湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷

**基本信息** 该试卷涵盖统计、立体几何、三角函数等模块，解答题设计防骗知识竞赛数据分析（数据意识）、四棱锥面面垂直证明（空间观念）及线性相关探究（抽象能力），体现分层设计与核心素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|随机抽样、直观图面积、三角函数图像|结合数据分布形态考中位数与平均数关系（数据意识）| |填空题|3题15分|向量夹角、圆锥体积、解三角形|动态几何问题（空间观念）| |解答题|5题77分|频率分布直方图、面面垂直、线性相关|跨模块综合（统计与概率）、开放探究（线性相关证明）|

湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某校高一、高二和高三年级分别有学生400名、350名和250名，若用随机数表法从这1000人中抽取一个容量为的样本，每人被抽到的可能性都为0.12，则（    ） A．48 B．50 C．120 D．140 2．同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为（   ）    A．8 B． C．1 D． 4．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A．为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B．为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C．为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D．为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 5．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 6．如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 7．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 8．已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 D．函数在区间上单调递增 10．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，为的中点，、分别是线段、上的动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．存在、使平面 B．存在、使平面 C．的最小值为 D．的最小值为 11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．存在无数个点P，使得平面 B．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球表面积为36π 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，，且，则向量与的夹角为________． 13．如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，，E为线段AB上的动点，当时，圆锥的体积等于_________ 14．若的角所对边，且满足，则角A的最大值为_____ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知的内角的对边分别为，且的周长为. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值. 16．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 17．为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图计算样本成绩的80%分位数； (3)若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则.已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差. 18．已知锐角三角形的内角的对边分别为，且. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围. 19．对于给定的正整数，记集合，其中元素称为一个维向量.特别地，称为零向量.设，，定义数乘和加法：.对一组向量，若存在一组不全为零的实数，使得，则称这组向量线性相关.否则，称这组向量线性无关. (1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由； （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. (2)已知线性无关，判断是线性相关还是线性无关，并说明理由； (3)已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： （ⅰ）如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不为零； （ⅱ）如果，其中，则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市雨花区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A D B A A AB ABD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】使用随机数表抽样的定义求解. 【详解】由题意知，解得. 2．D 【分析】利用古典概型概率公式，先计算抛掷两颗骰子的总基本事件数，再统计点数之和小于的基本事件数，二者的比值即为所求概率. 【详解】根据题意得，同时抛掷两颗骰子，每颗骰子向上的点数有种可能，因此总基本事件数为， 满足“向上点数之和小于”的点数之和为或，对应的基本事件为，共个； 所以同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于4的概率. 3．C 【分析】根据已知求原图的面积，再由斜二测画法中原图与直观图面积关系求结果. 【详解】由题设， 由. 故选：C 4．A 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，由此能求出结果． 【详解】解：在频率分布直方图中， 中位数两侧小矩形的面积相等， 平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和， 结合两个频率分布直方图得： 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数． 故选：A． 5．D 【分析】根据斜二测画法规则及正弦定理，可得原三角形的底边及高. 【详解】因为，所以， 所以的面积是． 故选：D 6．B 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    7．A 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离. 【详解】因为，，点P为棱的中点， 所以， 所以，， 所以为等腰三角形. 设点P到直线AB的距离为h，因为，， 则. 故选：A. 8．A 【分析】画出在区间内的图象，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，从而得到，求出答案. 【详解】当时，，当时，，当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图象， 可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同， 所以需满足，所以. 故选：A. 9．AB 【分析】根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据左右平移的原则即可判断C；根据正弦函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，的周期，所以 A 正确； 对于B，因为 ， 所以函数的图象关于点中心对称 ，故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 对于D中，因为，所以， 所以在上不单调，故D错误. 故选：AB. 10．ABD 【分析】当点与点重合时，利用面面平行的性质可判断A选项；证明出平面，当点与点重合且为的中点时，可判断B选项；过点作关于的对称点，过点作于点，设，则当、、三点共线时，最小，求解即可，可判断C选项；连接，取的中点，推导出，可知点为、的交点时，最小，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于选项A，当点与点重合时，平面， 又平面平面，显然有面，故A正确； 对于选项B，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 当点与点重合且为的中点时，、平面， 又因为，此时平面，故B正确． 对于选项C，当为的中点时，最小， 如图所示，过点作关于的对称点，过点作于点， 不妨设，则当、、三点共线时，最小， 因为，，， 此时， 因为，则， 所以， 故， 则，故， 所以， 故，故C错误； 对于选项D，连接，取的中点，如图所示： 因为，，，故， 所以， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故， 连接交于点，因为、分别为、的中点，则， 因为四边形为正方形，所以，故， 因为，故为的中点， 因为四边形为正方形，故， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故，同理可证， 在矩形中，过点在平面内作，垂足为点， 易知四边形为矩形，且，， 故，所以， 因为、平面，当点为、的交点时，取最小值，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】平面平面，在线段上时，平面，即可判断A，根据平行关系作出截面图，即可判断B，根据锥体的体积公式判断C，转化为求长方体的外接球，即可判断D. 【详解】对于A：因为是的中点，是的中点，所以， 平面，平面， 所以平面， 取中点，因为是的中点，所以， 平面，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 所以在线段上时，平面， 平面，故A正确； 对于B：因为，分别是，的中点，所以， 在正方体中，，所以， 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误； 对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球， 所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确； 故选：ACD. 12． 【分析】利用向量数量积的运算公式求解即可. 【详解】设向量与的夹角为， 因为， 所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 13．/ 【分析】先将以为轴旋转到与共面，得到，结合，利用余弦定理求解得出，最后应用圆锥体积公式计算求解. 【详解】由，所以，又因为，且，所以， 所以，所以是等边三角形， 将以为轴旋转到与共面，得到，， 如图： 则，设 因为， 。 则，所以，所以， 圆锥的体积等于. 故答案为：. 14． 【分析】首先由诱导公式二倍角公式得，进一步结合正弦定理以及两角和正弦公式有，在这里进一步有，进而可得，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，即，所以， 从而，即， 所以，显然， 又因为，所以，从而，所以， 所以， 所以， ， 当且仅当，即等号成立， 此时，因为，所以角A的最大值为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用三角形周长公式和正弦定理表示已知条件，对等式进行变形，根据余弦定理得到，即可求； （2）根据外接圆面积求外接圆半径，利用正弦定理求的值，结合余弦定理和基本不等式求得最大值，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）的周长为， 根据正弦定理，， 依题意，，即，， ，，， 根据余弦定理，，且， 故. （2）设外接圆的半径为，依题意，解得， 根据正弦定理，，即， 根据余弦定理，， 即，， 根据基本不等式，，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 因此，面积，当且仅当时取等， 综上，当时，面积取最大值. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题干数据结合勾股定理可得，根据正方形可推出线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理证明； （2）先作出二面角的平面角，然后由题干条件求解. 【详解】（1）设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是， 由，即，则，显然， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. （2） 作垂足为，作，垂足为，连接， 平面平面，，平面，平面平面， 于是平面，由平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则，又， 则为平面与平面所成角， 由， 则 17．(1) (2)86 (3)， 【分析】（1）根据频率分布直方图中 所有矩形块面积和为1，列式计算得解； （2）根据百分位数定义利用频率分布直方图计算可得结果； （3）代入总体平均数和总体方差公式，即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由题，成绩在的频率为， 在的频率为， 所以样本成绩的80%分位数在内，设样本成绩的80%分位数为， 则，解得， 所以样本成绩的80%分位数为86. （3）频率为，样本量，的频率为，样本量， 所以两组样本的总体平均数， 两组样本的总方差. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理，结合所给条件可得，即可由面积公式求解， （2）根据锐角三角形，结合余弦定理可得且，进而利用余弦定理以及对勾函数的性质求解， （3）根据三角形面积公式以及余弦定理可得，进一步得，即可结合角的范围求解. 【详解】（1），则， 结合，故， 又，,故, 故面积为； （2）由于是锐角三角形，故，结合且， ， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增， 或 ，当且仅当时取等号， 故当时，， 故，因此， 由于，故 （3）由于，其中为三角形的面积， 同理可得， 因此， 由于，故, 由于，所以， 故 19．(1)（ⅰ）线性相关，理由如下： 设，则可得，所以线性相关； （ⅱ）线性相关，理由如下： 设，则可得 所以，不妨取，所以线性相关； （ⅲ）线性相关，理由如下： 设， 则可得 解得，不妨取，所以线性相关. (2)线性无关，理由如下： 设， 则， 因为向量线性无关，所以解得， 所以向量线性无关. (3) （ⅰ），如果某个， 则. 因为任意个都线性无关，所以都等于0， 所以这些系数要么全为零，要么全不为零. （ⅱ）因为，所以全不为零， 所以由，可得， 代入， 可得， 所以， 所以， 所以. 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到，即可判断； （3）①如果某个，然后证明，都等于0即可；②由，可得，然后代入，根据题意证明即可. 学科网（北京）股份有限公司 $