河南省郑州市第六中学2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学

**基本信息** 以中国传统纹样、清洁机器人等真实情境为载体，通过基础（如不等式性质）、能力（如几何变换作图）、创新（如“巧数”新定义）三级梯度，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称（第1题）、反证法（第4题）|传统纹样文化情境，基础概念辨析| |填空题|5/15|平移与对称（第12题）、旋转综合（第15题）|对称美学应用，空间观念考查| |解答题|7/55|分式化简（第16题）、机器人优化（第20题）、几何探究（第22题）|新定义“巧数”创新，实际问题建模，逻辑推理与创新意识融合|

2025-2026学年下期八年级期末学情调研 数学学科 命题人：刘景红 审核人：夏露露 时间：90分钟 分值：100分 注意事项： 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分。考试时间90分钟，满分100分。 2.考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在 试题卷上作答无效。 一、选择题（每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一 个是正确的， 1.中国传统纹样承载着深厚的文化底蕴，下面的纹样中既是轴对称图形又是中 心对称图形的是() 可回 D 2.已知x>y,则下列不等式不成立的是() A.x-1>y-1 B.3x>3y C.-3+6>-3叶6 D.-x<-y 3.下列分式为最简分式的是() A.、2 B.a D._a+1 14a 2a (a+)2 4.“已知在△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90°·”小明想用反证法证明 这个命题是正确的，如果他假设“∠B>90°”，则这个假设与以下哪个选 项相矛盾() A.等边对等角 B.等角对等边 C.三角形的三边关系 D.三角形的内角和定理 5.如图，口ABCD的对角线交于点O,AB-3,AD=5,分别以A、C为圆心， 八年级数学第1页（共6页） 大于OA的长为半径画弧，两弧交于点E,连接OE,交AD于点F,则△ DCF的周长为() A.6 B.8 C.10 D.11 6.某班级为丰富阳光大课间活动，计划购买羽毛球拍和乒乓球拍共15副.已知 羽毛球拍每副120元，乒乓球拍每副80元，活动总费用不超过1500元.设 购买羽毛球拍x副，根据题意可列不等式() A.120x+80(15-x)<1500 B.120x+80(15-x)≤1500 C.80x+120(15-x)>1500 D.80x+120(15-x)≤1500 7.如图，已知∠BDC=120°，∠C=20°，若BE平分∠ABD,且∠BEC-80°， 则∠A的度数为() A.40° B.50° C.60° D.70° B A B 第7题 第10题 8.若248-1可以被60和70之间的某两个数整除，这两个数是() A.62和64 B.63和65 C.64和66 D.65和67 9.已知max{a,b}定义为：max{a,b}= a(a≥b) 例如max{2,3}=3,若关于x b(a<b) 的函数y=max{-x+5,x+1,则y的最小值为() A.0 B.1 C.2 D.3 八年级数学第2页（共6页） 10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),B(1,4),AB=AC,∠BAC=90°， 规定：将△ABC向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，称为 一次“L变换”.则连续经过101次“L变换”后，顶点C的坐标为() A.(102,-200) B.(103,-201) C.(-200,102)D.(-201,103) 二、填空题（每小题3分，共15分） 2(x+1)>-1 11.不等式组 3x-1≤1 的所有整数解的和为 2 12.如图，在平面直角坐标系中，荷花A,B,C,D的坐标分别是(-3,2)，(1,2)， (1,2),(4,2).为了让整个布局关于y轴对称，尽显对称美学，请你选择其 中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标.写出你的操作过程： -4-3-2-10123 4 x (1) （2) 第12题 第13题 13.如图（1)是古建筑中的花窗，图(2)是从其中抽象出的几何图形，则 ∠ABC的度数为 14.如图，在口ABCD中∠D=135°，AD=3V2,AC为对角线，若∠BAC-30°， 则AB的长度为 D m 第14题 第15题 15.如图，在Rt△ABC中，∠A-60°，将边AC绕点C顺时针旋转a(0°<a 八年级数学第3页（共6页） <180°)得到线段CD,CD的垂直平分线m交直线BC于点E,在旋转 过程中，当A,D,E三点共线时，a的度数为 三、解答题（本大题共7小题，共55分) 16.7分)(1)先化简：1-合会品 然后从-2≤x≤2的范围中选取 一个合适的整数代入求值 (2)请写出一条分式化简求值过程中的注意事项. 17.(7分)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC顶点均在格点上，请 按要求画图并解答下列问题： (1)画出△ABC平移后的△A1B1C1,使得C点的对应点是C1点. (2)画出△ABC关于点O成中心对称的△ABC2. (3)点E、F是直线1上的动点，连接EF,若EF=√2，当CE+EF+A3 最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出CE+EF+FA的最小值. C C E E 0 18.(7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠BCD=60°，AD=4,AC为 四边形ABCD的对角线，且AC平分∠BCD. (1)求CD的长. (2)若E,F分别为边AD,BC的中 点，点G为对角线AC的中点， AB=4V5,∠BAC=120°，求EF 的长 八年级数学第4页（共6页） 19.(8分) 材料1：如图1，口ABCD的对角线材料2：小明很快有了思路，他的 AC与BD相交于点O,点F是OD 作图痕迹如图所示： 上一点，请用无刻度直尺和圆规，在 OB上求作一点E,使得四边形AECF 为平行四边形， 图1 图2 (1)请判断小明的作法是否符合题意，并说明理由 (2)请你在图1中作出一种不同于小明的作法.（保留作图痕迹，不写 作法) 20.(8分)随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公 司欲购进A,B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每 小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清 扫33平方米所用时间的2倍。 (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人 3000元/台.公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该 公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本. 218分)定义对于分式品 若存在整数4，使得该分式的值为整数， 则称整数a是该分式的巧数.例如：若a=2时，分式3的值为3，则称 a-1 八年级数学第5页（共6页） 2是分式3 的巧数. -1 (1) “a=-2是分式3 的巧数”，该说法是否正确？请说明理由. -1 (2)求分式3所有的巧数. a-2 (3)对于分式a- 小华通过整理得出a-5_a-2-3-1-3 ，借助问 a-2 a-2a-2 a-2 题(2) 的结论即可得出数此小华的做法，求分式名历 a-2 有的巧数 22.(10分)如图1，△OAB为等边三角形，过点O作直线1LOA,点M是直 线1上的一个动点（不与O重合），连接AM,将线段AM绕点A顺时针 旋转60°得到线段AC,连接MC,作直线BC交1于点D. (1)当点M在O点上方时. ①求证：CB⊥AB: ②连接AD,猜想OM,CD,AD这三条线段之间的数量关系，并 说明理由。 (2)当点M在O点下方时，直接写出OM,CD,AD这三条线段之间的数 量关系 B 图1 备用图 八年级数学第6页（共6页） 2025-2026学年下期八年级期末学情调研 数学学科 命题人：刘景红 审核人：夏露露 时 间：90分钟 分 值：100分 注意事项： 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。考试时间90分钟，满分100分。 2. 考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1.中国传统纹样承载着深厚的文化底蕴，下面的纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ） A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C．﹣3x+6＞﹣3y+6 D． ﹣x＜﹣y 3.下列分式为最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. “已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“∠B≥90°”，则这个假设与以下哪个选项相矛盾（ ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形的三边关系 D． 三角形的内角和定理 5.如图，ABCD的对角线交于点O，AB=3，AD=5，分别以A、C为圆心，大于OA的长为半径画弧，两弧交于点E，连接OE，交AD于点F，则△DCF的周长为（ ） A．6 B．8 C.10 D.11 6.某班级为丰富阳光大课间活动，计划购买羽毛球拍和乒乓球拍共15副.已知羽毛球拍每副120元，乒乓球拍每副80元，活动总费用不超过1500元.设购买羽毛球拍x副，根据题意可列不等式（ ） A．120x +80(15x) ＜ 1500 B. 120x + 80(15x) ≤1500 C．80x + 120(15x) ＞1500 D．80x + 120(15x) ≤ 1500 7.如图，已知∠BDC=120°，∠C=20°，若BE平分∠ABD，且∠BEC=80°，则∠A的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 第7题 第10题 8.若-1可以被60和70之间的某两个数整除，这两个数是（ ） A．62和64 B．63和65 C．64和66 D．65和67 9.已知定义为：.例如=3，若关于x的函数y=，则y的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(1，4)，AB=AC，∠BAC=90°，规定：将△ABC向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，称为一次“L变换”.则连续经过101次“L变换”后，顶点C的坐标为（ ）A．(102,-200) B．(103,-201) C．(-200,102) D．(-201,103) 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的所有整数解的和为　 　 ． 12.如图，在平面直角坐标系中，荷花 A，B，C，D的坐标分别是(-3,2)，(-1,2)，(1,2)，(4,2).为了让整个布局关于y轴对称，尽显对称美学，请你选择其中一朵荷花，通过一次平移实现这一目标.写出你的操作过程： . （1） （2） 第12题 第13题 13.如图（1）是古建筑中的花窗，图（2）是从其中抽象出的几何图形，则 ∠ABC的度数为 °. 14.如图，在ABCD中∠D=135°，AD=，AC为对角线，若∠BAC=30°， 则AB的长度为 . 第14题 第15题 15.如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，将边AC绕点C顺时针旋转（0°＜＜180°）得到线段CD，CD的垂直平分线m交直线BC于点E，在旋转过程中，当A，D，E三点共线时，的度数为 . 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16.（7分）（1）先化简：，然后从2≤x≤2的范围中选取一个合适的整数代入求值. （2）请写出一条分式化简求值过程中的注意事项. 17.（7分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： （1）画出△ABC平移后的△A1B1C1，使得C点的对应点是C1点. （2）画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2. （3）点E、F是直线l上的动点，连接EF，若EF=，当C1E+EF+FA2 最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出C1E+EF+FA2的最小值. 18.（7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=60°，AD=4，AC为四边形ABCD的对角线，且AC平分∠BCD. （1）求CD的长. （2）若E，F分别为边AD，BC的中 点，点G为对角线AC的中点， AB=，∠BAC=120°，求EF 的长. 19.（8分） 材料1：如图1，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点F是OD上一点，请用无刻度直尺和圆规，在OB上求作一点E，使得四边形AECF为平行四边形. 图1 材料2：小明很快有了思路，他的作图痕迹如图所示： 图2 （1）请判断小明的作法是否符合题意，并说明理由. （2）请你在图1中作出一种不同于小明的作法.（保留作图痕迹，不写 作法） 20.（8分）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 21.（8分）定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数.例如：若a=2时，分式的值为3，则称a=2是分式的巧数. （1）“a =2是分式的巧数”,该说法是否正确？请说明理由. （2）求分式所有的巧数. （3）对于分式，小华通过整理得出，借助问 题（2）的结论即可得出的巧数.类比小华的做法，求分式所 有的巧数. 22.（10分）如图1,△OAB为等边三角形，过点O作直线l⊥OA，点M是直线l上的一个动点（不与O重合），连接AM，将线段AM绕点A顺时针旋转60°得到线段AC，连接MC，作直线BC交l于点D. （1）当点M在O点上方时. ① 求证：CB⊥AB； ② 连接AD，猜想OM，CD，AD这三条线段之间的数量关系，并 说明理由. （2）当点M在O点下方时，直接写出OM，CD，AD这三条线段之间的数 量关系. 八年级数学 第 1 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $八年级数学 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 B C D B B C B D B 二、 填空题（每小题3分，共30分） 题号 11 12 13 14 15 答案 0 A点荷花向左平移1个单位 135 3V3-3 40°或1609 长度（合理即可） 三、解答题（共7个大题，共55分） 16.(7分) 【解答】解：原式=1-行×2x方 2X. ,(x+2)2 =1-当 =x-2x+2 x-2-x-2 =X-2-x-2 X-2 =x-2 ….3分 ,分式有意义， x≠2,0，-2， x=-1或x=1: 当x=1时，原式=-年2麦 4 当x=1时，原式=-2=4。…5分 (2)注意运算顺序应先算除法，再算减法.（答案合理即可）..·...7分 17.(7分) （1)△A1B1C1即为所求... ..2分 (2)△ABC2即为所求.....................4分 (3)如图点F的位置即为所求，C1E+EF+AF的最小值为V2+√29....7分 B C B ℉ A2 0 C B2 18.(7分) (1)解：.∠BCD=60°，AC平分∠BCD, ∴.∠DCA=∠ACB=30°， 又AD∥BC, ∴.∠DAC=∠ACB, ∴.∠DCA=∠DAC, ..AD-CD, 又.AD=4, .CD=4.3分 (2)E、F分别为AD、BC的中点，G为对角线AC的中点， .EG、FG分别为△ADC和△BAC的中位线， ∴.EG∥DC,FG∥AB, 又.CD=4,AB=4W3 BG=DC=2 FG=AB=28. 由EG∥DC, .∠EGA=∠DCA=30°， 又.'∠BAC-120°，FG∥AB ∠BAC+∠FGA=180° ∴.∠FGA=60°， ∴.∠EGF=90°， BR=B=2+4 19.(8分) (1)正确. .1分 解：由作图痕迹得：∠EAC=∠ACF, ∴.AE/CF ,口ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴.AO=CO, 又.∠AOE=∠COF ∴.△AOE≌△COF(ASA) .4分 ∴.AE=CF ∴.四边形AECF是平行四边形 5分 (2)如图所示：（合理即可）… 8分 20.(8分) 【解答】解：(1)设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时 清扫(x+3)平方米.由题意，得60=2× 33 x+3 ·……………….2分 解得x=30, ...3分 经检验x=30是原方程的解，且符合题意， .∴.+3=30+3=33， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米. ..4分 (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台.公 司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，则： 设购进n台A型机，则购进(20-)台B型机.由题意，得30什33(20-n)≥630， 解得n≤10， 设总成本为1m元，则1p=2000+3000(20-n), :-1000<0,11≤10， ∴.当=10时，总成本p最低， 最低成本为：-1000×10+60000=50000，此时20-1=20-10=10， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元. …………….8分 21.(8分) 解0)是，把a=-2代入号==-山，-1是整数 所以a=-2是分式3的巧数.… 2分 a-1 (2)因为分式3值为整数，所以a-2是3的因数 a-2 a-2=±1，a-2=±3，则a的值为-1,1,3,5. 所以-1,1,3,5是分式3的巧数5分 a-2 8》生题意得：g:公，且o不等n1。 a2-1(a+1a-1)a+1 又：a=a+1-l=1.1 a+1a+1a+1 :口-0的值为整数， a2-1 1为整数，则a1是1的因数， a+1 ∴.at1=士1 ∴.u=-2或a=0 .分式一C的巧数为-2,0 a2-1 .8分 22.（10分) (1)①证明：由题意得：∠MAC=60°，AC=AM, .△MAC为等边三角形 又.△OAB为等边三角形， .∠OAB=60°，AO=AB, .∠OAB=∠MAC=60°， ∴.∠OAB,∠MAB=∠MAC.∠MAB, .∴.∠OAM=∠BAC, △0AM2△BAC(SAS).2分 ∴.∠MOA=∠CBA, 又.直线1LOA, ∴.∠MOA=∠CBA=90°， .CBLAB.3分 ②证明：猎想cD-0u号40 4分 连接AD,由①可知∠MOA=∠CBA=90° ∠DBA=180°-∠CBA=90°， ∴.∠DOA=∠DBA=90° 在△D0A与R△D149二0 '.Rt△DOA≌Rt△DBA(HL) ∴.∠DAO=∠DAB=30 图1 Rt△DBA中 BDAD 由①△OAM≌△BAC(SAS) ∴.OM=BC ∴.BD=CD-BC=CD-OM 结论：CD-OM= 1D8分 (2) OM±CD=1AD 10分 B B 八年级数学 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B B C B D B 二、填空题（每小题3分，共30分） 题号 11 12 13 14 15 答案 0 A点荷花向左平移1个单位长度（合理即可） 135 3 40°或160° 三、解答题（共7个大题，共55分） 16.（7分） 【解答】解：原式 ，..........................3分 ∵分式有意义， ∴x≠2，0，﹣2， ∴x＝﹣1或x＝1； 当x＝﹣1时，原式； 当x＝1时，原式．...................5分 （2）注意运算顺序应先算除法，再算减法.（答案合理即可）..... ......7分 17.（7分） （1）△A1B1C1即为所求......................................... ...2分 （2）△A2B2C2即为所求............................................4分 （3）如图点F的位置即为所求，C1E+EF+A2F的最小值为.......7分 18. （7分） （1） 解：∵∠BCD=60°，AC平分∠BCD， ∴∠DCA=∠ACB=30°， 又∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴∠DCA=∠DAC， ∴AD=CD， 又∵AD=4， ∴CD=4..................................................................................................3分 （2）E、F分别为AD、BC的中点，G为对角线AC的中点， ∴EG、FG分别为△ADC和△BAC的中位线， ∴EG∥DC，FG∥AB,. 又∵CD=4，AB= ∴..........................................................................5分 由EG∥DC， ∴∠EGA=∠DCA=30°, 又∵∠BAC=120°,FG∥AB ∠BAC+∠FGA=180° ∴∠FGA=60°, ∴∠EGF=90°, ∴...................................................................7分 19.（8分） （1）正确.................................................................................................................1分 解：由作图痕迹得：∠EAC=∠ACF， ∴AE//CF ∵ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴AO=CO， 又∵∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF（ASA）..............................................................................4分 ∴AE=CF ∴四边形AECF是平行四边形................................................................5分 （2）如图所示：(合理即可)...................................................................................8分 20.（8分） 【解答】解：（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫（x+3）平方米．由题意，得，..................2分 解得x＝30， .........3分 经检验x＝30是原方程的解，且符合题意， ∴x+3＝30+3＝33， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． .....4分 （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，则： 设购进n台A型机，则购进（20﹣n）台B型机．由题意，得30n+33（20﹣n）≥630， 解得n≤10， ......................6分 设总成本为w元，则w＝2000n+3000（20﹣n）， ∵﹣1000＜0，n≤10， ∴当n＝10时，总成本w最低， 最低成本为：﹣1000×10+60000＝50000，此时20﹣n＝20﹣10＝10， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/7 10:34:56；用户：寸草心；邮箱：orFmNt9qjjpSGhD-Pa _oUSPgi1sQ@weixin.jyeoo.com ；学号：22643...................8分 21.（8分） 解(1)是,把a =2代入，1是整数 所以a =2是分式的巧数........................................2分 （2） 因为分式值为整数，所以a2是3的因数. a2=±1，a2=±3，则a的值为1，1，3，5. 所以1，1，3，5是分式的巧数..................................................................5分 （3）由题意得：，且， 又∵， ∵的值为整数， ∴为整数，则a+1是1的因数， ∴a+1=±1 ∴a=或a=0 ∴分式的巧数为.........................................................................8分 22.（10分） （1）①证明：由题意得：∠MAC=60°，AC=AM， ∴△MAC为等边三角形. 又∵△OAB为等边三角形， ∴∠OAB=60°，AO=AB， ∴∠OAB=∠MAC=60°， ∴∠OAB∠MAB=∠MAC∠MAB， ∴∠OAM=∠BAC， ∴△OAM≌△BAC（SAS）......................................................................................2分 ∴∠MOA=∠CBA， 又∵直线l⊥OA， ∴∠MOA=∠CBA=90°， ∴CB⊥AB.................................................................................................................3分 ②证明：猜想.................................................................................4分 连接AD，由①可知∠MOA=∠CBA=90° ∠DBA=180°∠CBA=90°， ∴∠DOA=∠DBA=90° 在Rt△DOA与Rt△DBA中 ∴ Rt△DOA≌Rt△DBA(HL) ∴∠DAO=∠DAB=30° Rt△DBA中 由①△OAM≌△BAC（SAS） ∴OM=BC ∴BD=CDBC=CDOM .........................................................................................................7分 结论：............................................................................................8分 （2）.................................................................10分 学科网（北京）股份有限公司 $