《第2章一元二次方程》假期自主提升综合练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》假期自主提升综合练习题，含选择、填空、解答题，覆盖单元核心知识，注重基础巩固与实际应用，适配暑假自主学习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|根的判别式、配方法、方程解迁移、增长率|结合新能源充电桩（第4题）等时代情境，设“伙伴方程”创新题（第7题）| |填空题|7|方程解应用、根的判别式、根与系数关系|等腰三角形与方程结合（第11题），直角三角形边长与方程综合（第13题）| |解答题|6|方程求解、根的判别式证明、几何与方程综合、利润问题|劳动教育实践基地（第6题）、运动品牌利润（第20题）体现模型意识，分层次考查运算能力与推理能力|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》 假期自主提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 4．随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2024年底，绵阳全市约有4万个充电桩，根据规划到2026年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有个人患了流感，设平均每轮每人传染个人，则下列等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 6．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 7．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、填空题 8．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 10．已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 11．已知等腰中，，，是关于的一元二次方程（是常数）的两实数根，则的值为_____． 12．关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 13．已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为____． 14．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 三、解答题 15．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 16．解方程 (1)；（配方法） (2)； (3)； (4)．（公式法） 17．已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 19．已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 20．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【详解】选项A：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项C：∵，，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项D：∵，，，， ∴， 方程有两个相等的实数根，符合题意． 2．A 【分析】先将常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，最后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方即可． 【详解】解： ， ， ， ． 3．B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 4．C 【分析】设从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为，根据2024年和2026年全市充电桩的数量建立方程求解即可． 【详解】解：设从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为， 由题意得， ， 整理得. 解得，（增长率不能为负，舍去）. ∴年平均增长率为． 5．A 【分析】先理清每轮传染后的患病人数变化，根据传染过程逐步推导总人数，即可列出对应方程． 【详解】解：设平均每轮每人传染了个人， ∵初始有1人患流感， 第一轮传染后，新增个患病人数，总患病人数为个， 第二轮传染中，现有个病人，每人传染人，因此新增患病人数为个， ∴两轮传染后总患病人数为，即． 6．B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米， 由题意，得：. 7．D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 8．2028 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 9．且 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的取值范围是且． 10． 【分析】根据根与系数的关系，以及方程有两个不相等的实数根时，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 11．或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义、根的判别式以及三角形三边关系．分两种情况讨论，为等腰的腰，为等腰的底，结合一元二次方程根的定义、根的判别式以及三角形三边关系，即可求出的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为等腰的腰时， 则或， ，是一元二次方程的两实数根， 将代入方程得： ， 解得， 此时原方程为， 解得，， 三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； ②当为等腰的底时， 则，即一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式， 即， 解得， 此时方程的两根相等，均为，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意， 综上，的值为或． 12．， 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 13．或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 【详解】解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 14． 【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键． 【详解】解：设参加比赛的足球队有支. 根据题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合实际意义，舍去）， 参加比赛的足球队有支． 15．(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 16．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1） 移项，配方求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； （3）配方求解即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 配方得，， ， 开方，得， 所以，； （2）解：， 等式左边提取得，， 移项得，， ∴， ∴或， 解得，，； （3）解：， 二次项系数化为1得，， 移项配方，，即， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 整理得，， ∴，，，， ∴， ∴，． 17．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． （3）判断的正负即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根； （2）该方程的两个实数根为，， ， ； （3）由（2）知，， ， ， ． 18．(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 19．(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 20．(1) (2)88元 (3)公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列一元二次方程，求出x的值，然后列出一元一次不等式，求出不等式的解集，即可求出答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得， 与的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， ∵要求优惠力度最大， 取， ． 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 根据题意得， 整理得， 解得． ∵每双运动鞋的利润不低于成本价的， ， 解得：符合题意， 公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元． 学科网（北京）股份有限公司 $