精品解析：湖南省长沙市稻田中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025年上学期高一期末考试 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（共40分） 1. 已知向量，，若，则实数m等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 已知 ， 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 设表示不超过 的最大整数，对任意实数 ，下面式子正确的是（ ） A. = |x| B. ≥ C. > D. > 4. 若复数，为 的共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数 的图象向左平移个单位后，得到的图象关于点对称，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在R上的函数 满足：，且，当时，，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体 中，，，，则它的外接球的表面积　 A. B. C. D. 8. 定义在R上的偶函数满足，且当]时， ，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（ ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A. 这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为1 B. 最小值为 C. 最小正周期为 D. 图像的对称中心为 11. 在中，内角 、 、所对的边分别为、、 ，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 三、填空题（共15分） 12. 已知函数为偶函数，且在单调递减，若，则x的取值范围是____________． 13. 在中，，.则__________. 14. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点 到平面 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表： 包裹重量（单位：） 包裹件数 公司对近 天，每天揽件数量统计如表： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 天数 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （ ）计算该公司未来 天揽件数在之间的概率； （ ）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； ②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利? 17. 如下图,梯形 中，，且，沿将梯形折起，使得平面平面 ． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以 为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明： 平面； （2）求点 到面的距离； （3）在线段上是否存在点 ，使得二面角的大小为，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由. 19. 如果函数的定义域为，对于定义域内的任意x，存在实数a使得成立，则称此函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有a的值；若不具有“性质”，请说明理由． （2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值． （3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2023个，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高一期末考试 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（共40分） 1. 已知向量，，若，则实数m等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则，解得， 所以实数m等于. 故选：D 2. 已知， 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，若，，则 平行，相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则相交或平行，故B错误； 对于C，若，，则（垂直于同一平面的两条直线互相平行），故C正确； 对于D，若，，则相交或平行，故D错误. 故选：C. 3. 设表示不超过 的最大整数，对任意实数 ，下面式子正确的是（ ） A. = |x| B. ≥ C. > D. > 【答案】D 【解析】 【详解】分析：表示不超过 的最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除． 详解：设，，，，，排除A、B， 设，，，排除C．故选D 点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一． 4. 若复数，为 的共轭复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得结果. 【详解】∵，∴， ∴,所以虚部为1, 故选：C. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数 的图象向左平移个单位后，得到的图象关于点对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的图像变换与图像性质，逐个求出其中参数即可. 【详解】由图像可知， 在 轴右侧的第一条对称轴是，所以，所以， 又时， 有最小值，所以，所以，因为，所以， 由,得， 所以， 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象所对应的函数是,由关于点对称，得,解得：，又，故的最小值是， 故选：A. 6. 定义在R上的函数 满足：，且，当时，，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数的周期为 ，然后求得其一个周期的值域，即可得到结果. 【详解】由可得， 即关于对称，即， 由可得关于对称， 即，所以， 令，则，代入可得， 即，则， 所以的周期为 ， 由是定义在R上的函数，且关于对称， 可得，又当时，， 即，所以， 当时，， 且关于对称，则时，， 又关于对称，则时，， 即在一个周期内的值域为， 则 的最小值为. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a. 7. 在四面体 中，，，，则它的外接球的表面积　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理得出，得知为该三棱锥外接球的直径，再利用球体的表面积公式可计算出该外接球的表面积． 【详解】如下图所示： ，，，， 所以，，， 为该三棱锥的外接球球心，为球的直径，设其半径为 ，则， 因此，三棱锥外接球的表面积为，故选D． 【点睛】本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，解本题的关键在于找出外接球球心的位置，找出外接球的一条直径，考查逻辑推理能力，属于中等题． 8. 定义在R上的偶函数满足，且当]时， ，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得出函数 是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可. 【详解】因为，且为偶函数 所以，即， 所以函数 是以4为周期的周期函数， 作出，在同一坐标系的图象，如图， 因为方程至少有8个实数解， 所以，图象至少有8个交点， 根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点， 由图可知，当时，只需，即， 当时，只需，即， 当 时，由图可知显然成立， 综上可知，. 故选：B 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 二、多选题（共18分） 9. 某学校组织“综合体能测试”，现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩，并统计如下，则（ ） 成绩 频数 6 12 18 30 24 10 A. 这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D. 这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 【答案】AB 【解析】 【分析】根据频数分布分析数据即可. 【详解】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为，所以A选项正确； 选项B：成绩不超过85的学生人数为，所以B选项正确； 选项C：成绩分布在的人数为30，但不一定成绩的众数为85，所以C选项不正确； 选项D：由于，所以D选项不正确. 故选：AB 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最大值为1 B. 最小值为 C. 最小正周期为 D. 图像的对称中心为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】因为 ，，， 对：当时，，，即，时，取得最大值1， 故正确； 对：当时，，，即，，不在定义域内，故不存在最小值，故错误； 对：的最小正周期，故正确； 对：定义域不满足关于点对称，所以不是图象的对称中心，故错误. 故选：. 11. 在中，内角、、 所对的边分别为 、、 ，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立，故的周长为， 即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 三、填空题（共15分） 12. 已知函数为偶函数，且在单调递减，若，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，结合偶函数的性质，做出函数草图，在把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为为偶函数，图象关于 轴对称，将其向右平移1个单位，可得函数，图象关于直线 对称； 又在上单调递减，所以在上单调递增； 又，所以. 综上，的草图可以如下： 所以. 故答案为： 13. 在中，，.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理可得，再由诱导公式及二倍角正弦公式求解. 【详解】由正弦定理，， 所以由可得， 所以，所以， 所以. 故答案为： 14. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可. 【详解】假设为刍童外接球的球心，连接 、交于点，连接 、交于点，由球的几何性质可知、、在同一条直线上， 由题意可知，平面 ，平面，， 设， 在中，， 在矩形中，， ， ， 在中，， 在矩形 中，，，， 设外接球半径， ，解得， 则，即，则该刍童的外接球半径为 该刍童外接球的表面积为：， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数 的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，化简集合，根据补集和并集的概念，即可求出结果； （2）根据两集合的包含关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）当时，， 又， 所以或， 因此或； （2）因为，， 由可得，解得， 即实数 的取值范围为. 16. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表： 包裹重量（单位：） 包裹件数 公司对近 天，每天揽件数量统计如表： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 天数 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （ ）计算该公司未来 天揽件数在之间的概率； （ ）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； ②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员 人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利? 【答案】（1）；（2）①元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为元，不利. 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率即可； （2）①利用平均数公式直接求解即可；②根据题意及（ ）（），揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加（元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即可 【详解】（ ）样本包裹件数在之间的天数为，频率， 显然未来 天中，包裹件数在之间的概率为 （ ）（）样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：） 快递费（单位：元） 包裹件数 故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元 （）根据题意及（ ）（），揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加（元）， 将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 包裹件数近似 天数 频率 若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数近似 实际揽件数 频率 故公司平均每日利润的期望值为（元）； 若裁员 人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数近似 实际揽件数 频率 故公司平均每日利润的期望值为（元） 因，故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利. 17. 如下图,梯形 中，，且，沿将梯形折起，使得平面平面 ． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）记 中点为 , 与交点为,连接,证明为平行四边形即可 （2）先证明 平面，再根据等体积法求解即可． 【详解】（1）如下图,记 中点为 , 与交点为,连接, 由题设知,，且， 即且，知：四边形为平行四边形，有， 即.又平面平面， 所以平面． （2）面面 ,面面 面 ， 面，即 平面． 三棱锥的体积为． 18. 如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明： 平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出 的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：连接， 在三棱台中，； ，四边形为等腰梯形且， 设，则. 由余弦定理得：， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又 平面，； 是以为直角顶点的等腰直角三角形，， ，平面，平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得；由面面垂直和线面垂直的性质可证得，结合 可证得结论； （2）延长交于一点 ，根据可求得，利用体积桥可构造方程求得结果； （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出 ，由二面角大小可构造方程求得 ，进而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由棱台性质知：延长交于一点 ， ，，， ； 平面，即 平面 ， 即为三棱锥中，点 到平面 的距离， 由（1）中所设：，， 为等边三角形，， ，； ，， ， 设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离， ，，解得：. 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 平面， 平面，平面平面 ， 平面平面 取 中点 ，在正中，，平面， 又平面，平面平面． 作，平面平面，则平面， 作，连接 ，则 即 在平面上的射影， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，即二面角的平面角. 设， 在中，作， ，，又平面，平面， ，解得：， 由（2）知：，， ，， ，， ，， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得：， ， 存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 19. 如果函数的定义域为，对于定义域内的任意x，存在实数a使得成立，则称此函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有a的值；若不具有“性质”，请说明理由． （2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值． （3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2023个，求m的值． 【答案】（1）具有“性质”， （2）当时，最大值为；当时，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目的定义和三角函数诱导公式可得答案； （2）先求出时的解析式，利用二次函数区间最值可得答案； （3）根据“性质”和函数解析式得出函数的周期为1，结合交点个数及简图可得答案. 【小问1详解】 由，所以， 所以函数具有“性质”，其中. 【小问2详解】 因为具有“性质”，所以， 设，则，所以， 当时，在为增函数，所以最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，且， 所以最大值为； 当时，在单调递减，在单调递增，且， 所以最大值为； 当时，在为减函数，所以最大值为； 综上可知，当时，最大值为；当时，最大值为. 【小问3详解】 因为函数具有“性质”， 所以，； 所以，即是以2为周期的函数， 又设，则，. 设，， 当时，，即，； 当时，，即，； 所以对于，，都有， 而，所以， 综上可知是以1为周期的函数. 当时，要使与交点个数为2023个，只要与在区间有2022个交点，而在有一个公共点， 所以过，从而得，部分简图如下； 当时，要使与交点个数为2023个，只要与在区间有2022个交点，而在有一个公共点， 所以过，从而得； 当 时，显然不合题意； 综上可知. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是理解新定义“性质”；二是根据性质得出函数的周期；三是利用数形结合得出参数的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $