第25章 综合与实践(一) 数形结合与方程思想（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 以赵爽勾股圆方图为载体，系统构建“方程几何化”解题体系，通过问题链实现从具体到一般的知识迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |理解应用|1问|构图选择：根据方程变形确定矩形面积|从古代算法引入，建立方程与图形的直观联系| |类比迁移|1问|过程补全：四矩形构“空心”正方形，面积关系列新方程|强化几何直观，培养推理能力| |拓展应用|1问|模型构建：由矩形面积与中间正方形面积求方程系数|实现从特殊到一般的模型意识培养|

综合与实践（一） 数形结合与方程思想 1. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个根为________； （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________． 综合与实践（一） 数形结合与方程思想 【1题答案】 【答案】（1）② （2），， （3），3，1或3 【解析】 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． （2）根据材料提示，进行计算即可求出答案． （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，，分类讨论，由此即可求出答案． 【小问1详解】 解：变形为， 图①一个长方形的面积为：； 图②一个长方形的面积为：； 图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； 【小问2详解】 解：第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 【小问3详解】 解：， ， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，， 解得，， 当时，， ， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ， 解得，即方程的一个正根为； 综上，方程的一个正根为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $