暑假专项作业：概率初步、变量之间的关系 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦概率初步与变量关系，以题载法构建“概念识别-方法应用-实际建模”三阶训练体系，强化数据分析与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率初步|10题（如第3题频率估计概率、第19题古典概型）|事件类型判断、频率稳定值估计概率、古典概型计算|从事件概念（随机/必然/不可能）到频率与概率关系，再到概率应用（游戏公平性、面积估计）| |变量关系|8题（如第8题图像分析容器形状、第16题原子个数关系）|常量变量识别、表格/图像分析变量关系、函数关系式推导|从常量变量定义到变量关系表示（表格/图像/关系式），再到实际情境建模（快递费用、记忆遗忘曲线）|

暑假专项作业：概率初步、变量之间的关系-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．一个口袋内装有大小和形状都相同的1个黄球和1个白球，那么“从中任意摸出一个球，得到黄球”这个事件是（     ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定的事件 2．分别写有数字，，2，5的四张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到数字0是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上说法都不对 3．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上 C．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 D．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 4．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 5．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能是（     ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“布” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是3 D．抛一枚硬币，出现正面 6．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，平均每千米耗油0.1升，那么油箱中剩余的油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数关系式中，常量和变量分别是（    ） A．常量：60、0.1；变量：、 B．常量：60、；变量：0.1、 C．常量：0.1、；变量：60、 D．常量：60、；变量：0.1、 7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系（在弹性限度内），下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧的长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧的长度为 8．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图①，钓鱼爱好者将挂在鱼钩上的鱼（可视为密度大于水的物体）从水中匀速提起，直至鱼完全离开水面停留在空中（不计空气阻力）．则以下物理量：钓鱼线的拉力、鱼受到的浮力、水面高度、钓鱼者对鱼竿的作用力，其中某个量与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（    ） A．钓鱼线的拉力 B．鱼受到的浮力 C．水面高度 D．钓鱼者对鱼竿的作用力 10．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 二、填空题 11．掷一枚骰子，出现骰子的点数大于4的可能性大小是______． 12．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 13．一个不透明的袋子里装有6个红球、4个白球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，那么摸到红球的概率是______． 14．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 15．2026年春节档电影《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》分列档期票房前三名．根据以往统计数据显示，一线城市在春节档电影票房中占比约为，若春节档总票房为a元，一线城市的春节档电影票房为b元，则b与a的关系式为______． 16．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是___________． 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 三、解答题 17．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 费用/元 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)随着交寄物品质量的增加，快递的费用是怎样变化的？ 18．如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯（Hermann Ebbinghaus，1850-1909）最早研究了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线． 观察图象，回答下列问题： (1)经过，记忆保持了多少？ (2)图中A点表示什么？在哪个时间段内遗忘的速度最快？ (3)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持．根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样？由此，你有什么感悟？ 19．某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有，，，，，，，的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去． (1)抽到印有4的卡片的概率为______； (2)你认为这个规则公平吗？请说明理由． 20．春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． (1)某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； (2)请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 21．如图1和图2均是一个大小相同的可以自由转动的转盘．图1被平均分成9等份，图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是． (1)设计转盘：请在图1的转盘中将扇形填涂黑色，要求转动转盘，当转盘停止后，使指针指向白色区域的概率是，（当指针恰好指在分界线上时重转）． (2)转动图2的转盘（当指针恰好指在分界线上时重转），当转盘停止后，求指针指向绿色的概率． (3)现有一张电影票，小明和小亮都想要，小明和小亮想通过转盘决定胜负，获胜的一方获得电影票．于是在完成第（1）题的基础上，小明转动图1的转盘，若指针指向黑色区域则获胜；小亮转动图2的转盘，若转出的颜色是绿色则获胜，那么游戏对双方公平吗？说明理由， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：概率初步、变量之间的关系-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B B A B A A A 1．B 【分析】根据袋中球的情况判断摸出黄球的可能性，进而确定事件类型． 【详解】解：∵口袋内装有1个黄球和1个白球，从中任意摸出一个球时，摸到黄球和摸到白球都有可能发生， ∴“从中任意摸出一个球，得到黄球”这一事件可能发生，也可能不发生， ∴该事件属于随机事件． 2．B 【详解】解：∵四张卡片上的数字为，，，，没有数字， ∴ 从中任抽一张，一定抽不到数字，一定不会发生， 因此抽到数字是不可能事件． 3．D 【分析】观察统计图可知，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在左右，即概率约为．分别计算各选项的概率，找出概率约为的选项即可． 【详解】解：由统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率． A．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的概率为，故本选项不符合题意； B．抛一枚元钱的硬币，出现反面朝上的概率为，故本选项不符合题意； C．从标有数字到的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为，故本选项不符合题意； D．从一个装有大小相同的个蓝球和个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为，故本选项符合题意． 4．B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为, 此二维码白色部分的面积为． 5．B 【详解】解：由表格数据可得，频率稳定在左右， 该事件的概率约为， 选项中，去掉大小王的扑克牌共52张，黑桃有13张，任抽一张为黑桃的概率为，故不符合题意； 选项中，“石头、剪刀、布”游戏共有3种等可能结果，出“布”是其中1种，概率为，符合题意； 选项中，正六面体骰子共6种等可能点数，向上点数为3的概率为，不符合题意； 选项中，抛硬币出现正面的概率为，不符合题意． 6．A 【分析】先根据题意得到函数关系式，再根据定义区分常量和变量． 【详解】解：∵剩余油量=原有油量-总耗油量，总耗油量=平均每千米耗油量×行驶路程 ∴根据题意得 根据定义：数值始终不变的量是常量，数值发生变化的量是变量 ∴本题中60和0.1是数值不变的量，和是数值变化的量，因此常量为60、0.1，变量为、，对应选项A． 7．B 【分析】根据表格给出的弹簧长度与物体质量的对应关系，结合变量的相关概念逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵与都是变量，随的变化而变化， ∴是自变量，是因变量， ∴选项A说法正确； ∵弹簧不挂重物，即时，， ∴选项B说法不正确； ∵计算相邻对应的差可得，，，，， ∴物体质量每增加，弹簧长度增加， ∴选项C说法正确； 由C可知，当物体质量为时，， ∴选项D说法正确． 8．A 【分析】根据图象越陡峭速度越快进行分析即可． 【详解】解：∵最陡峭，次之，最平缓， ∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢， 只有A符合题意． 9．A 【详解】解：当鱼还在水中时，钓鱼线的拉力不变； 随着鱼上浮，钓鱼线的拉力逐渐变大； 当鱼浮出水面时，钓鱼线的拉力不变． ∴钓鱼线的拉力与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述． 10．A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 11． 【详解】解：掷一枚骰子，所有等可能的结果为，共种， 其中点数大于的结果为，共种， 因此出现点数大于的可能性大小为． 12． 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 13． 【分析】先计算袋子中所有球的总个数，确定红球的个数，再根据概率公式计算摸到红球的概率即可． 【详解】解：袋子中有个红球，个白球，个黄球， 共有种等可能性的结果，其中红球数量为， 摸到红球的概率为． 14．30 【分析】根据表格数据估计摸到黑球的概率，再结合球的总数求得黑球的数量即可． 【详解】解：由表可知，随着摸球次数增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，因此可估计摸到黑球的概率为， 所以黑球的个数约为个． 15． 【分析】利用一线城市票房等于总票房乘以一线城市票房占比，即可得到与的关系式． 【详解】解∶根据题意可知，一线城市票房占总票房的，总票房为元，一线城市票房为元，因此可得 16． 【详解】解：观察图形可知：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； … ∴． 17．(1)费用与质量两个变量之间的关系，质量是自变量，费用是因变量. (2)费用随着质量的增加而增加，质量为时，费用为元，质量每增加，费用增加元． 【分析】（1）由自变量和因变量的定义，结合表格解答即可． （2）观察表格中数据的变化即可解答． 【详解】（1）略． （2）略． 18．(1)经过，记忆保持量约为 (2)A点表示学习小时后记忆保持量低于；前两个小时遗忘的最快 (3)解：如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．如果一天不复习，记忆量只能保持大约，感悟：每天学习知识后要及时复习 【分析】（1）根据函数图象，即可求解． （2）根据点的横坐标和纵坐标结合题意，得出A点的意义；观察函数图象，即可得出遗忘的速度最快的时间段； （3）根据遗忘曲线，如果一天不复习，记忆量只能保持大约，要及时复习，言之有理，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19．(1) (2) 这个规则不公平， 理由如下： 由题意可知，数字比4大的卡片为5，6，7，共3张， 因此小明去的概率为， 数字不大于4的卡片共有张，因此小亮去的概率为， ，两人去的概率不相等， 这个规则不公平． 【分析】先利用概率公式计算对应事件的概率，再比较两人去的概率，概率相等则规则公平，否则不公平． 【详解】（1） 解：由题意可知，共有8张等可能的卡片，其中印有数字4的卡片有2张， 因此抽到印有4的卡片的概率为； （2）略 20．(1) (2)方案二 【分析】（1）列举出所有可能即可求； （2）分别求出两种方案下平均获奖的情况即可． 【详解】（1）解：所有可能的情况有6种，①正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；②正面朝上指针指向100元，获得100元购物券；③正面朝上指针指向谢谢，不得奖；④正面朝下指针指向50元，购物券金额减半获得25元购物券；⑤正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券；⑥正面朝下指针指向谢谢，不得奖；其中一次获得50元购物券的情况有2种：分别是正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券； 故一次获得50元购物券的概率为； （2）解：由（1）知，方案一：一次获得100元购物券的情况只有1种，故一次获得100元购物券的概率为；一次获得25元购物券的情况只有1种，故一次获得25元购物券的概率为； 一次平均获奖（元）， 方案二：直接获奖40元， 则顾客选择方案二更合算． 21．(1)填涂的扇形如图所示： 当转盘使指针指向白色区域的概率是； (2) (3)公平；理由如下： ∵转动图1的转盘，指针指向黑色区域的概率； 转动图2的转盘，转出的颜色是绿色的概率， 两者的概率相等， ∴游戏对双方公平. 【分析】（1）根据题意，只要填涂3个黑色扇形区域即可； （2）用绿色部分扇形的圆心角除以360度可得答案； （3）先计算两个事件的概率，若二者相等则公平，不相等则不公平，据此即可判断. 【详解】（1）略； （2）解：∵转盘中绿色部分扇形的圆心角是， ∴转盘停止后，指针指向绿色的概率是． （3）略. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $