专题1.5 三角形全等的判定（提高篇）（举一反三讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦三角形全等判定的提高应用，系统梳理从基础判定方法到多次全等证明、折叠综合、动点问题、旋转模型等12类综合题型，构建从简单到复杂的学习支架。 资料亮点在于题型覆盖全面且结合各地期末真题，通过实际生活抽象模型（如秋千距离测量）培养数学眼光，辅助线构造（如截长补短）发展推理思维，尺规作图综合提升数学表达。课中助教师分层引导探究，课后助学生举一反三巩固知识。

专题1.5 三角形全等的判定（提高篇）（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 多次全等证明】 1 【题型2 平行线证全等】 7 【题型3 折叠全等综合】 15 【题型4 动点全等问题】 20 【题型5 线段和差证明】 27 【题型6 角平分线全等】 33 【题型7 等腰结合全等】 39 【题型8 垂直全等综合】 45 【题型9 旋转全等综合】 51 【题型10 实际生活中抽象出全等模型】 57 【题型11 尺规作图与全等综合】 62 【题型12 构造辅助线证全等】 68 考点1 全等三角形的判定与性质 【题型1 多次全等证明】 【例1】（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，的两条高、相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，过点F作，交边于点G，求证：． 【答案】(1)证明：∵、分别是、边上的高， ∴； ∵，， ∴， 在与中 ，． ∴ ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，再利用“”证明全等即可； （2）利用等腰三角形的判定和性质，得出，进而证明即可． 【变式1-1】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【变式1-2】（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图1，已知：在中，，，D、E分别是边上的两点（点D在点E左侧），且，过点B作，交延长线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：∵在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． (2)证明：如图，过点A作，交的延长线于点G， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）先通过，，求得，进而可得，最后根据等角的余角相等可得． （2）过点A作，交的延长线于点G，先证明，求得，再证明，求得，可得，即可证明结论． 【题型2 平行线证全等】 【例2】在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，请根据下列题组情境进行解答： (1)如下图，当点E为的中点时，下列结论中正确的是______；（填序号） ①        ②    ③    ④ (2)当点E不为的中点时，（1）中哪个正确的结论仍成立？请结合下图进行证明； (3)若的边长为3，，请直接写出的长． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 (3)2或4 【分析】（1）根据等边三角形的三线合一可以判断①；同时得到，再根据等边对等角得到，依次判断②③④； （2）过作交于点，由题意可得是等边三角形，可得，可利用“”证明 可得； （3）分点在上和在的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到所求线段的长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点E为的中点， ∴，，故①正确； 又∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解：当E为边上任意一点时，仍成立； 证明：如图1，过E作交于点F． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：因为，的边长为，所以点可能在线段上，也可能在的延长线上， 当点在时，由 可知，则； 当点在的延长线上时，如图，过点作，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，利用全等得到，再找和的关系是解题的关键． 【变式2-1】（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．求证：．    【答案】 解：证明：， ， ∵，，， ∴， 在和中， ， ， ． 【分析】利用平行线的性质求得，利用三角形的外角性质求得，再由“”可证，从而可得． 【变式2-2】（24-25八年级下·江西赣州·期末）课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【猜想证明】 (1)试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； 【探究应用】 (2)过点作交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． （）由，，根据全等三角形的判定定理“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明； （）由，得，而，所以，则，即可解答； 【详解】（1）解：， 证明：在和中， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，且， ， ， ， ． 【变式2-3】如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点Р在线段上滑动（且不与A、B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．    (1)当______°，，此时______° (2)点Р在滑动时，当长为多少时，与全等，为什么？ (3)点Р在滑动时，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角的大小；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)30，30 (2)时，与全等，理由见解析 (3)或时，的形状可以是等腰三角形 【分析】（1）根据内错角相等两直线平行得时，，等腰三角形的性质可得，根据三角形外角定理即可解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点P在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 【详解】（1）若，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：30，30； （2）当时，，理由如下： ，， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）是等腰三角形，，， ①当时， ， 即， ； ②当时，是等腰三角形， ，即， ； ③当时，是等腰三角形， ， ，即， ， 此时点P与点B重合，点D和A重合， ∵点P不与A，B重合， ，舍去， 综合所述：当是等腰三角形时，或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【题型3 折叠全等综合】 【例3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先求出，根据折叠得出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据三角形内角和定理和折叠的性质得出，根据垂线定义得出，证明，得出； （3）根据折叠可知：，，根据平行线的性质得出，根据，求出，即，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （2）；理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质．连接、，作于点M，，推出，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点M． ∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∴的值为． 故答案为：． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，E在上．，．将矩形沿折叠，A落在处，交于点G，再沿着折叠，点D落在直线上的处，C落在处，F在上，若D、F、三点共线，则（    ）    A．4 B．6 C．7 D．5 【答案】B 【分析】先证明是直角，然后证明和全等即可得出结论． 【详解】解：如图，    ∵、、三点共线，四边形是由四边形翻折得到， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题结合矩形考查了折叠变换，熟知折叠的性质并灵活运用是解题的关键，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式3-3】综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）答案看详解； （2）由折叠可知，过点作于，再证明，最后利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：； （2）证明：由折叠可知， 过点作于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是正确寻找全等三角形． 【题型4 动点全等问题】 【例4】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【答案】 2a 或3 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间求解； （2）设运动的时间为t秒，根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米，根据全等三角形的判定方法，由于，则当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程组得到a的值． 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：（1）运动2秒时，厘米； 故答案为：2a； （2）设运动的时间为t秒， 根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米， ， 当，时，， 即，， 解得，； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 【变式4-1】（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，，与相交于点．，．点从点出发，沿方向以的速度运动，同时点从点出发，沿方向以的速度运动，当点回到点时，，两点同时停止运动，连接，当线段经过点时，点的运动时间为______．（  ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证 ，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故选：D． 【变式4-2】如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时， (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 【变式4-3】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于于． (1)如图1，当时，设点运动时间为，当点在上，点在上时， ①用含的式子表示和，则____，______； ②当时，与全等吗？并说明理由； (2)设点运动时间为，请问：当时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，；②全等，理由见解析 (2)有可能，的值为或或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论． （1）①由题意得：，，即可得出答案； ②首先求出，然后由证明即可； （2）分三种情况：①当点P在上，点Q在上时；②当点P与点Q重合，与全等；③当点Q到点A时停止，点P运动到上时，然后分别列方程即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：，， 则，， 故答案为：，； ②当时，与全等，理由如下： 当时，，， ∴， ∵， ∴， 又∵于E，于F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，与有可能全等，分三种情况： ①当点P在上，点Q在上时，，如图1所示：    则， ∴， 解得：； ②如图2所示：    ∵点P与点Q重合， ∴与全等，　 ∴， ∴． 解得：； ③当点P在上，点Q到点A时，，如图3所示：    则， ∴， ∴； 综上所述，符合条件的值为或或． 【题型5 线段和差证明】 【例5】如图，在中，平分，，，则的长为（    ） A．3 B．11 C．15 D．9 【答案】B 【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，先根据SAS证明△ABD≌△AED，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得∠BDE＝∠AED，进而可得CD＝EC，再代入数值计算即可． 【详解】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE， ∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB， 而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB， ∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE， ∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 【变式5-1】（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 【变式5-3】【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【题型6 角平分线全等】 【例6】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为D，若的面积为5，则的面积为（    ）． A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积等知识，延长交于点E，可证明得，从而得出，，可得从而可求出的面积． 【详解】解：延长交于点E，如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，过点作的垂线交于点，先证明，得到后，将拆成，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作的垂线交于点， ， ， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验证呢？ 具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点的对称点的位置．首先作出的角平分线交边于点，将沿折叠，观察点的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）    实践操作： （1）小组一操作发现顶点的对称点与重合，则的角平分线所在直线是对称轴；    （2）小组二发现当顶点的对称点落在边上时，的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同学们发现，连接时的周长与的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为，，，的周长为，请求出的值．（用、、表示）    （3）小组三发现当顶点的对称点落在边延长线上时，此时的角平分线所在直线不是对称轴．同样连接，若设三边长分别为，，，的周长为，小组二的结论还成立吗？请说明理由并求出的值．（用、、表示）    （4）拓展探究： 在中，，，，交于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．    【答案】（2）；（3）不成立，理由见解析，；（4），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理， （2）由翻折可得，则和，由，则 ，即； （3）由翻折可得，则和，由，则，即； （4）过作，交于点，交延长线于点，则，可得，由已知可得，结合三角形内角和定理得，即可证明，有，结合，即有． 【详解】解：（2）由翻折可得：， ，， ， ， ，，， ． （3）小组二的结论不成立 理由如下：由翻折可得：， ，， ， ， ，，， ． （4）解：，理由如下： 证明：过作，交于点，交延长线于点，如图，    交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ． 在和中 ， ， ． 【题型7 等腰结合全等】 【例7】（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，在四边形中，，，与相交于点．求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握这些是解题的关键． （1）根据条件用证明即可； （2）根据条件用证明，得，从而得出． 【详解】（1）解：在和中， ， ； （2）在和中， ， ， ， ． 【变式7-1】（2026·上海杨浦·二模）在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________． 【答案】 【分析】先判断是等腰直角三角形，则，，容易证明，则，利用三角形外角的性质可证明，从而得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质等，延长CF交AB于H，通过证明，可判断①；求出可判断②；证明垂直平分，通过等量代换可判断③；通过可判断④． 【详解】解：如图，延长CF交AB于H， ∵分别为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， 故③符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故④不符合题意； ∴正确的有①②③． 故选A． 【变式7-3】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． (1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则______； ②若，则与之间的数量关系是______； (2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； (3)如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①根据对顶角性质，以及三角形内角和定理分析求解，即可解题； ②由①知，结合，即可推出与之间的数量关系； （2）结合垂直的性质，对顶角性质，三角形内角和定理推出，进而结合全等三角形判定定理，即可证明； （3）设，由折叠的性质可知，，结合等腰三角形性质进而推出，，根据为等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别列方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：① ， ， ， 若，则； ② 若，则； （2）证明： ，， ， ， 由（1）同理可得， ， ； （3）解：设， 由折叠的性质可知，， ，， ，， ， 为等腰三角形， 当时， 有， 解得； 当时， 有， 解得； 当时， 有，无解，即该情况不存在； 综上所述，的度数为或． 【题型8 垂直全等综合】 【例8】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点E为正方形内一点，连接，，，若，，则为（   ） A．12 B．36 C．72 D．144 【答案】C 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和同角的余角相等证明，进而证得，得出，再三角形面积公式即可求解. 【详解】解：过点作于点，、 四边形是正方形 ， ，， ， ，即， ， ， 又 ， ， ∴ ， . 【变式8-2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式8-3】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (2)8 (3)，理由如下： 如图3，过点D作于点F， ，， ∴同理得：， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明，结合、，用判定，根据全等三角形对应边相等，将拆分为，替换为得到数量关系； （2）同样先证明，得到对应边，，由图中线段位置关系，用计算的长度； （3）过点作交的延长线于点，构造一线三垂直模型，证明，得到对应边相等关系，推导，得到，结合，计算的度数，判断与的位置关系． 【详解】（1）略； （2）如图2所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，， ； 【题型9 旋转全等综合】 【例9】点M、N分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为______．    【答案】45°/45度 【分析】由题意得，将绕点顺时针旋转得到,证即可求解． 【详解】解： 即 将绕点顺时针旋转得到，如图所示：      在的延长线上 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转等．根据几何条件进行严密的几何推理是解题关键． 【变式9-1】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【变式9-2】（第11讲全等三角形的基本模型-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假精品课（人教版））如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． (1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； (2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，进而结论得证； （2）延长BD交CE于F，证明△ABD≌△ACE，则BD=CE、∠ABF=∠ECA；根据∠ABF=∠HCF以及三角形内角和定理可证得∠BHC=90°． 【详解】（1）证明：延长BD交CE于F， 在△EAC和△DAB中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝90°， ∴∠ABD+∠AEC＝90°， ∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD， ∴． （2）证明：延长BD交CE于F， ∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°， ∴∠BAD＝∠EAC， ∵在△EAC和△DAB中， ， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，证得△ACE≌△ADB和△ABD≌△ACE是解决问题的关键． 【变式9-3】已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点． (1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 　 　； (2)当△ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明． 【答案】(1)CMAE (2)CMAE，证明见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，DC＝EC，∠ADE＝∠BED＝45°，求得AD＝BE，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，等量代换得到CMAE； （2 ）如图②，证明：如图2中，延长CM到N使得CM＝MN．如图③中，延长CM到N使得CM＝MN．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：CM＝AE； 理由：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ADE＝∠BED＝45°， ∴CD﹣AC＝CE﹣BC， 即AD＝BE， 在△ADE与△BED中， ， ∴△ADE≌△BED（SAS）， ∴BD＝AE， ∵M是BD的中点， ∴CM＝BD， ∴CM＝AE； 故答案为：CM＝AE； （2）解：CM＝AE； 理由：如图④，证明：如图④中，延长CM到N使得CM＝MN． ∵BM＝DM，∠CMB＝∠DMN， ∴△CMB≌△NMD（SAS）， ∴BC＝DN＝CA，∠CBM＝∠NDM， ∴DN∥BC， ∴∠CDN+∠DCB＝180°， ∵∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝180°， ∴∠ACE＝∠CDN， ∵DC＝EC，AC＝DN， ∴△CDN≌△ECA（SAS）， ∴CN＝EA， ∴AE＝2CM ∴CM＝AE 如图⑤，证明：如图⑤中，延长CM到N使得CM＝MN． ∵BM＝DM，∠CMB＝∠DMN， ∴△CMB≌△NMD（SAS）， ∴BC＝DN＝CA，∠CBM＝∠NDM， ∴DNBC， ∴∠CDN+∠DCB＝180°， ∵∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝180°， ∴∠ACE＝∠CDN， ∵DC＝EC，AC＝DN， ∴△CDN≌△ECA（SAS）， ∴CN＝EA， ∴AE＝2CM． ∴CM＝AE 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型10 实际生活中抽象出全等模型】 【例10】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． 【变式10-1】生活中的数学：    (1)某中学计划为新生军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是______； (2)图2是折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，求撑开时的凳腿间距； (3)为了节省空间，凳子不用时折叠起来摆放，如图3是折叠凳折叠时的侧面示意图，在（2）的条件下，已知撑开时凳面与凳腿的夹角为，求折叠时的凳子高度． 【答案】(1)三角形具有稳定性； (2) (3) 【分析】（1）利用三角形的性质进行解答； （2）利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案； （3）根据全等三角形的性质可和等边三角形的判定证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性； （2）解：是和的中点， ，， 在和中， ， ， ． （3）解：∵， ∴，， ∵和的长相等， ∴， ∵为， ∴是等边三角形，． ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，以及等边三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理． 【变式10-2】（2025·广东茂名·一模）综合与实践 【主题】军事训练中的距离测量问题 【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题： 【实践操作】如图所示： 步骤1：面向点站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤3：步测得米．已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】 (1)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明． (2)若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法． 【答案】(1)解：由题意可得：，， 又 ， ， 米； (2)该方法在生活场景中测量池塘对岸某一物体的距离同样适用，可能会遇到的不同情况及相应的解决办法： 情况一：周围由障碍物影响视线，解决办法：可以选择适合的观测点，避开障碍物，重新进行观测操作。或者借助梯子等工具，升高观测点位置，越过障碍物进行观测； 情况二：底面不平整影响站姿，解决办法：可以先在地面上铺设一块平整的垫板，再进行测量操作． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据等三角形的判定与性质求解即可； （2）根据题意并结合实际分析即可． 【变式10-3】（24-25八年级上·山西忻州·期末）[新考向] 为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之托，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的A，B两栋建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 1．先在点B所在的河岸上取一点C，连接，并延长到点D，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证A，C，E三点在同一直线上； 3．用皮尺测出D，E两点的距离．    项目结论 ？ 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 (1)项目结论：你得出的结论是______；并写出证明过程； (2)项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径的长度，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶内部底面圆的直径 测量工具 实施步骤 简要步骤：    【答案】(1)；证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），根据“角边角”证明 ，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），可以结合边角边构造两个三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：； 证明：由题意得，， ∵，． ∴ ， ∴； （2）解：测量工具：两根足够长的细木棍、皮尺． 简要步骤：将两根细木棍的端点分别抵在青花瓷瓶底部的M，N处，两根细木棍在瓶口处相交，交点记为点O，用手固定住点O，取出两根木棍，然后在射线、上截取、，使，，再将木棍放入瓶中，同前面一样使木棍端点分别抵在M，N处（注意交点O的位置不变），用皮尺测出C、D的距离即为青花瓷瓶内部底面圆的直径． 【题型11 尺规作图与全等综合】 【例11】（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）从作图可知：，， 根据“”可得：， 所以； （2）从操作可得：，，，根据“”得； （3）因为，，，根据“”得， 所以是的平分线； （4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得； 综上分析可知：判定方法不一样的是（4）． 故选：D． 【变式11-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是延长线上的一点，点是的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：（保留作图痕迹，不写作法） ①在右侧作； ②连接并延长交射线于点； (2)求证：且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角的方法作出 即可；②作射线交于点即可； （2）由（1）中作图可得，结合，推出 ，易证，进而得到 ，再根据题意可得，证明，即可推出． 【详解】（1）解：如图所示，和点即为所求： （2）证明：，， ， ， ． 是中点， ， 在和中，， ， ． 【变式11-2】如图，在中，，过点作，且满足，连接． (1)试说明平分． (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证： ． (3)在（2）的条件下，用尺规作的平分线，交于点，求证： ． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识但，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，再根据角的和差可得，即，从而证明结论； （2）先补全图形，再证可得，即；再结合即可证明结论； （3）如图所示，延长交于点M，延长交于点G，先证明可得，再证明可得，则；再说明、，进而证得，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ∵， ∴, ∵， ∴， ∴，即平分． （2）解：根据作图如下： 在和中， ， ∴, ∴， ∴, ∵， ∴． （3）证明：如图所示，延长交于点M，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式11-3】（2026·重庆渝中·三模）如图，在中，，点为边的中点． (1)用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴ ① ， 为的中点， ∴ ② ， ． 在与中， ， ． ． ． 【答案】(1) (2)； ； 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，解答即可；用圆规采用画弧法截取即可； （2）根据角的平分线定义，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可； 【详解】（1）略 （2）证明：平分， ，， ， ∴， ； 为的中点， ∴， ． 在与中， ， ． ． ． 【题型12 构造辅助线证全等】 【例12】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 【变式12-1】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式12-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式12-3】（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 三角形全等的判定（提高篇）（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 多次全等证明】 1 【题型2 平行线证全等】 3 【题型3 折叠全等综合】 4 【题型4 动点全等问题】 6 【题型5 线段和差证明】 7 【题型6 角平分线全等】 9 【题型7 等腰结合全等】 11 【题型8 垂直全等综合】 12 【题型9 旋转全等综合】 13 【题型10 实际生活中抽象出全等模型】 15 【题型11 尺规作图与全等综合】 17 【题型12 构造辅助线证全等】 19 考点1 全等三角形的判定与性质 【题型1 多次全等证明】 【例1】（25-26七年级下·上海崇明·期末）如图，的两条高、相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，过点F作，交边于点G，求证：． 【变式1-1】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【变式1-2】（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-3】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图1，已知：在中，，，D、E分别是边上的两点（点D在点E左侧），且，过点B作，交延长线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【题型2 平行线证全等】 【例2】在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，请根据下列题组情境进行解答： (1)如下图，当点E为的中点时，下列结论中正确的是______；（填序号） ①        ②    ③    ④ (2)当点E不为的中点时，（1）中哪个正确的结论仍成立？请结合下图进行证明； (3)若的边长为3，，请直接写出的长． 【变式2-1】（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且．求证：．    【变式2-2】（24-25八年级下·江西赣州·期末）课本回归：如图，人教版八年级上册数学教材第面数学活动：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【猜想证明】 (1)试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并证明你的猜想； 【探究应用】 (2)过点作交于点，若，求的度数． 【变式2-3】如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点Р在线段上滑动（且不与A、B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．    (1)当______°，，此时______° (2)点Р在滑动时，当长为多少时，与全等，为什么？ (3)点Р在滑动时，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角的大小；若不可以，请说明理由． 【题型3 折叠全等综合】 【例3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，E在上．，．将矩形沿折叠，A落在处，交于点G，再沿着折叠，点D落在直线上的处，C落在处，F在上，若D、F、三点共线，则（    ）    A．4 B．6 C．7 D．5 【变式3-3】综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【题型4 动点全等问题】 【例4】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【变式4-1】（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，，与相交于点．，．点从点出发，沿方向以的速度运动，同时点从点出发，沿方向以的速度运动，当点回到点时，，两点同时停止运动，连接，当线段经过点时，点的运动时间为______．（  ） A．2 B．4 C．6 D．2或4 【变式4-2】如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动；点从点出发沿路径向终点运动．点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于于． (1)如图1，当时，设点运动时间为，当点在上，点在上时， ①用含的式子表示和，则____，______； ②当时，与全等吗？并说明理由； (2)设点运动时间为，请问：当时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形，有没有可能全等？若能，请求出符合条件的值；若不能，请说明理由． 【题型5 线段和差证明】 【例5】如图，在中，平分，，，则的长为（    ） A．3 B．11 C．15 D．9 【变式5-1】（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式5-2】如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【变式5-3】【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【题型6 角平分线全等】 【例6】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为D，若的面积为5，则的面积为（    ）． A．10 B．11 C．12 D．14 【变式6-2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为______． 【变式6-3】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在轴对称这节课上，老师提出这样的一个问题：角是轴对称图形，其对称轴为角平分线所在直线．那么三角形的任意角平分线所在直线是否为其对称轴呢？如何验证呢？ 具体操作如下：老师将同学们分成三组探究三角形顶点的对称点的位置．首先作出的角平分线交边于点，将沿折叠，观察点的对称点的位置．（其他角分线验证方法相同）    实践操作： （1）小组一操作发现顶点的对称点与重合，则的角平分线所在直线是对称轴；    （2）小组二发现当顶点的对称点落在边上时，的角平分线所在直线不是对称轴．此时聪明的同学们发现，连接时的周长与的三边存在一定的数量关系．若设三边长分别为，，，的周长为，请求出的值．（用、、表示）    （3）小组三发现当顶点的对称点落在边延长线上时，此时的角平分线所在直线不是对称轴．同样连接，若设三边长分别为，，，的周长为，小组二的结论还成立吗？请说明理由并求出的值．（用、、表示）    （4）拓展探究： 在中，，，，交于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由．    【题型7 等腰结合全等】 【例7】（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图，在四边形中，，，与相交于点．求证： (1) ； (2)． 【变式7-1】（2026·上海杨浦·二模）在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________． 【变式7-2】如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式7-3】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． (1)【发现】如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则______； ②若，则与之间的数量关系是______； (2)【应用】如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； (3)如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的度数为______． 【题型8 垂直全等综合】 【例8】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点E为正方形内一点，连接，，，若，，则为（   ） A．12 B．36 C．72 D．144 【变式8-2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式8-3】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 【题型9 旋转全等综合】 【例9】点M、N分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为______．    【变式9-1】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式9-2】（第11讲全等三角形的基本模型-【暑假自学课】2022年新八年级数学暑假精品课（人教版））如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． (1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； (2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【变式9-3】已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点． (1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 　 　； (2)当△ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明． 【题型10 实际生活中抽象出全等模型】 【例10】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 【变式10-1】生活中的数学：    (1)某中学计划为新生军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是______； (2)图2是折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，求撑开时的凳腿间距； (3)为了节省空间，凳子不用时折叠起来摆放，如图3是折叠凳折叠时的侧面示意图，在（2）的条件下，已知撑开时凳面与凳腿的夹角为，求折叠时的凳子高度． 【变式10-2】（2025·广东茂名·一模）综合与实践 【主题】军事训练中的距离测量问题 【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题： 【实践操作】如图所示： 步骤1：面向点站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点； 步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤3：步测得米．已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】 (1)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明． (2)若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法． 【变式10-3】（24-25八年级上·山西忻州·期末）[新考向] 为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目主题 依数学之托，解生活之谜 项目背景 测量分别位于河两岸的A，B两栋建筑物之间的距离 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施 1．先在点B所在的河岸上取一点C，连接，并延长到点D，使； 2．利用测角仪测得等于，并保证A，C，E三点在同一直线上； 3．用皮尺测出D，E两点的距离．    项目结论 ？ 项目推广 用项目方法解决生活中的其他问题 (1)项目结论：你得出的结论是______；并写出证明过程； (2)项目推广：如图①是一个青花瓷瓶，底部和瓶口皆为圆形，现在想知道它的底面圆内部的直径的长度，请你设计一个测量方法，在图②中画出示意图并完成下表． 任务 测量青花瓷瓶内部底面圆的直径 测量工具 实施步骤 简要步骤：    【题型11 尺规作图与全等综合】 【例11】（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式11-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是延长线上的一点，点是的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：（保留作图痕迹，不写作法） ①在右侧作； ②连接并延长交射线于点； (2)求证：且． 【变式11-2】如图，在中，，过点作，且满足，连接． (1)试说明平分． (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证： ． (3)在（2）的条件下，用尺规作的平分线，交于点，求证： ． 【变式11-3】（2026·重庆渝中·三模）如图，在中，，点为边的中点． (1)用尺规完成基本作图：作的平分线交于点，连接，在边上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：，请根据以下思路完成填空： 证明：平分， ， ， ∴ ① ， 为的中点， ∴ ② ， ． 在与中， ， ． ． ． 【题型12 构造辅助线证全等】 【例12】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【变式12-1】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【变式12-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【变式12-3】（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $