幂函数专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦幂函数概念、性质及应用，以知识点分层设题，构建从基础到综合的逻辑训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数概念|3题|辨析幂函数定义，强化形式识别|从概念本质出发，奠定后续性质学习基础| |解析式|4题|待定系数法求解析式，结合图像过点|概念应用，连接定义与具体函数表达式| |定义域/值域|5题+4题|结合解析式与图像求范围，复合函数值域|性质深化，体现概念对范围的约束作用| |图像/定点|5题+4题|图像识别与定点求解，多函数图像比较|直观表征，建立数与形的联系| |单调性/奇偶性|6题+6题|单调性判断、单调区间求解，奇偶性辨析|性质综合，关联函数图像与代数特征| |性质应用|6题|解不等式，结合单调性与奇偶性|能力提升，实现性质到问题解决的迁移|

3.3 幂函数 知识点一 幂函数概念 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 3．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 知识点二 幂函数解析式 4．已知幂函数的图象过点，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 5．若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 6．已知幂函数的图象经过点，，则为（   ） A． B． C． D． 7．若幂函数的图象经过点，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 知识点三 幂函数定义域 8．已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 10．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 12．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 知识点四 幂函数值域 13．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 14．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 15．若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为1 D．的最小值为0 知识点五 幂函数图像 17．若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 18．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 19．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 20．图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 21．在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 知识点六 幂函数定点问题 22．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 23．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 24．已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 25．函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点七 幂函数的单调性 26．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 27．在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 28．幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 29．若幂函数的图象过点，则（   ） A．在上单调递减，且图象过点 B．在上单调递增，且图象过点 C．在上单调递减，且图象过点 D．在上单调递增，且图象过点 30．下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 31．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 32．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 知识点八 幂函数奇偶性、单调性 33．若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 34．若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 35．已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 36．若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 37．已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（   ） A． B． C．0 D．2 38．已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 39．（多选）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 40．（多选）下列有关幂函数（为常数）的说法正确的是（    ） A．当时，此时幂函数（为常数）为偶函数 B．当时，此时幂函数（为常数）为奇函数 C．幂函数（为常数）的图象始终经过点 D．幂函数（为常数）的定义域始终包含 41．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．幂函数始终经过点和 D．若幂函数图象关于轴对称，则 知识点九 幂函数性质应用（解不等式） 42．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 43．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D A C A C C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D B C D B B D A B D 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 A B B D C C D C A B 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答案 C A C B D A B D BD ABC 题号 41 42 43 44 45 46 答案 ACD D B C D D 题号 答案 1．D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 2．C 【分析】根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. 3．C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 4．D 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求. 【详解】由题可设，且. 所以，所以，所以，所以. 故选：D. 5．A 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，即，所以，解得． 故选：A 6．C 【分析】设幂函数，根据函数经过，求出的值，确定函数解析式，再代入，即可得解. 【详解】设幂函数，则，解得， 故，则，则. 故选：C. 7．A 【分析】利用待定系数法得，再代入解不等式即可. 【详解】设，，代入点得，解得. 则，则，即，即，解得. 故选：A. 8．C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 9．C 【分析】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 10．D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 11．D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 12．B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 13．C 【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可. 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 14．D 【分析】先由已知条件求得，再利用配方法求二次函数的最值即可得解. 【详解】解：已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，）， 则，即，所以， 所以， 所以y＝f（x2）﹣2f（x） ， 当且仅当，即时取等号， 即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于， 故选：D. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了二次函数求最值问题，属基础题. 15．B 【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可． 【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为， 则函数的值域要包括，即最小值要小于等于． 当时，显然不成立， 所以，当时，则有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B． 16．B 【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值. 【详解】因为，所以定义域为， 由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，. 故选：B. 17．D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 18．A 【分析】根据题意，求得函数的定义域，再求得为偶函数，且在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 19．B 【分析】先将点坐标代入到函数解析式中求，再根据函数的奇偶性与增减性选出正确图象. 【详解】将点代入到中，即，解得，故， 易得为偶函数，排除AD选项，且有当时，易得单调递减，B选项符合题意. 故选：B. 20．D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 21．A 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 22．B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 23．B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 24．D 【分析】求出定点A的坐标，并求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 25．C 【分析】根据幂函数的定义判断得这三个函数为幂函数，根据幂函数图像所过定点可判断. 【详解】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数， 因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点. 故选：C 26．C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 27．D 【分析】直接根据偶函数的定义及简单幂函数的性质判断可得. 【详解】对于A，设，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 因，所以函数在区间内单调递减，故A不合题意； 对于B，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 又因为，所以函数在区间内单调递增，故D符合题意. 28．C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 29．A 【分析】设，代入点解得，即可得，进而分析单调性和函数值即可. 【详解】设， 由题意可得：，可得， 则在上单调递减， 且，即图象过点. 30．B 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 31．C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 32．A 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 33．C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 34．B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 35．D 【分析】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 36．A 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数是奇函数，是偶函数排除C， 是非奇非偶函数，排除B、 又幂函数在上单调递减，所以为负数，排除D选项， 幂函数是奇函数，且在上单调递减，所以A正确. 故选：A 37．B 【分析】根据幂函数的定义与性质，列不等式求出的取值范围，再结合函数奇偶性的定义验证是否满足条件即可． 【详解】函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，其定义域为，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数，满足题意. 所以. 故选：B 38．D 【分析】先根据幂函数的定义求得或，进而分析奇偶性、单调性、最值即可判断各选项. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为，为奇函数， 且在上均为减函数，在定义域上不单调，无最值； 当时，，定义域为，为奇函数， 且在定义域上为增函数，无最值. 综上所述，结合选项可知，ABC错误，D正确. 故选：D. 39．BD 【分析】由题意得到的值，从而得到函数，由函数的奇偶性和单调性比较的大小关系即可判断A、B、C选项；同样，借助函数的单调性得到的大小关系，借助函数的奇偶性即可得到的大小关系，判断D选项. 【详解】幂函数，的图象关于y轴对称， 则，则，， 在上单调递减，于是有， 则A错误，B正确，C错误； 若，则，∵，，即成立．故D正确． 故选：BD. 40．ABC 【分析】由幂函数的奇偶性即可判断选项AB；根据，即可判断选项C；利用的定义域，即可判断选项D. 【详解】对于A，当时，此时幂函数为偶函数，故A正确； 对于B，当时，此时幂函数（为常数）为奇函数，故B正确； 对于C，当时， ，故幂函数（为常数）的图象始终经过点，故C正确； 对于D，当时，幂函数（为常数）的定义域不包含0，故D错误. 故选：ABC 41．ACD 【分析】设出幂函数解析式，代入点的坐标即可判断A项；根据幂指数与0的关系以及函数的性质，可判断B项；代入即可判断C项；根据已知可求出，根据函数的奇偶性以及单调性，即可判断D项. 【详解】对于A项，设幂函数解析式为，代入点，可得，所以，解得，所以解析式为，故A项正确； 对于B项，由已知为幂函数，且，所以在区间上单调递减. 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故B项错误； 对于C项，因为，所以，，故C项正确； 对于D项，由已知可得，，解得或.又幂函数图象关于轴对称，所以，.所以有，又在区间上单调递增，且，所以，故D项正确. 故选：ACD. 42．D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 43．B 【分析】由题意求得，再根据其单调性和奇偶性求解. 【详解】设幂函数， 因为的图象过点， 所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数， 又， 所以， 所以，解得， 故选：B 44．C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 45．D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 46．D 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $