26.4 第1课时 二次函数与图形面积（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 本同步练以“二次函数与图形面积”为核心，通过基础达标、能力提升、思维拓展三层设计，构建从单一知识点应用到综合建模的巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|图形面积最大问题及易错点|以矩形、梯形面积为情境，设置选择、填空及解答题，强化函数建模基础，突出自变量取值范围易错点| |能力提升|动点问题、复杂图形面积|结合矩形动点、三角形运动等综合情境，通过函数图像分析、最值计算深化推理能力| |思维拓展|实际问题建模与方案设计|以柯尔鸭鸭圈为真实情境，融合多方案评估与面积最值探究，发展应用意识与创新思维|

26.4 实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与图形面积 01 基础达标 知识点 图形的面积最大问题 1. 用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为12m，则该梯形储料场的最大面积是______． 3. 如图所示正方形区域是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形)其中米，且.则当的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大? 易错点 求最值时忽略自变量的取值范围 4. 如图，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设平行于墙的长度为，隔离区的面积为． （1）S关于x的函数解析式为_________．（并写出自变量的取值范围） （2）求隔离区面积的最大值． 02 能力提升 5. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接分别是上的点，且的面积为y，的长为x，则y关于x的函数关系式的图象大致是（　 ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　） A. B. C. D. 7. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为________ m2 ． 8. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． （1）若花园的面积为，求S与x的关系式． （2）若在P处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），试求出x的取值范围，并求出此时花园面积S的最大值． 03 思维拓展 [新考法·建模与应用] 9. 为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为米，鸭圈垂直于墙的一边的长为米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备） 设计方案 小成 小韩 小林 （米 的长（米） （ ） （ ） （ ） （1）用含，的代数式表示鸭圈另一边长　　米． （2）若固定不变． ①若要求鸭圈面积为10平方米，求的值． ②小成、小韩和小林根据的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱． ③请通过上述探究，直接写出的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值． （3）若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？ 26.4 实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与图形面积 01 基础达标 知识点 图形的面积最大问题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为，宽为， 故， ∴． ∴当时，S最大值为． 故选：C． 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点E，则四边形为矩形，设，，，则，由直角三角形的性质和特殊角三角函数解直角三角形得出，由梯形的面积公式得出面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设的长为，则， 如图，过点C作于点E， 则四边形为矩形， 设， ， ∵， ∴， 在中， ，， ， ∴， ∴当时，面积有最大值为． 【点睛】本题考查梯形的性质，矩形的性质，含30角的直角三角形的性质，用特殊角的三角函数解直角三角形，二次函数的应用-图形面积问题，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键． 【3题答案】 【答案】当米时，市民健身活动场所的面积达到最大. 【解析】 【分析】易证：都是等腰直角三角形，设米，则米，得到：，即可得到答案 【详解】四边形是正方形， . ， ， 都是等腰直角三角形； 设米，则米. 设四边形的面积为， ∴ . . ， ∴当时，有最大值为. 答：当米时，市民健身活动场所的面积达到最大. 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意，列出二次函数的解析式，是解题的关键. 易错点 求最值时忽略自变量的取值范围 【4题答案】 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）设平行于墙的长度为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式即可求出，根据题意可得自变量的取值范围； （2）通过二次函数的性质，根据取值范围确定最值，即可求解． 【小问1详解】 解：设平行于墙的长度为，则隔离区的另一边为， ， ∵隔离区一面靠长为的墙， ． 【小问2详解】 解：是开口向下的抛物线，对称轴是直线， 在内，随着的增大而增大， ∴当时，． 02 能力提升 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，以及求二次函数最值的方法． 证明为等边三角形，利用，即可求解． 【详解】解：∵为的中点，则， 在中，，则， 同理可得， 故为等边三角形，则， ，则， 在中，过点作于点， 则， 则， 该函数为开口向下的抛物线，时，y的最大值为， 故选：D． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 【7题答案】 【答案】75 【解析】 【详解】解：首先设垂直于墙面的长度为x，则根据题意可得：平行于墙面的长度为（30－3x）， 则S=x（30－3x）=－3+75， 则当x=5时，y有最大值，最大值为75， 即饲养室的最大面积为75平方米. 故答案为：75. 视频 【8题答案】 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积公式，用含的式子表示，进而写出面积与的关系式； （2）根据树的位置确定的取值范围，再结合二次函数的单调性求面积最大值． 【小问1详解】 解：因为篱笆总长为，且 ，所以  花园的面积 所以与的关系式为   【小问2详解】 解：要将点围在花园内，点到墙的距离为，所以矩形的边 即，解得  点到墙的距离为，所以矩形的边  即 所以，的取值范围是 面积函数是一个开口向下的二次函数，其对称轴为 在范围内，函数随的增大而增大 因此，当时，取得最大值 所以，此时花园面积的最大值为195 03 思维拓展 [新考法·建模与应用] 【9题答案】 【答案】（1） （2）①或；②；小韩；③，； （3）鸭圈面积不能达到24平方米，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式和代数式求值： （1）（1）根据题意和图形，可以用含a的代数式表示出的长即可； （2）①先求出，再利用矩形面积公式建立方程求解即可；②根据（1）所求代值计算即可；③先求出，再利用矩形面积计算公式用含a的式子表示出矩形面积，再利用二次函数的性质求解即可； （3）令时，则，求出a的范围和函数解析式，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：（米）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意得， ∴， 解得：或； ②当时，，不合题意， 同理可得：时，符合题意，时，，不合题意， ∴小韩的方案更为靠谱； ③由题意得：，即， 解得：， 设鸭圈面积为平方米， 则， ，故有最大值， 当时，的最大值为：； 【小问3详解】 解：当时，， ∵， ∴ 设鸭圈面积为平方米， 则， ，对称轴为：直线， 当时，的最大值为， ∴鸭圈面积不能达到24平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $