第13讲 圆的相关概念（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第13讲 圆的相关概念（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 圆的相关概念 同学们，想象一下我们小时候都玩过的“套圈游戏”。如果地上只有一个小立柱，当大家站成一排去套圈时，对每个人来说公平吗？显然不公平，因为每个人离立柱的距离不同。那么，怎样站才能保证绝对公平呢？没错，大家围成一个圆形。在这个游戏中，圆上每一个点到立柱（圆心）的距离都是相等的。其实，早在战国时期的《墨经》中就有“圜，一中同长也”的记载，意思是圆只有一个中心，从中心到圆上各点的长度都相等。 今天，就让我们带着这种“一中同长”的数学智慧，一起走进圆的世界，探索圆的基本概念。 【知识点1 圆的定义及表示方法】 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 【知识点2 与圆有关的概念】 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 3. 等圆、同心圆与等弧 （1）能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆． （2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． （3） 能够互相重合的弧叫做等弧． （4） 同圆或等圆的半径相等. 4. 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角，其度数等于所对弧的度数． 【题型1 圆的定义】 【例1】（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 【变式1-1】到定点的距离等于定长的点的集合是(　　) A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【变式1-2】早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 【变式1-3】能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【题型2 弧、弦、直径的概念辨析】 【例2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列说法中,正确的是(　　) A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C．长度相等的弧是等弧 D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中________是弦，________是直径，________是以A为端点的劣弧，________是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 【题型3 等圆与等弧】 【例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）有下列4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中是真命题的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③ 【变式3-1】下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的正方形，边长为，若分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·江苏盐城·三模）在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型4 同心圆】 【例4】（2024·河北邯郸·二模）如图，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【变式4-1】下列说法： ①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【变式4-3】（2024·湖南郴州·二模）如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（    ） A． B． C． D． 【题型5 与圆有关的角度计算】 【例5】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，是的直径，点在上，，，则______． 【变式5-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则等于________． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，为的直径，点，在上，，，则______． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，若为直角三角形，则的度数为______． 【题型6 直径与弦的数量关系】 【例6】如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，已知，，的直径长是___________． 【变式6-1】如图，是的直径，是弦的中点，若，则_____．    【变式6-2】如图，已知：在中，直径 弦于E，，则的半径为_____． 【变式6-3】（2025·甘肃陇南·三模）已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积为_______． 模块三 课后作业 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 3．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 5．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 8．如图，在 中， （1）半径有：________________． （2）直径有：________________． （3）弦有：________________． （4）劣弧 对应的优弧是_______，它们刚好拼成一个完整的圆． 9．如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为________． 10．如图，图中__________是直径，__________是弦，以为端点的劣弧有____________________，以为端点的优弧有____________________．    11．将一个含有角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则_____度．    12．如图，点A、B在上，且．的平分线与相交于点C，若，则的周长为_____．（结果保留π） 13．如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____． 14．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径作，将绕点B按逆时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C，若，则的度数为_______． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 圆的相关概念（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 圆的相关概念 同学们，想象一下我们小时候都玩过的“套圈游戏”。如果地上只有一个小立柱，当大家站成一排去套圈时，对每个人来说公平吗？显然不公平，因为每个人离立柱的距离不同。那么，怎样站才能保证绝对公平呢？没错，大家围成一个圆形。在这个游戏中，圆上每一个点到立柱（圆心）的距离都是相等的。其实，早在战国时期的《墨经》中就有“圜，一中同长也”的记载，意思是圆只有一个中心，从中心到圆上各点的长度都相等。 今天，就让我们带着这种“一中同长”的数学智慧，一起走进圆的世界，探索圆的基本概念。 【知识点1 圆的定义及表示方法】 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 【知识点2 与圆有关的概念】 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 3. 等圆、同心圆与等弧 （1）能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆． （2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． （3） 能够互相重合的弧叫做等弧． （4） 同圆或等圆的半径相等. 4. 圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角，其度数等于所对弧的度数． 【题型1 圆的定义】 【例1】（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，圆上各点到圆心的距离相等．人们围成圆形是为了使每个人到舞台（圆心）的距离相等，从而获得相同的观看体验，这利用了同圆中所有半径相等的性质． 【详解】解：∵ 在同圆中，所有半径都相等， ∴ 当人们围成圆形时，每个人到圆心的距离相等， ∴ 这是应用了同圆中半径都相等的特征． 故选：C． 【变式1-1】到定点的距离等于定长的点的集合是(　　) A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【答案】C 【分析】根据圆的定义解答即可. 【详解】圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．圆也可以看作是到定点距离等于定长的点的集合. 【变式1-2】早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 【答案】 圆心 半径 【分析】根据圆的集合定义直接回答即可． 【详解】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径． 故答案为：圆心，半径． 【点睛】考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的集合定义． 【变式1-3】能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【答案】A 【分析】根据圆的定义解答即可． 【详解】解：根据圆的定义可知，能决定圆的位置的是圆心. 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆的定义：圆是指到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．圆心在哪，圆的位置就在哪．理解圆的定义是解题的关键． 【题型2 弧、弦、直径的概念辨析】 【例2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 【变式2-2】下列说法中,正确的是(　　) A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C．长度相等的弧是等弧 D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧 【答案】B 【详解】A.两个半圆的半径不一定相等，故错误； B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确； C.长度相等的弧是等弧，错误； D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误， 故选：B. 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）在中，点B，O，C和点A，O，D分别在同一条直线上，则图中________是弦，________是直径，________是以A为端点的劣弧，________是以A为端点的优弧．（把满足要求的答案全部填上） 【答案】 ，， ，，   ， 【分析】本题考查圆中弦，直径，劣弧，优弧的定义，掌握知识点是解题的关键．根据圆的弦，直径，劣弧，优弧的定义即可解答． 【详解】解：由图，得：，，是弦，是直径，，，是以A为端点的劣弧，  ，是以A为端点的优弧． 故答案为：，，；；，，；  ，． 【题型3 等圆与等弧】 【例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）有下列4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中是真命题的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的有关性质以及等弧的定义，熟悉直径、弧、弦等概念是解题的关键． 根据圆的基本性质，逐一判断各命题的正确性即可． 【详解】解：①正确：直径相等的两圆半径相等，故为等圆． ②错误：等弧需在同圆或等圆中且长度相等，仅长度相等未必是等弧． ③正确：过圆心的弦是直径，为圆中最长的弦． ④错误：若弦为直径，则分成的两条弧为半圆，是等弧． 故选：A． 【变式3-1】下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】（1）直径的两个端点在圆上，符合弦的概念．（2）弦是连接圆上两点间的线段，只有过圆心的弦才是直径．（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆．比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧．（4）由等圆的定义判定，（5）等弧是能完全重合的两条弧，长度相等的两条弧不一定能重合． 【详解】解：（1）根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以（1）正确； （2）弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，其它的弦不是直径，所以（2）错误； （3）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆．所以（3）正确； （4）由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，所以（4）正确； （5）等弧是能完全重合的弧，只有长度相等的两条弧不一定能重合．所以（5）错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的相关知识点，关键在于熟练掌握相关的定义和性质. 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆与图形之间的关系．现有如图所示的正方形，边长为，若分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，正确画出图形是解题的关键． 如图：连接相较于O，以分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形，再根据勾股定理以及正方形性质求解即可． 【详解】解：如图：连接相较于O，以分别以顶点A、B、C、D为圆心作四个等圆，这四个等圆能完全覆盖正方形，且半径为正方形对角线的一半，即． 故选C． 【变式3-3】（2026·江苏盐城·三模）在一张长为，宽为的矩形纸片上，按两种方式剪出最大圆： 方式：剪个大圆； 方式：剪个等圆． 设按两种方式剪出圆后剩余面积分别为、，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算矩形面积，再分别求出两种剪法下剪出圆的总面积，进而得到剩余面积和，计算的取值范围即可． 【详解】矩形面积为； 方式：剪出个最大圆，圆的最大直径等于矩形的宽，可得半径，圆的面积为， ； 方式：剪出个等大的最大圆，两圆并排沿长摆放，可得单个圆最大直径为，半径，两个圆的总面积为， ； ， ， ， ，即， ，即， ， ， ，即， A选项符合题意． 【题型4 同心圆】 【例4】（2024·河北邯郸·二模）如图，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的性质和平行四边形的判定，在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上，可得,故可判断四边形是平行四边形 【详解】解：在两个同心圆中，分别是大圆和小圆的直径，且与不在同一条直线上， ∴, ∴四边形是平行四边形 故选：D 【变式4-1】下列说法： ①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误； ②半圆是弧，正确； ③过圆心的弦是直径，故错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的半径相等．利用半径相等得到，则利用等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理得到，同理可得，则，然后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【变式4-3】（2024·湖南郴州·二模）如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：． 【题型5 与圆有关的角度计算】 【例5】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，是的直径，点在上，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键，先证明得出，再利用直径所对圆周角是90度得出，即可求解． 【详解】解：在中，，     在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则等于________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质， 连接，先根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质得，进而得出，然后根据三角形外角的性质得，结合已知条件可得答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，为的直径，点，在上，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质求得的度数，根据 ，等边对等角得到的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，若为直角三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由于是的直径，则，而，可得，根据等腰三角形的性质得到，又由于为直角三角形，而，所以为等腰直角三角形，于是可得，利用三角形外角性质有，则． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 而， ∴， ∴， ∵为直角三角形，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型6 直径与弦的数量关系】 【例6】如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，已知，，的直径长是___________． 【答案】10 【分析】连接，如图，利用勾股定理计算出OC即可，本题考查了勾股定理，直径等于半径的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， 即的直径为10． 故答案为10． 【变式6-1】如图，是的直径，是弦的中点，若，则_____．    【答案】 【分析】根据半径相等，是的中点，可得是的中位线，即可求解． 【详解】∵是的直径，是弦，是的中点， ∴，， 即是的中位线， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，中位线的性质与判定，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 【变式6-2】如图，已知：在中，直径 弦于E，，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 【变式6-3】（2025·甘肃陇南·三模）已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积为_______． 【答案】24 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：24． 模块三 课后作业 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】求出半径即可得解． 【详解】解：用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，同一个圆中直径， 本题中圆的直径， ∴， 因此圆规两脚间的距离应为． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，掌握知识点是解题的关键．正确理解弦、直径、弧、等弧和对称轴的定义是解题关键，注意细节区别． 根据圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径，∴ A错误； ∵ 等弧要求长度相等且在同圆或等圆中，仅长度相等不一定构成等弧，∴ B错误； ∵ 圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不是直线，∴ C错误； ∵ 半圆是圆的一条弧，其度数为180°，∴ D正确． 故选D． 3．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 4．（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 5．（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，圆的基础知识，先结合等边对等角，三角形内角和性质，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则所对的圆心角等于 故选：D 6．如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的旋转对称性，可知阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，据此解题． 【详解】解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：π×22＝2π， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的旋转对称性等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的定义；根据圆的定义，定点为圆心，点到的距离为定长，即半径． 【详解】解：由圆的定义可知，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点为圆心，定长为半径，故半径为． 故答案为：． 8．如图，在 中， （1）半径有：________________． （2）直径有：________________． （3）弦有：________________． （4）劣弧 对应的优弧是_______，它们刚好拼成一个完整的圆． 【答案】 ， ，， 【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：（1）半径有，； （2）直径有； （3）弦有，，； （4）劣弧 对应的优弧是； 故答案为：，；；，，； 9．如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查圆周长公式，平面直角坐标系坐标表示．根据题意先求出圆周长即可得到本题答案． 【详解】解：∵半径为1的圆， ∴圆周长为：， ∴圆心的坐标为：． 10．如图，图中__________是直径，__________是弦，以为端点的劣弧有____________________，以为端点的优弧有____________________．    【答案】 ，， ，，，， ，，， 【分析】根据圆的基本概念进行作答即可． 【详解】解：如图，图中是直径，，，是弦，以为端点的劣弧有，，，，，以为端点的优弧有，，，． 故答案为：；，，；，，，，；，，，． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，正确掌握圆的基本概念相关内容是解题的关键． 11．将一个含有角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则_____度．    【答案】 【分析】证明是等边三角形，根据邻补角的定义即可求解． 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 则． 【点睛】本题考查与圆有关的性质和等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．如图，点A、B在上，且．的平分线与相交于点C，若，则的周长为_____．（结果保留π） 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再利用圆的周长公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即是等边三角形， ∵平分， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的半径相等，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． 13．如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____． 【答案】/120度 【分析】根据圆的性质，可得OA=OB，OC=OD，证明△AOC≌△BOD，即可得答案． 【详解】解：由题意可知：OA=OB，OC=OD， ∵AC＝BD， ∴△AOC≌△BOD， ∵∠AOC＝120°， ∴∠BOD＝120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC≌△BOD． 14．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径作，将绕点B按逆时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，三角形外角的性质，由旋转的性质得到，，证明是等边三角形，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵点落在上， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $