精品解析：浙江宁波市江北区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

2025学年第二学期七年级期末数学卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，与是同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 人体红细胞的直径约0.0000078米，请将0.0000078改写为科学记数法（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 将直角三角板和直尺按如图所示方式摆放．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的4倍 B. 不变 C. 扩大到原来的2倍 D. 缩小为原来的 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 9. 关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝36°，则∠E＝（ ） A. 82° B. 84° C. 97° D. 90° 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：=____. 12. 将变形，用含的代数式表示，那么_________． 13. 我校开展“好书伴我成长”的读书活动，为了了解八年级名学生的读书活动，随机调查了八年级名学生读书的册数．统计数据如下表所示： 册数 册及以上 人数 则全校八年级学生的读书册数等于册的有__________名． 14. 是一个完全平方式，则__________． 15. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，这个题目的解应该是__________． 16. 四张正方形纸片，，，如图放置，使得D，C，K三点共线．设正方形，正方形的面积分别为，．若阴影部分的面积与的面积差为5，则__________． 三、解答题（本题有8小题，第17－22题，每题6分，第23、24题，每题8分，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程（组） （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了“弘扬中华诗词文化，寻找华夏文化基因”，某校组织七年级全体学生进行“中华诗词”活动，抽取部分学生的成绩进行统计，绘制了如下不完整的频数表与如图所示的频数直方图． 被抽取学生的成绩频数表 组别 成绩x/分 人数 百分比 A B C D 解决下列问题： （1）表中__________，__________； （2）补全频数直方图； （3）如果测试成绩达到分及以上为优秀，估计该校七年级名学生中成绩为优秀的约有多少人？ 21. 如图，平分，交于点，若，．求，的度数． 22. 我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： （1）仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； （2）已知，，为的三条边，，求的周长． 23. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用图1所示的长方形和正方形纸板做成如图所示的竖式和横式两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． （1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求这一天加工两种纸盒时，的所有可能的值． 24. 如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． （1）求的度数． （2）试判断与的位置关系，并说明理由． （3）将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期七年级期末数学卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，与是同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】同旁内角是两直线被第三条直线所截形成的有特殊位置关系的角，根据同旁内角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：和不是两直线被第三条直线所截形成的，和不是同旁内角，故A选项不符合题意； B选项：和是两直线被第三条直线所截形成的同位角，故B选项不符合题意； C选项：和不是两直线被第三条直线所截形成的，和不是同旁内角，故C选项不符合题意； D选项：和是两直线被第三条直线所截形成的同旁内角，故D选项符合题意． 2. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为， ∴， 解得． 3. 人体红细胞的直径约0.0000078米，请将0.0000078改写为科学记数法（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 下列式子由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； B．左边是单项式，单项式的分解不属于因式分解，故该选项不符合题意； C．符合因式分解的定义，属于因式分解，故该选项符合题意； D．右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意． 5. 将直角三角板和直尺按如图所示方式摆放．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，可知，根据平角的定义可知，等量代换可知，根据，即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， ． 6. 若，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算，即可求解． 【详解】解：∵，∴ 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法计算，掌握计算法则正确计算是解题关键． 7. 如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的4倍 B. 不变 C. 扩大到原来的2倍 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】按照题意将原分式中的和替换为和，利用分式的基本性质化简后，将结果与原分式比较，即可得出结论． 【详解】解：∵当和都扩大为原来的倍时，新分式为： ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 9. 关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程有增根时，增根使分式方程的最简公分母为0，先确定增根，再将增根代入去分母得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解： 去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 把代入得，， 解得：． 10. 如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝36°，则∠E＝（ ） A. 82° B. 84° C. 97° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E−∠F＝36°，即可得到∠E的度数． 【详解】如图，过F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴FH∥AB∥CD， ∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F， ∴可设∠ABF＝∠EBF＝＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH， ∴∠ECF＝180°−β，∠BFC＝∠BFH−∠CFH＝−β， ∴四边形BFCE中，∠E＋∠BFC＝360°−α−（180°−β）＝180°−（−β）＝180°−∠BFC， 即∠E＋2∠BFC＝180°，① 又∵∠E−∠BFC＝36°， ∴∠BFC＝∠E−36°，② ∴由①②可得，∠E＋2（∠E−36°）＝180°， 解得∠E＝84°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 12. 将变形，用含的代数式表示，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法，解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 先移项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 13. 我校开展“好书伴我成长”的读书活动，为了了解八年级名学生的读书活动，随机调查了八年级名学生读书的册数．统计数据如下表所示： 册数 册及以上 人数 则全校八年级学生的读书册数等于册的有__________名． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抽取的样本总人数求出的值，再利用样本估计总体，计算全校八年级读书册数等于册的人数． 【详解】解：∵抽取的样本总人数为， ∴抽取的读书册数等于册的人数， ∴全校八年级读书册数等于册的人数为． 14. 是一个完全平方式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构特征即可求出的值． 【详解】解：是完全平方式， ． 15. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，这个题目的解应该是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法求二元一次方程组的解． 【详解】解：整理方程组， 可得：， 方程组的解是， ， 方程组的解为． 16. 四张正方形纸片，，，如图放置，使得D，C，K三点共线．设正方形，正方形的面积分别为，．若阴影部分的面积与的面积差为5，则__________． 【答案】20 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为，得出，，根据阴影部分的面积与的面积差为5，得出，根据，整体代入求出结果即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为， ∴，， ∴ ， ， ∵阴影部分的面积与的面积差为5， ∴， 整理得：， ∴ ． 三、解答题（本题有8小题，第17－22题，每题6分，第23、24题，每题8分，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘方的定义、指数幂的法则、负整数指数幂的运算法则把算式各部分计算出来，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据完全平方公式、单项式乘以多项式的运算法则把代数式展开，再合并同类项． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程（组） （1）； （2） 【答案】（1）方程无解； （2）． 【解析】 【分析】（1）去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 去分母得： 去括号得： 解得：， 检验得，是方程的增根，故原方程无解． 【小问2详解】 解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确进行计算． 20. 为了“弘扬中华诗词文化，寻找华夏文化基因”，某校组织七年级全体学生进行“中华诗词”活动，抽取部分学生的成绩进行统计，绘制了如下不完整的频数表与如图所示的频数直方图． 被抽取学生的成绩频数表 组别 成绩x/分 人数 百分比 A B C D 解决下列问题： （1）表中__________，__________； （2）补全频数直方图； （3）如果测试成绩达到分及以上为优秀，估计该校七年级名学生中成绩为优秀的约有多少人？ 【答案】（1），； （2）； （3）人． 【解析】 【分析】（1）根据统计表中的数据求出和的值； （2）根据（1）中求出的补全频数分布直方图； （3）利用样本百分数估计总体百分数，估算出该校七年级名学生中成绩为优秀的人数． 【小问1详解】 解：由统计表可知，A组人数为，占抽查总人数的， 抽查的总人数为人， C组人数占抽查总人数的， C组人数为人， B组人数为人， B组人数占抽查总人数的， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由统计表可知成绩达到优秀的人数占， 估计该校七年级名学生中成绩为优秀的约有人， 答：该校七年级名学生中成绩为优秀的约有人． 21. 如图，平分，交于点，若，．求，的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可知，再根据两直线平行，内错角相等，可得：；根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：，平分， ， ， ， ． 22. 我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： （1）仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； （2）已知，，为的三条边，，求的周长． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①仿照题干中的方法把拆成，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； ②利用分组分解因式的方法，可得：原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； （2）利用拆项法可得：，利用完全平方公式分解因式可得，根据平方的非负性可得，，，再根据三角形的周长公式求解． 【小问1详解】 ①解： ； ②解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，，， ，，， ． 23. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用图1所示的长方形和正方形纸板做成如图所示的竖式和横式两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． （1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求这一天加工两种纸盒时，的所有可能的值． 【答案】（1）做成个竖式纸箱和个横式纸箱； （2）在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 【解析】 【分析】（1）设加工了个竖式纸箱和个横式纸箱，根据有正方形纸板张，长方形纸板张，列方程组求解； （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，可得：，根据，，为正整数，可知为的倍数，再根据的取值范围求出的所有可能值． 【小问1详解】 解：设加工了个竖式纸箱和个横式纸箱， 根据题意可得：， 解得：， 答：做成个竖式纸箱和个横式纸箱； 【小问2详解】 解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 由题意得：， 整理可得：， ，，为正整数， 为的倍数， 又， 满足条件的的值为，，，， 答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 24. 如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． （1）求的度数． （2）试判断与的位置关系，并说明理由． （3）将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】（1） （2），见解析 （3）的值为10或20或25 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线及邻补角计算即可； （2）过点G作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （3）根据题意，分三种情况分析：当时，当时，当时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点G作，如图所示： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图所示，当时，延长交于点H，延长交于点O，交于点G， ∵， ∴， 由（1）得，； ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 综上可得：的值为10或20或25． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $