03 思维拓展 9. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示. （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围. 第2课时 二次函数与商品利润 01 基础达标 知识点 利用二次函数求商品利润的最大值 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数一般式化为顶点式的方法，二次函数顶点是的特点是解题的关键．将二次函数一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：二次函数解析式为： ， ∵， ∴函数图象开口向下，有最大值，且当，函数的最大值为， ∴最大值为万元， 故选：B ． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴当x=50时，y取最大值30900，即要使所获营业额最大，则此旅行团应有50人， 故选C. 【点睛】本题考查的是二次函数的最值的求法，掌握二次函数的性质和配方法是解题的关键． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】把x=130时，y=70，当x=150时，y=50，代入一函数解析式y=kx+b，进而得出y与x的关系式；利用利润=销量×每件利润，进而利用配方法求出函数最值． 【详解】设y=kx+b,将(130,70),(150,50)代入得： 即， 解得：， ∴y与x之间的一次函数关系式为：y=−x+200； 销售利润为S，由题意得： S=(x−120)y=−+320x−24000=−+1600， ∴售价为160元/件时，获最大利润1600元. 故选A. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用配方法求出函数最值是解题关键. 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】设每件降价的钱数为元，每天获得的利润为元，根据“每天总利润=每件的利润×每天的销售量”列出关于的二次函数，再利用二次函数的性质求出利润最大时的值即可. 【详解】解：设每件需降价元，每天获利元. ∵ 每件利润为元，每天销售量为件 ∴ 整理得： 配方得： ∵ ，二次函数开口向下 ∴ 当时，取得最大值，即每天利润最大. 故每件需降价元. 易错点 求最值时忽略自变量的取值范围 [新考法・本土素材] 【5题答案】 【答案】（1） （2）53元 （3）900元 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，根据已知条件列出函数表达式是解题的关键． （1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定的取值范围，再列出利润的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【小问1详解】 解：设每罐降价x元，则平均每天多销售罐， 因此每天的销售量y与x之间的关系式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 当时，每罐排骨藕汤的定价为元， 为了让消费者获得更多实惠， 则每罐排骨藕汤的定价为元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得， 设商店销售排骨藕汤的总利润为w元， 则， 由于， 则抛物线开口向下， 由于对称轴为直线，且x为整数， 当或时，w取最大，w的最大值为元， 则该商家平均每天销售这种排骨藕汤的最大利润为900元． 02 能力提升 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况． 【详解】设每天的利润为W元，根据题意，得： W=（x-28）（80-y）-5000 ， ∵当x=258时，，不是整数， ∴x=258舍去， ∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元， 又∵想让客人得到实惠， ∴x=260（舍去） ∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值． 【7题答案】 【答案】1264 【解析】 【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可． 【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份． 据题意：， ， ∴， ∵， ∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元， 故答案为：1264． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点． 【8题答案】 【答案】（1）；（2）4万元；（3）当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得； （2）将代入求出的值，代入与的函数关系式求出该月的销售量，再利用乘以该月的销售量即可得； （3）设该月纯收入为万元，先根据纯收入的计算公式求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：（1）设与的函数关系式为， 将点代入得：，解得， 则与的函数关系式为； （2）当时，， ， 则（万元）， 答：政府该月应付给厂家补贴4万元； （3）设该月纯收入为万元， 由题意得：， 整理得：， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为32， 答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键． 03 思维拓展 【9题答案】 【答案】（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元. 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润； （3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围． 【详解】（1）由题意得： ． 故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700， （2）由题意，得 -10x+700≥240， 解得x≤46， 设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700）， w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0， ∴x＜50时，w随x的增大而增大， ∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600， -10（x-50）2=-250， x-50=±5， x1=55，x2=45， 如图所示，由图象得： 当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $