第十章 二元一次方程组 暑假培优训练 2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组全维度训练，以“概念理解-解法应用-实际建模-创新拓展”为逻辑主线，融合定义辨析、解法迁移与模型构建，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-3题|定义法（未知数次数/系数）|从二元一次方程定义到方程组识别，构建概念体系| |解法应用|选择4-6题、解答18题|代入/加减消元、解的情况判断（系数比例）|从基础解法到解的性质分析，形成解题通法| |实际建模|选择7-8题、解答19-21题|等量关系提取、方程建模|联系生活实际（购物、行程等），发展模型意识| |创新拓展|选择9-12题、解答22-23题|换元法、新定义转化|结合图形、新定义问题，提升推理能力与创新意识|

暑假培优训练 七年级数学（人教版）下册 第十章 二元一次方程组 一、选择题 1. 若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（     ） A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 2. 下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 3. 若 是关于x，y的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 4. 在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 5. 若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 6. 若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 7. 我国明代数学家程大位的《算法统宗》中记载：“钱二十贯，买绫罗四百六十尺，绫每尺四十三文，罗每尺四十四文．”意为：用20贯钱买了绫布和罗布共460尺，其中绫布每尺43文，罗布每尺44文．已知1贯文，设买进的绫布有尺，罗布有尺，则可以列出方程组（     ） A． B． C． D． 8. 如图，块形状相同，大小相等的长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的长为，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则可列出方程组（     ） A． B． C． D． 9. 如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（    ） A．65 B．68 C．70 D．75 10. 已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 11. 把编号为1到25的25个弹珠分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号数的平均数等于原平均数加，B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加，则原来在篮子A中有（     ）个弹珠． A．9 B．10 C．11 D．12 12. 若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13. 已知a，b互为相反数，且，，则________． 14. 若关于，的方程组的解为，其中的值被盖住了，但仍能求出的值，则的值为________________． 15. 若是方程的一个解，则的值为_________． 16. 若实数x、y同时满足，，则的值为______________． 17. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 三、解答题 18. 解下列方程组． (1) (2) 19. 设适当的未知数，列出二元一次方程组： (1) 甲、乙两数的和为14，甲数的比乙数的2倍少7，求这两个数； (2) 摩托车的速度是货车速度的倍，两车从相距75km的两地同时出发，相向而行，45min后相遇，求摩托车和货车的速度； (3) 某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元，求时装和皮装的单价． 20. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1) 该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2) 该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 21. 中国汽车技术研究中心5月16日发布《汽车产业知识产权十年发展报告》，报告显示，过去十年中国汽车专利公开量持续全球领先，新能源汽车领域专利公开量从2016年的5万余件增至2025年的11万余件，年均增长率达17.1%，展示出我国这一领域的蓬勃发展．某新能源汽车销售中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解，4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总价为160万元，3辆“清风”型汽车的进货总价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1) 求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2) 该销售中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．（不考虑其他支出） 22. 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“知行区间”为，如，所以的知行区间为． (1) 无理数的“知行区间”是______； (2) 若其中一个无理数的“知行区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值； (3) 实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“知行区间”． 23. 关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“差一”方程组． 例如：关于，的二元一次方程组：，解方程组得：， ， ∴方程组是“差一”方程组． (1) 下列方程组是“差一”方程组的是_____________（只填写序号）； ①；②；③； (2) 若关于，的方程组是“差一”方程组，求的值； (3) 若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，求的值． 参考答案 1．B 解：∵ 关于的方程 是二元一次方程， ∴ ， 解方程，可得或， 即或， 又， ． 2．D 解：A、把代入，左边，∵，∴A错误； B、把代入，左边，∵，∴B错误； C、把代入，左边，∵，∴C错误； D、把代入，左边，∵，左边等于右边，∴D是方程的解． 3．A 解：原方程组是关于，的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 4．D 选项A：对于，将第二个方程两边同除以3，得，与第一个方程完全相同，因此方程组有无数个解，故A不符合要求； 选项B：对于，将第二个方程两边同除以2，得，与矛盾，因此方程组无解，故B不符合要求； 选项C：对于，将第一个方程两边同乘2，得，与矛盾，因此方程组无解，故C不符合要求； 选项D：对于，化简第二个方程得，两个方程未知数对应系数不成比例，联立可求得唯一解，因此方程组只有一个解，故D符合要求． 5．D 解：∵是原方程组的解， ∴ 将代入原方程组，得：， ，得： 化简得：． 6．B 解：将整理变形：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：． 7．D 解：∵设买进的绫布有尺，罗布有尺，绫布和罗布共尺， ∴可得， ∵1贯文，总钱数为贯，即总钱数为，绫布每尺文，罗布每尺文，总花费等于两种布的花费之和， ∴可得， 因此列出的方程组为． 8．B 根据图示可得． 9．C 解：由图可得， ，得， 即， 解得． 10．D 解：由得，， 令，， ∴， ∴该方程组与结构相同， ∴，即， 解得． 11．A 解：设原来篮子中有弹珠个，则篮子中有弹珠个，设原来中弹珠号码平均数为，中弹珠号码平均数为．根据题意列方程组得 ， 由②得， 由③得， 将④⑤代入①，得， 解得， 因此原来篮子A中有9个弹珠． 12．B 解： ∵ 绝对值和平方数均为非负数，即，， 又∵ ∴ 可得方程组： ① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组： 给(2)式两边同乘3得： (4)， (1)+(4)得：， 解得， 将代入(2)式得：， 解得， ② 将，代入(3)式得：， 解得， ∴ 方程组的解为， 故选：B． 13． 解：将等式，，左右两边同时相加，得 ， 整理，得， ， ∵a，b互为相反数， ∴， ∴， ∴． 14． 解：∵关于，的方程组的解为， ∴， ∴， 把代入方程中， ∴， ∴． 15． 是方程的一个解， ， ， ． 16．4 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 将代入①，得， 化简得， 当时，，左边，等式不成立； 当时，，等式变为，即，解得， 将代入，得， ∴． 17． 解：将和分别代入方程，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 18．（1）解：， 把①代入②，得， 解这个方程，得，     把代入①，得，     所以这个方程组的解是  ； （2）解：， 原方程组整理为     ，得， ，         把代入①，得， ，         所以这个方程组的解是． 19．（1）解：设甲数为，乙数为， 依据题意：甲乙和为14，得：； 甲数比乙数2倍少7，即，整理：， 故方程组： ． （2）解：设货车速度，摩托车速度， 由摩托速度是货车倍：；， 相向相遇路程和75：， 方程组： ． （3）解：设皮装单价元，时装单价元， 时装单价是皮装1.4倍：， 5件皮装比3件时装贵700：， 方程组： ． 20．（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 21．（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是x万元，“清风”型汽车的进货单价是y万元． 根据题意，得解得 答：“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆． 根据题意，得． ∴． ∵m，n为正整数， ∴或或 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆． 22．（1）解：， ， 无理数的“知行区间”是， 故答案为：； （2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数， 是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解， ∴是正整数， 是一个完全平方数，， ， 满足题意的m、n的值为：或， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 综上所述，C的值为1或37； （3）解：实数x，y，m满足关系式：， ，， ， ， ， 即， ， 的算术平方根为， ， ， 的算术平方根的“知行区间”是． 23．（1）解：①，解得，， 此时，， ①不是“差一”方程组； ②，解得，， 此时，， ②是“差一”方程组； ③，解得，， 此时，， ③是“差一”方程组． 故答案为：②③． （2）解：， ①得，， ②③得，， ． 把代入①得，， ， 所以方程组的解是． 关于，的方程组是“差一”方程组， ，即， 解得，或． （3）解：若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，则， 联立得，， 解得，或． 把代入中， 得， 即． 为无理数， ，， 解得，，， ； 把代入中， 得， 即． 为无理数， ，， 解得，，， ； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $