第25章 一元二次方程 章末核心考点与素养提升（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 以考点为纲构建“概念-解法-应用”完整逻辑链，通过三阶训练系统提炼定义辨析、根的判别、实际建模等核心方法，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分点突破|4考点8题|定义隐含条件分析、配方法/因式分解法、根与系数关系应用|从概念到解法再到几何/实际应用，形成知识闭环| |真题演练|5中考题|跨学科问题转化、利润模型构建|对接中考高频题型，强化方法迁移能力| |素养提升|1探究题|虚数概念拓展|延伸知识边界，培养创新意识|

章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 一元二次方程的有关概念 1. 若方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x的一元二次方程，则a的值是_____. 2. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值为________． 考点二 一元二次方程的解法 3. 解方程 （1）． （2）． 考点三 一元二次方程根的判别及根与系数的关系 4. 下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. （1）已知方程的两根为，，则________． （2）关于x的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是________． （3）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______________． 6. 已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？ （2）若，求m的值． 考点四 一元二次方程的应用 7. 某种产品原来每台售价m元，经过两次降价后，现在每台的售价比原来减少了19%，假设两次降价的百分率均相同，则降价率为 _____． 8. 某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米 （1）饲养场的长为________米（用含a的代数式表示） （2）若饲养场的面积为288，求a的值 02 真题演练 （山东中考） 9. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. （呼和浩特中考） 10. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 11. 对于实数a，b，c，d，定义如下运算，例如，则的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 12. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为________． 13. “抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） （2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元? 03 素养提升 14. 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则______；（2）方程的两根为________．（根用表示）． 章末核心考点与素养提升 01 分点突破 考点一 一元二次方程的有关概念 【1题答案】 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义列方程求出a的值即可. 【详解】∵方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x的一元二次方程， ∴-1=2，且a-3≠0， 解得：a=-3， 故答案为：-3 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程；一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，熟练掌握定义是解题关键，注意a≠0的隐含条件，不要漏解. 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 整理得：， 解得：， ∵，即， ∴， 故答案为： 考点二 一元二次方程的解法 【3题答案】 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为一元一次方程来求解； （2）方程移项后，左边利用提公因式分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， 解得：，． 考点三 一元二次方程根的判别及根与系数的关系 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出∆＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2），然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：2x2﹣5x﹣2＝0， 因为Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】此题考查利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，正确掌握计算公式及一元二次方程的根的三种情况是解题的关键． 【5题答案】 【答案】 ①. 13 ②. ③. 且 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）利用根与系数的关系即可求出另外一个根； （3）由一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式，，继而可求得的范围． 【详解】解：（1）∵方程的两根为，， ，， ； （2）设方程的两根为，， 则， ∵一个根是， ， 解得：，即另一个根是； （3）∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ， 的范围是：且． 【6题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，构建方程，解方程即可． （2）利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 四边形为菱形，则方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 所以当时，四边形为菱形． 【小问2详解】 ∵、的长是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，用转化的思考思考问题． 考点四 一元二次方程的应用 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设降价率为x，由题意：经过两次降价后，现在每台的售价比原来减少了，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设降价率为x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【8题答案】 【答案】（1）；（2）12 【解析】 【分析】（1）用总长减去后加上三个1米宽的门即为所求； （2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意的范围讨论． 【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米， ∴饲养场的长为， 故答案为：； （2）根据（1）的结论，饲养场面积为， 解得或； 当时，， 故不全题意，舍去， 当时，， 则； 答：的值为12． 【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 02 真题演练 （山东中考） 【9题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，即， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． （呼和浩特中考） 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【11题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义下的实数运算和一元二次方程根的情况，根据定义列出关于的一元二次方程，再根据根的判别式判别根的情况. 【详解】解：根据定义， 整理得：， 其中，，， ∴， ∴有两个不相等的实数根, 故选：A． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可列方程为， 故答案为：． 【13题答案】 【答案】（1）每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为 （2）当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元 【解析】 【分析】(1)由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可； (2)由题意得关于x的医院二次方程，解一元二次方程可得答案． 【小问1详解】 由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系， 设其函数关系式为， 将，代入，得，解得：， ∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为﹔ 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得，，解得，， ∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的， ∴，即， ∴不合题意应舍去，∴． ∴当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元． 【点睛】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 03 素养提升 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程—配方法即可解答； 准确熟练地进行计算及掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴，， 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $