第07讲 集合间的基本关系（3个知识点+7大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第07讲 集合间的基本关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 【例1】若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【变式1-2】已知集合，则的非空子集的个数是 . 【变式1-3】满足条件的集合的个数为 . 题型二：韦恩图及其应用 【例2】（2025·高一·辽宁大连·阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【变式2-1】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·全国·课后作业）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·河南新乡·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：由集合间的关系求参数的范围 【例3】（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【变式3-2】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式3-3】已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 题型四：集合间的基本关系 【例4】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【变式4-1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-2】若，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 题型五：判断两集合是否相等 【例5】下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【变式5-3】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六：根据两集合相等求参数 【例6】设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】 ，若，则+= . 【变式6-2】 ，集合，则 . 【变式6-3】（2025·高一·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 题型七：空集的性质 【例7】（2025·高一·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【变式7-1】（2025·高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【变式7-2】（2025·高一·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【变式7-3】写出下列关系正确的序号 . （1）；（2）；（3）⫋；（4）；（5）；（6）. 1．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 2．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．若集合则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 5．（2025·高一·北京·期中）已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（多选题）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 7．（多选题）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 8．（2025·高一·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 9．若集合，则实数的取值范围是 . 10．（2025·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 11．设集合A满足 ，则满足条件的A有 个. 12．已知，，且，满足这样的集合的个数 . 13．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2030，则 ． 14．已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则 ． 15．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 16．已知集合，，则的子集个数为 ． 17．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 18．若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 19．已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 20．已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 21．已知集合，，且，求实数m的取值范围. 22．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 集合间的基本关系 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一．集合与集合的关系 （1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集． 记作： 读作：A包含于B（或B包含A）． 图示： （2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等． 记作： 读作：A等于B． 图示： 知识点诠释： （1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出． （2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）． 知识点二．真子集 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记作：A⫋B（或BA） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 知识点三．空集 不含有任何元素的集合称为空集，记作：． 规定：空集是任何集合的子集． 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 【例1】若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个． 【变式1-1】已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】7 【解析】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 【变式1-2】已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【解析】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 【变式1-3】满足条件的集合的个数为 . 【答案】16 【解析】因为， 所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个. 故答案为：16 题型二：韦恩图及其应用 【例2】（2025·高一·辽宁大连·阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【答案】② 【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}， ∴NM， 故答案为②． 【变式2-1】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，显然，且互不包含. 故选：A 【变式2-2】（2025·高一·全国·课后作业）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M. 故选：B 【变式2-3】（2025·高一·河南新乡·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得： 由题意得， 所以N是M的真子集． 故选：B 题型三：由集合间的关系求参数的范围 【例3】（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 【变式3-1】（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【解析】（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． （2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 【变式3-2】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 【变式3-3】已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 题型四：集合间的基本关系 【例4】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥Ü；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【解析】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 【变式4-1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 【变式4-2】若，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】且， 所以. 故选：B. 【变式4-3】下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，集合中的元素在集合中，，A正确； 对于B，集合与集合中的元素相同，，B正确； 对于C，集合中的元素都在集合中，，C正确； 对于D，集合中的元素不是空集，不正确，D错误. 故选：D 题型五：判断两集合是否相等 【例5】下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 【变式5-1】在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 【变式5-2】若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】C 【解析】由于是与的公倍数,， 故是的倍数,， ,故， 故选：C 【变式5-3】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 题型六：根据两集合相等求参数 【例6】设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 【变式6-1】 ，若，则+= . 【答案】 【解析】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 【变式6-2】 ，集合，则 . 【答案】2 【解析】由题意知，所以，则，又，所以，. 故. 故答案为：2. 【变式6-3】（2025·高一·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【解析】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 题型七：空集的性质 【例7】（2025·高一·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【解析】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 【变式7-1】（2025·高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式7-2】（2025·高一·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【解析】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 【变式7-3】写出下列关系正确的序号 . （1）；（2）；（3）⫋；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【解析】一个集合是它本身的子集，故（1）正确； 集合具有无序性，故（2）正确； 空集是任意非空集合的真子集，故（3）正确； 0是集合中的元素，故（4）正确； 是有理数，故（5）正确； 空集是不包含任何元素的集合，中有一个元素0，和空集不相等，故（6）错误. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）. 1．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 2．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 3．若集合则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若集合有个元素，则其子集个数为， 所以的子集个数为. 故选：A 4．已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【答案】A 【解析】. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，即，符合题意. 故选：A 5．（2025·高一·北京·期中）已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为集合， 所以 ， 由得， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以满足条件的集合或 或 或 ， 所以集合中元素个数的最大值为. 故选：. 6．（多选题）已知集合，，下列说法错误的是（   ） A．不存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【解析】对于A：若，则，此方程组无解，故不存在实数a使得集合，故A正确； 对于B：由，则，即，此不等式组无解，不存在实数，使得故B错误； 对于C：当时，不满足，故C错误； 对于D：当，即时，，符合， 当时，要使，则，解得，不满足， 综上，当且仅当时， 所以当时不正确，故D错误． 故选：BCD 7．（多选题）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【解析】， 因为， 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 故选：AC 8．（2025·高一·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 【答案】 【解析】因为集合，，， 若则，或， 当时，，此时； 当时，，不符合集合元素的互异性． 若，则，不符合集合元素的互异性． 故答案为：. 9．若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解.由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．（2025·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【解析】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 11．设集合A满足 ，则满足条件的A有 个. 【答案】7 【解析】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 12．已知，，且，满足这样的集合的个数 . 【答案】7 【解析】由题意，集合可以取：共7个. 故答案为：7. 13．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2030，则 ． 【答案】290 【解析】集合的所有非空真子集有： ，，，，，，，，，， ，，，， 所以有， 解得：. 故答案为：290. 14．已知集合的所有非空子集的所有元素之和为10，则 ． 【答案】5 【解析】集合的非空子集有， 依题意, 所以 故答案为：5. 15．已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 16．已知集合，，则的子集个数为 ． 【答案】4 【解析】由，解得或， 中有个元素， 故的子集个数为为. 故答案为：4. 17．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【解析】（1） 若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2） 若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 18．若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 【解析】集合， 因为，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解； 综上所述，实数a的取值范围为. 19．已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 【解析】（1）由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. （2）由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 20．已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【解析】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 21．已知集合，，且，求实数m的取值范围. 【解析】当，即时，，满足题意； 当，即时，由可知， 解得. 综上，实数m的取值范围为. 22．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$