专项训练06 角的动态旋转问题（巩固培优）新七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以动态角表示公式为基础，通过等量关系建立与分类讨论，系统解决旋转中的多解、定值、数量关系等问题，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个方法要点|动态角表示公式（顺/逆时针）、核心等量关系（相等/和差/倍数）、分类讨论策略（射线位置/多解验证）|从动态角表示（概念）到等量关系（原理）再到分类讨论（应用），形成“表示-建模-验证”逻辑链| |5类题型|每类2题|多解问题用分类讨论、定值问题用等量关系、数量关系用方程思想、运动时间用参数方程、新定义问题用概念转化|题型与方法一一对应，覆盖旋转问题核心考法，典例含三角板旋转、新定义等中考情境|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练06角的动态旋转问题 知识复盘卡 【知识点1二次根式的定义】 1.动态角的表示（含时间参数） -基本公式：角∠AOB从OA边开始，以速度w(度/秒)旋转，时间为t: 顺时针旋转：∠AOB=∠AOB0-wt（角度减小)： 逆时针旋转：∠AOB-∠AOB+wt(角度增大)。 多射线旋转：分别用含t的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数=大角-小角（必要时加绝 对值)。 -关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。 2.核心等量关系：角度相等、和差、倍数 -角度相等：如∠AOP=∠POB,列方程Mt=∠AOB0-炒t。 角度和/差为定值：如∠AOP+∠POB=∠AOB(恒成立)：∠AOP-∠POB=C(需讨论射线位置)。 -倍数关系：如∠AOP=2∠P0B,列比例方程Mt=2(∠AOB-炒0。 -平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为90）。 3.分类讨论与多解验证 -射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP在∠AOB内部，或旋转到外部)。 -相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解t,注意周期性（旋转超过360°会重 复)。 -多解验证： -角度为正（∠>0°）： -旋转时间仑0； 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止)。 -注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。 培优拓展训练 1/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 了巩固提升练 【题型1旋转中求多解问题】 1.如图①，点0在直线AB上，过0作射线0C,∠B0C=120°，三角板的顶点与点O重合，边0M与OB 重合，边ON在直线AB的下方.若三角板绕点O按I0°/S的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 第一s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC(图②). M A00Bi ① ② 2.在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状.已知∠D=30°， ∠E=60°，∠B=∠C=45°，若保持三角板ADE不动，将三角板ABC绕点A在平面内旋转，当AB⊥DE 时，∠EAC的度数为一 E 【题型2旋转中求的角定值问题】 3.已知：如图，直线AB和CD相交于点O(∠AOC为锐角)，点M在直线AB上方，∠BOM=90°， ON平分∠AOD B B 备用图 (1)若∠COM=52°，求∠DON的度数： 2/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②试说明：∠D0N-∠C0M的度数是一个定值，并求出这个定值的度数 ⊙法∠0C-片∠c01,试求∠DON的度数。 4.如图1，先画出直线EF,然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB)的顶点与60°角( ∠COD)的顶点重合，且边OA,OC都在直线EF上. 图1 图2 图3 E 备用图 (1)LBOD=_度： (②)如图2，固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度Q,当边OB第一次落 在射线OF上时停止。 ①当OB平分∠EOD时，求旋转角a的度数； ②如图3，当OB运动到∠COD内部时，∠BOD+∠AOC是定值，求这个定值； ③当∠BOC=2∠AOD时，直接写出旋转角a的度数为_： 【题型3旋转中探究角的数量关系问题】 5.如图，∠E0C=90°，请你根据图形，求解下列问题： B 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)在∠EOA,∠AOC,∠EOB,∠EOD中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并 用“<”把它们连接起来； (2)∠BOD是哪两个角的和？ (3)写出∠EOD,∠EOC,∠D0C,∠EOA中某些角之间的两个等量关系； (4)如果∠EOD=∠COB,则∠BOD的度数为 6.已知O为直线AB上一点，射线ODOC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC=120°， ∠D0E=80°. B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数： (2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°(0<n<180且n≠60)，∠FOA=3∠AOD.当 ∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系 是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系 【题型4旋转中求角的运动时间问题】 7.如图，若∠AOB是平角，∠AOC=30°，将直角三角板MON的直角顶点与点O重合，ON与OA重合. 将三角板绕点O以每秒2°的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t秒， A N B A B (1)当ON平分∠AOC时，计算∠AON与t的值 (2)在三角板MON旋转的同时，OC以每秒4°的速度顺时针旋转，当OC平分∠MOB时，求t的值。 8.如图1，直线AB和直线CD相交于O,且∠BOD=a,点M,N分别是射线OA、OB上一点，射线 OM绕点O以10°/s的速度逆时针旋转，射线0N绕点O以30°/s的速度顺时针旋转，旋转时间为(0≤1≤6)， 其中OQ为∠MON的角平分线. 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D 图1 图2 备用图 (1)当t=3s时，∠MON=_. (2)如图2，当1为多少秒时，OW,OM恰好分别为∠BOD和∠AOD的角平分线？并求出此时C的度数. (3)当a=120°，且∠D00=20°时，求旋转时间t的值？ 【题型5旋转中探究角的新定义型问题】 9.【问题背景】如图1，已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB,∠AOC和∠BOC三个角中有一个角 的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“量尺金线”. M 图1 图2 【问题感知】 (1)一个角的平分线 这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 (2)如图2，∠MPN=60°.若射线PO是∠MPN的“量尺金线”，则∠QPN的度数为： 【问题推广】 (3)在(2)中，若∠MPV=x°，0°<x≤60°，射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆 时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为(S).当t为何值时，射线PM是 ∠FPW的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 10.【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的2倍，则称这条射线是 5/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知角的“奇妙线”. 例如：图1中∠AOC=2∠BOC,则射线OC是∠AOB的“奇妙线”. (1)一个角的角平分线一这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 (2)如图2，若∠MPN=60°，在∠MPN内部画一条射线PO,使PO是∠MPN的“奇妙线”，求∠MPO 的度数： 【变式拓展】 (3)如图3，若∠MPV=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始以每秒10°的速度逆时针旋转，同时射线 PM以每秒6°的速度也绕点P逆时针旋转，当射线PQ与射线PM重合时全部停止运动.设旋转时间为t秒， 请直接写出t为何值时，射线P№是∠MPN的“奇妙线” M 图1 图2 图3 ★能力培优练 1.生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形， 且被等分成了8份，三角形OAB是水车的支架，∠A0B=60°.水车的支架固定不动，水车的主体可绕着 圆心O旋转.在图②中，若OC平分∠AOB,则∠BOD的度数为() 图① 图② A.5° B.15° C.20 D.无法确定 2.题目：“一块含30°角的直角三角板ABC和一块含45°角的直角三角板BDE拼成如图1所示的图案后， 三角板BDE固定不动，将三角板ABC绕顶点B旋转一周，如图2.当∠CBE=∠ABD时（注： 6/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBE,∠ABD均指图中不超过180°的角)，求旋转角a的度数.”对于其答案，甲答：a=105°，乙 答：a=285°，则正确的是() E 图1 图2 A.只有甲答的对 B.只有乙答的对 C.甲、乙答案合在一起才完整 D.甲、乙答案合在一起也不完整 3.如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°.△C0D固定不动，△A0B绕着0 点顺时针旋转a(0°<α<180)，若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠B0D=60°，则∠A0C的度数 为() B( 图1 图2 A.150° B.120° C.60° D.30° 4.定义：若两个角的度数差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的 “优角”.如∠a=100°，∠B=40°，∠a-∠=60°，则∠a和∠B互为“优角”.如图，∠A0B=120°， 射线OC平分∠AOB,∠EOF在∠AOB的内部.若∠EOF=60°，则图中互为“优角”的共有() A.6对 B.7对 C.8对 D.9对 5.一副三角板ABC、DBE,如图1放置，（∠D=30°、∠BAC=45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转 7/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一定角度，如图2所示，且0°<∠CBE<90°，有下列四个结论： D D B E 图1 图2 ①在图1的情况下，在∠DBC内作∠DBF=∠EBF,，则BA平分∠DBF； ②在旋转过程中，若BM平分∠DBA,BN平分∠EBC,∠MBN的角度恒为定值： ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次： ④∠DBC+∠ABE的角度恒为105° 其中正确的结论个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至AE⊥BC时，∠BAD的度数 为 度 7.如图，己知∠AOB=180°，∠AOC=110°，现将射线OA绕点O顺时针匀速旋转，射线OB,OC保持不动， 当射线OA与射线OB重合时停止旋转.当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋 转的角度为 A 0 B 8定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线 叫做这个角的三分线.显然，一个角的三分线有两条.如∠AOB=120°，OC,OD是∠AOB的两条三分 线，以点O为中心，将∠COD按顺时针方向旋转n°(n<90)得到∠COD,当OA恰好是∠COD的三分 8/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线时，n的值为一 B 9.一副直角三角板按如图①放置，点B、OD在同一直线上，∠B=∠D=90°，∠AOB=45°， ∠COD=60°，△AOB和△COD同时以相同的速度绕点O分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当 ∠AOB和∠COD的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了一°. YD 图① 图② 10.定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将 这条射线称为这个角的n+1分位线.例如：如图1，∠MOP=4∠NOP,则OP为∠MON的5分位线： ∠NOQ=4∠MO2,则O0也是∠MON的5分位线. M 图1 图2 (1)如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP,O0分别为∠AOC与∠BOC的3分 位线，（∠C0P>∠P0A,∠CO0>∠Q0B),∠A0C=150°，则∠PO0=一： (2)如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，己知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的 5分位线，且∠MON=96°，则∠AOC= 11.已知O为直线AB上的一点，∠COE=90°，AB⊥MN 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 东 图① 图② 图③ (I)如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方，若∠CON=17°，则射线OE的方 向是 若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF恰好平分 ∠COM.若∠EOF=20°，求∠AOF的度数： (2)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线OF仍然平分∠COM,∠CON与∠AOF 之间存在怎样的数量关系？请说明理由。 12.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使∠B0C=135°，将一个含45°角的直角三角尺的 一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方. 1359 图1 图2 图3 (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM=_；在图2中，OM是否平分 ∠COW？请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究： ∠AOM与∠COW之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为_（直接写出结果） 13.如图1，把一副三角板拼在一起，边OA,OC与直线EF重合，其中∠AOB=45°，∠COD=60°，此 时易得∠BOD=75 10116 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ① ② ③ (1)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中， 三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒， ①当t=3时，∠BOD=】 ②当t为何值时，∠AOE=4∠BOD? (②)如图3，在(1)的条件下，若OM平分∠BOE,ON平分∠AOD ①当∠AOE=30°时，∠MON=°； ②请问在三角板AOB的旋转过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果 不发生变化，请直接写出∠MON的度数， 14.如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析 如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究， 定义两手手心位置分别为A,B两点，两脚脚跟位置分别为C,D两点，A,B,C,D,E,O在同一平面 内，O为定点，且OE垂直水平线1，将手脚运动看作绕点O进行旋转： 77777 2 图1 图2 图3 图4 (1)填空：如图2，A,O,B三点共线，且∠AOC=∠BOC,则∠AOC= (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A,O,B三点共线，却不在水平方向上，且 ∠40D:∠BOC=5:3求∠40C-∠B0D的度数 (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，OE平分∠C0D,且∠COD=30°，开始运动前A, O,B三点在同一水平线上，OA,OB同时绕点O逆时针旋转，OA旋转速度为25°Is，OB旋转速度为 50°/s,运动时间为s,当OA旋转到与OC重合时，运动停止.在运动过程中，请帮助北北用等式表示 ∠AOE与∠BOD的数量关系，并说明理由. 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.【概念学习】定义：从∠(45°<∠a<90)的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分 得的两个角中有一个角与∠的和为90°，则称该射线为∠0的“分余线”. 【深入思考】 图1 图2 (1)如图1，∠A0B=80°，∠A0C=70°，则射线0C一∠A0B的“分余线”：（填：“是”或“不 是”) (2)若OC平分∠AOB,且OC为∠AOB的“分余线”，求∠AOB的度数： (3)如图2，∠AOB=160°，在∠AOB内部作射线OC,OM,使OM为∠AOC的平分线，在∠BOC的内部 作射线ON,使∠BON=2LCON.当OC为∠MON的“分余线”时，∠BOC=度， ★创新拓展练 1.如图1，已知，点O为直线AB上一点，OC在直线AB的上方，∠A0C=60°.一直角三角板的直角顶点 放在点O处，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. 图1 图2 (1)在图1的时刻，∠BOC的度数为 °，∠CON的度数为 (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分∠BOC时，求∠BON的度数； (3)在三角板绕点O旋转一周的过程中，求∠COM与∠AON之间的数量关系， 2.如图1，点0在直线AB上，∠B0C=60°.己知∠PO0=60°，∠PO0的两边OP,O0分别与射线 OB,OC重合，现将∠PO绕点O按每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒.（题目中所指 12116 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的角均大于0°且小于180°) A P B A 图1 图2 备用图 (①)如图2所示，当0<t<90时，若∠BOP=4∠COP,且射线OP在∠BOC内部，则∠BO0= 此时t的值为. (2)当0<t<90时，若OF平分∠COO,请探究∠BOF与∠COP的数量关系，并说明理由. 3.已知∠AOB补角的度数是∠AOB度数的5，OC,OM,ON都是∠4OB内的射线. B B O B 备用图1 备用图2 (1)如图10，若OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,当OC绕点O在∠AOB内旋转时，求∠MON的度数： (2)若OD也是∠AOB内的射线，且∠COD=25°，OM平分∠BOD,ON平分∠AOC. ①当∠COD绕点O在∠AOB内旋转时，求∠MON的度数： ②若起始位置时∠BOC=15°，当∠C0D在∠AOB内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时， 2∠AON=3∠BOM.求t的值. 4.综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题 吧.已知∠AOB=120°，射线OE,OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线. B 备用图1 备用图2 (I)【初步感知】若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数： (2)【探究发现】若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，请判断∠EOF的大小是否为定值，并说明理由： (3)【拓展延伸】若射线OC从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过180°，其余条件不 13116 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变，当LBOE=3∠COF时，请借助备用图探究LEOC的大小，并直接写出∠EOC的度数（不写计算过 程). 5.定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的3'则这条射线叫原 来角的“新生线”. 图1 图2 图3 (1)如图1，∠MOP=2∠PON，,射线OP∠MON的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中，∠AON=72°，射线OC在∠AOM的内部，并且是∠AOM的“新生线”，OD平分 ∠COM,求∠DOM的大小： ②如图3，OA⊥MN,∠AOB=44°，射线OC从OM出发绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，运动时间为 t秒，若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD 平分∠AOB.当射线OC与射线ON重合时，运动都停止.当射线OC是∠MOD的“新生线”时，直接写 出t的值. 6.如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起（∠ACD=∠BCE=90°）. 观察分析： 图 图2 图3 (I)若∠DCE=35°，则∠ACB=_；若∠ACB=150°，则∠DCE=_: 猜想探究： (2)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图2，若将两个同样的三角板含60(2DAC=∠EAB=60)锐角的顶点A重合在一起，请你猜想 14/16 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAB与∠CAE有何关系，请说明理由； ④如图3，如果把任意两个锐角∠AOB、∠COD的顶点O重合在一起，己知LAOB=a,∠COD=B( a、B都是锐角)，请你直接写出∠AOD和∠BOC与“B之间的关系. 7.将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON,∠OBC=90°， ∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°)，保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒6°的 速度顺时针方向旋转t秒， 1 BM O DA B 0 0 D 图1 图2 图3 备用图 ()如图2，当t=秒时，OM平分∠AOC,此时∠NOC-∠AOM=_: (2)继续旋转三角板MON,如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎样 的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含）： (3)直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒2° 的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时，两个三角板同时停止运动. ①当t=秒时，∠M0C=15°： ②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系（数量关系中不能含t), 8.新定义：若两个角的和为120°，则称这两个角互为“满分角”；例如∠1=65°，∠2=55°，则∠1与∠2 互为“满分角”. D 图1 备用图 图2 备用图 【阅读理解】 (I)如图1，如果∠AOB=50°，射线OD在射线OA上方，∠BOD与∠AOB互为“满分角”，则∠AOD= 【初步应用】 (2)若OC,OE为∠AOB内部的两条射线，射线OE平分角∠AOB,若∠BOC与∠AOB互为“满分 角”，且满足∠COE=15°，求∠B0C的值. 【解决问题】 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，己已知∠AOB=100°，射线OM从OA出发，以每秒12°的速度绕0点顺时针旋转，同时，射线 ON从OB出发，以每秒8°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为秒， ①作∠BOM的平分线OP,当0<t<5时，∠MOP与∠MON互为“满分角”，求运动时间t的值. ②若5<t<12.5,当t=一，时，由OM、ON、OB三条射线形成的角互为“满分角”· 16116 专项训练06 角的动态旋转问题 【知识点1 二次根式的定义】 1. 动态角的表示（含时间参数） - 基本公式：角∠AOB从OA边开始，以速度w（度/秒）旋转，时间为t ： - 顺时针旋转：∠AOB = ∠AOB0 - w t（角度减小）； - 逆时针旋转：∠AOB = ∠ AOB0 + w t（角度增大）。 - 多射线旋转：分别用含 t 的式子表示各条射线与起始边的夹角，角的度数 = 大角 - 小角（必要时加绝对值）。 - 关键：确定旋转方向（顺/逆时针）和起始角度（通常以某边为基准）。 2. 核心等量关系：角度相等、和差、倍数 - 角度相等：如∠AOP = ∠POB，列方程 w1 t =∠AOB0 - w2 t 。 - 角度和/差为定值：如∠AOP + ∠POB =∠AOB（恒成立）；∠AOP -∠POB = （需讨论射线位置）。 - 倍数关系：如∠AOP = 2∠POB，列比例方程w1t = 2(∠AOB0 - w2 t)。 - 平分线/垂直：平分线条件（角度相等）；垂直条件（夹角为 90°）。 3. 分类讨论与多解验证 - 射线位置不确定：射线可能在角内部或外部，需分情况讨论（如OP 在∠AOB内部，或旋转到外部）。 - 相遇/追及：两射线重合（角度相等）或夹角为定值时，列方程解 t ，注意周期性（旋转超过360°会重复）。 - 多解验证： - 角度为正（∠> 0°）； - 旋转时间 t≥0； - 是否在限定范围内（如某射线只旋转一定角度后停止）。 - 注意：绝对值方程或三角方程可能产生多解，需结合运动实际筛选。 【题型1 旋转中求多解问题】 1．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24/24或6 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 2．在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：当时，，分以下两种情况： 如图1所示， ， ； 如图2所示， ， 综上所述，的度数为或 根据答案为：或． 【题型2 旋转中求的角定值问题】 3．已知：如图，直线和相交于点O（为锐角），点M在直线上方，，平分． (1)若，求的度数； (2)试说明：的度数是一个定值，并求出这个定值的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义； （1）先求解，可得，再结合角平分线的含义可得答案； （2）先求解，证明，结合，进一步可得结论； （3）先求解，结合，可得，求解，结合（2）的结论可得答案. 【详解】（1）解：，，， ， 又， ， 又平分， ； （2）解：， ， 又平分， ． 又， ， ． （3）解：， ， ∵， ， ． 由（2）知：， ； 4．如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上． (1) 度； (2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止． ①当平分时，求旋转角α的度数； ②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值； ③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可； （2）①根据图形中角的和差关系进行计算即可； ②根据图形中角的和差关系进行计算即可； ③分两种情况，当在内部时，当在内部时，利用角的和差表示出和，然后根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）如图1，， 故答案为：； （2）解：①当平分时， ∴， ∴∠， 即旋转角； ②如图3，，理由如下： ； ③如图2，当在内部或与重合时，即， 由题意得，， ， 当时，即，解得． 如图3，当在内部与重合时，即， 当时，即，解得， 故答案为：或． 【题型3 旋转中探究角的数量关系问题】 5．如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角， (2) (3)，（答案不唯一） (4)90 【知识点】角的比较、角的分类、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解； （2）根据图形即可求解； （3）根据图形即可求解； （4）由题意可知，结合，即可得． 【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角， 则； （2）由图可知，； （3）由图可知，，（答案不唯一） （4）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90． 6．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论； （2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 【题型4 旋转中求角的运动时间问题】 7．如图，若是平角，，将直角三角板的直角顶点与点O重合，与重合．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t秒． (1)当平分时，计算与t的值 (2)在三角板旋转的同时，以每秒的速度顺时针旋转，当平分时，求t的值． 【答案】(1)，秒 (2)秒 【分析】本题考查了角的平分线的计算、角的和差，找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，再根据路程=速度时间即可得出答案； （2）先根据路程=速度时间结合角的和差表示出，再根据角平分线的定义得出，然后表示出，最后根据建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）当平分时， ， ， 每秒速度旋转，旋转所需要时间（秒） （秒）； （2）依题意可得，， 平分， ， ，， ， （秒） 答：当平分时秒． 8．如图1，直线和直线相交于，且，点分别是射线、上一点，射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为，其中为的角平分线． (1)当时， ． (2)如图2，当为多少秒时，恰好分别为的角平分线？并求出此时的度数． (3)当，且时，求旋转时间的值？ 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）当时，，，根据计算即可． （2）设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意，得，，根据角的平分线，得，即，列出方程解答即可． （3）设运动秒时，根据题意，得，，根据，且，分点Q在左侧和右侧两种情况，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为， ∴当时，，， ∴． 故答案为：． （2）解：设运动秒时，恰好分别为的角平分线，根据题意，得，， ∵恰好分别为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）解：设运动秒时， 当点Q在右侧时， 根据题意，得，， ∴． ∵为的角平分线． ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点Q在左侧时，如图， 根据题意，得，， ∴． ∵为的角平分线． ∴． ∵， ∴， 根据题意，得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，，且． 【题型5 旋转中探究角的新定义型问题】 9．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【知识点】用代数式表示式、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 10．【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分， 得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”， 故答案为：是； （）当平分时， ∴， 当时， ∴， ， ∴， 则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图， 则，，则， ∵射线是的“奇妙线”， ∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：， 综上可知：或或． 1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，三角形是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心旋转．在图②中，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．根据周角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，由； 【详解】解：由题意得，， ∵，平分， ∴， ∴， 故选：B． 2．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查与三角板有关的计算，分两个三角板重合有得重合部分和不重合两种情况，进行讨论求解，判断即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴， 当两个三角板不重合时，如图： 则：， 当两个三角板有重合部分时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故甲、乙答案合在一起才完整； 故选C． 3．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角板中角的计算，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键． 4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 6．如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至时，的度数为 度． 【答案】45 【分析】本题考查三角板中角度的计算，根据三角板中角度，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 当时，则：， ∴， ∴； 故答案为：45． 7．如图，已知，现将射线绕点顺时针匀速旋转，射线保持不动，当射线与射线重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关系解决此题． 【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形： ①当射线旋转到的外部时，． ∴射线旋转的角度为． ②当射线旋转到内部时，． ∴， ∴射线旋转的角度为， 综上：射线旋转的角度为或． 故答案为：或． 8．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可． 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：， 所以； ②当时，如图， 则， 所以，． 故答案为：或． 9．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 10．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 11．已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）求出的度数，根据方向角的定义，即可得到射线的方向，根据角的和差关系，角平分线的定义，推出； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东； ∵，， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．如图，点O为直线上一点，过点O作射线OC，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果） 【答案】(1)，平分，见解析 (2)相等，见解析 (3)4.5秒或40.5秒． 【分析】（1）根据和含角的直角三角尺的特点，算出，得到，即可解题； （2）根据题意算出，，利用，，即可解题； （3）根据直线恰好平分锐角，且，可分为当在直线的下方，且，以及当在直线的上方，且，再根据三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，建立关于t的等式即可求解． 本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，， 故答案为：； 平分．理由如下： ， ， 而， ，则平分． （2）解：． 理由如下：如图3， ， ， ， ， ． （3）解：直线恰好平分锐角，且， 或，即， ①当在直线的下方， 有（秒）， ②当在直线的上方， （秒）． 故答案为：4.5秒或40.5秒． 13．如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【详解】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 14．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，E，O在同一平面内，O为定点，且垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O进行旋转：    (1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且，则________°； (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，求的度数； (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，平分，且，开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，，同时绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，运动时间为，当旋转到与重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． （）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）先求出旋转到与重合时，，由的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，，D三点共线前和点B，，D三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ， ∴； （3）解：∵平分，且， ∴， ∴此时， 则旋转到与重合时，， ∴； 运动停止时，即时，旋转的角度为， 当点D，，B三点共线时，， ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 15．【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 1．如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 2．如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)108，24 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）设，则，根据得出，进而得出，根据绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，进而得出的值； （2）设，分两种情况，求出则，由平分，得出，即可求解； 【详解】（1）解：设，则， ，则， 解得：， ， ∵绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转， （秒）， 故答案为： 108，24 ． （2）解：当在内部，如图所示， 设， ， ， 平分， ， ， ， 即； 当时，在的外部（时，重合）， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 综上所述：或． 3．已知补角的度数是度数的，，，都是内的射线． (1)如图10，若平分，平分，当绕点在内旋转时，求的度数． (2)若也是内的射线，且，平分，平分． ①当绕点在内旋转时，求的度数； ②若起始位置时，当在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值． 【答案】(1) (2)①或 ②15 【分析】题目主要考查角平分线的计算，一元一次方程的应用，理解题意，结合图形，分情况分析是解题关键． （1）设的度数为，根据题意列出方程得出，然后利用角平分线计算即可； （2）①根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：情况一：如图1，当在右侧时，情况二：如图2，当射线在左侧时，结合图形求解即可；②根据旋转及角平分线作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：设的度数为． 由题意得， 解得． 所以． 因为平分，平分． 所以，． 所以 ． （2）①因为平分．平分， 所以，． 分类讨论，情况一：如图1，当在右侧时， ． 情况二：如图2，当射线在左侧时， ． 综上所述，的度数为或． ②如图3．因为起始位置时，，所以在的右侧． 因为在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒． 所以． 因为射线平分． 所以． 因为． 所以． 因为射线平分． 所以． 又因为， 所以． 解得． 答：的值为15． 4．综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 【答案】(1)； (2)，是一个定值，理由见解析； (3)的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义和角的和差关系求出，即可； （3）设，分在内部和在外部，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 射线分别是和的角平分线， ， ； （2）解：，是一个定值，理由如下： 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 故是一个定值，且． （3）解：或． 设，分两种情况： ①如图1，当在内部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图2，当在外部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 5．定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 6．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4) 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系． ()若，根据计算的度数，再利用和计算的度数；若， 同理，反之计算可得结果； ()先计算：，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）， 理由：∵，， ∴ ∵， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； （4）， 理由：∵， ， ， ． 7．将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 8．新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $