精品解析：河南省邓襄镇第一初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期末试卷

2025—2026学年下期期末测试题 八年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分） 1. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 11 2. 已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个角都相等 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形为菱形 4. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 5. 若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A. B. C. D. 6. 对于一组数据：、、、、、、，其中第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A. 8 B. 16 C. 8 D. 16 8. 函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集为（　　） A. x＜﹣2 B. x＞﹣2 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 9. 如图，直线（是常数，且）与直线相交于点，已知点的纵坐标为1，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，满分15分 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线与轴的交点坐标为___________． 13. 如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 14. 一组数据、、、、的离差平方和是_________． 15. 在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在四边形中，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 18. 5月12日是全国防灾减灾日，为加深学生对防灾避险知识的印象，实验中学组织八、九年级学生开展了一次“防灾减灾知识竞赛（满分10分，成绩均为整数）.竞赛结束后，王老师发现参赛学生的成绩均高于6分，然后从这两个年级的参赛学生中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理分析，部分信息如下： 信息一：八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计图 信息二：八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 八年级 9 九年级 9 9 1.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_________，_________，并把八年级抽取的学生竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为这两个年级中，哪个年级学生的成绩更稳定？并说明理由； （3）若该校八、九年级各有200人参加本次知识竞赛，请你估计该校八、九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩不低于9分的共有多少人? 19. 如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作，过点C作垂直平分，分别交于点F，G，E，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 20. 某校计划购买两种型号的机器人模型．已知购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元． （1）每台A型机器人模型和B型机器人模型的售价分别为多少万元？ （2）若该校计划购买A．B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买型机器人的总费用，则该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？ 21. 定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． （1）请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． （2）一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 22. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 23. 综合与实践： 在学习了《图形的对称》后，刘老师带领同学们对特殊四边形的折叠进行研讨： （1）裁剪一个正方形纸片，如图，进行以下操作： 操作一：折叠纸片，使，重合，展开纸片，得到折痕； 操作二：以为折痕，折叠，得到，点的对应点为点，展开纸片；操作三：延长交直线于点． 判断：线段和线段的数量关系为 ； （2）裁剪一个矩形纸片，如图，重复（1）的操作，判断线段和线段的数量关系是否发生变化，若不变，请证明，若变化，请写出变化理由； （3）裁剪一个平行四边形纸片，如图，重复（1）的操作，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下期期末测试题 八年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分） 1. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查二次根式化简．先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定m的值． 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴和是同类二次根式， ， 解得：． 故选D． 2. 已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性即可判断，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个角都相等 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形为菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质与判定，解题的关键是准确掌握菱形和矩形的相关性质及判定定理． 依次分析每个选项，根据菱形和矩形的性质及判定定理判断其正确性． 【详解】A、菱形的性质是四条边相等，对角相等，而不是四个角都相等，不符合题意； B、矩形的对角线相等，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出，由勾股定理求出的长． 连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到． 【详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ， ，E为中点， ， ， ， ∵G，H分别为，中点， 是的中位线， ． 故选：D． 5. 若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据kb＜0，b﹣k＞0，可以得到k、b的正负情况，从而可以得到函数y＝kx+b与y＝bx+k的图象经过哪几个象限． 【详解】解：∵kb＜0， ∴k、b异号， ∵b﹣k＞0， ∴b＞0，k＜0， ∴函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，函数y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限， 所以不符合题意，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，掌握利用一次函数的解析式判断一次函数经过哪些象限是解题的关键. 6. 对于一组数据：、、、、、、，其中第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一组数据的中位数，再求出中位数左侧的一组数据的中位数即可得出答案． 【详解】解：∵原数据共个，先将数据从小到大排序得：、、、、、、， ∴中位数为第个数据，为， 在左侧的数据为、、，其中位数为， ∴． 7. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A. 8 B. 16 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OA=BO，证△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90°，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD=2OB=8， ∴OA=OB=4， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OB=4， ∴AD=， ∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×4=16； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键． 8. 函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集为（　　） A. x＜﹣2 B. x＞﹣2 C. x＜﹣1 D. x＞﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】先确定直线与x轴的交点，再根据直线位于x轴上方的部分，即kx+b＞0，可求出x的取值范围. 【详解】根据题意可知一次函数y＝kx+b的图象x轴交于点（﹣2，0）， 即当x＜﹣2时函数值y的范围是y＞0. 因而当不等式kx+b＞0时，x的取值范围是x＜﹣2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，掌握函数值y＞0即为直线在x轴上方是解题的关键． 9. 如图，直线（是常数，且）与直线相交于点，已知点的纵坐标为1，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式组成的方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴直线（是常数，且）与直线的交点坐标为：； ∴关于，的方程组，即的解为：； 故选：C． 10. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，满分15分 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分母不为0，掌握知识点是解题的关键． 根据被开方数大于等于0及分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， ∴实数的取值范围是且． 12. 把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线与轴的交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的新直线解析式，再令求出的值，即可得到新直线与轴的交点坐标． 【详解】解：直线沿轴向下平移个单位长度后，新直线的解析式为： ∵轴上点的纵坐标为， ∴令，得 解得 新直线与轴的交点坐标为． 13. 如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，设，则，根据直角三角形性质求出，再结合正方形面积公式，以及菱形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 四边形为正方形，， 变形后四边形满足为菱形， 设，则， ， ， 四边形的面积为：； 正方形的面积为：； 四边形的面积与原正方形面积之比为． 14. 一组数据、、、、的离差平方和是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方之和，即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据为，，，，， ∴这组数据的平均数， ∴离差平方和为：． 15. 在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短，证明四边形是矩形，得出，，由直角三角形的性质可得，当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小．根据垂线段最短，即当时，值最小，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小． 根据垂线段最短，即当时，值最小 此时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算法则及运算顺序，先计算除法，再由减法运算求解即可得到答案； （2）先利用平方差公式计算，再由二次根式性质化简，结合二次根式乘法运算计算，最后利用减法运算求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式混合运算及平方差公式等知识，熟练掌握二次根式性质及混合运算法则是解决问题的关键． 17. 如图，在四边形中，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）5 （2）11 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、求直角三角形面积等知识点．勾股定理用于直角三角形中求边长，勾股定理的逆定理用于判断三角形是否为直角三角形，注意要先判定直角三角形，进而计算四边形面积． （1）知道两直角边长运用勾股定理，即可求出斜边长度； （2）先运用勾股定理的逆定理判定形状，再分别求直角与面积，两个三角形面积之和即为四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中， ． 的长是5． 【小问2详解】 （2）， 又， ． ， ． ， ． 四边形的面积． 四边形的面积是11． 18. 5月12日是全国防灾减灾日，为加深学生对防灾避险知识的印象，实验中学组织八、九年级学生开展了一次“防灾减灾知识竞赛（满分10分，成绩均为整数）.竞赛结束后，王老师发现参赛学生的成绩均高于6分，然后从这两个年级的参赛学生中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理分析，部分信息如下： 信息一：八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计图 信息二：八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 八年级 9 九年级 9 9 1.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中_________，_________，并把八年级抽取的学生竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为这两个年级中，哪个年级学生的成绩更稳定？并说明理由； （3）若该校八、九年级各有200人参加本次知识竞赛，请你估计该校八、九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩不低于9分的共有多少人? 【答案】（1），，图见解析 （2）八年级的成绩更稳定，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】题目主要考查求中位数和众数、用样本估计总体、利用方差判断稳定性，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出八年级得9分的人数为：，然后根据中位数和众数的定义求解即可，补全统计图即可； （2）利用方差判断稳定性即可； （3）利用样本所占比例估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，八年级得9分的人数为：， ∵， ∴第10、11位学生的成绩均为9分， ∴中位数， 九年级成绩中得10分的人数占比最多， ∴众数， 不全统计图如下： 【小问2详解】 八年级的成绩更稳定，理由如下： ∵， ∴八年级的成绩更稳定； 【小问3详解】 （人）． 19. 如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作，过点C作垂直平分，分别交于点F，G，E，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． （1）证明，可得，从而得到四边形是平行四边形，即可解答； （2）证明是等边三角形，，在中，根据直角三角形的性质可得 ，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形OCDE是菱形，理由如下： ∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 20. 某校计划购买两种型号的机器人模型．已知购买1台A型机器人模型和2台B型机器人模型共需11万元，购买2台A型机器人模型和3台B型机器人模型共需19万元． （1）每台A型机器人模型和B型机器人模型的售价分别为多少万元？ （2）若该校计划购买A．B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买型机器人的总费用，则该校购买两种型号机器人所需的总费用最多为多少万元？ 【答案】（1）A型机器人模型和型机器人模型的单价分别为5万元和3万元 （2）该校购买两种型号机器人所需费用最多为93万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数解析式成为解题的关键．（1）设A型机器人模型和型机器人模型的单价分别为万元和万元．先根据题意找准等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型机器人台，由题意得：，解得：，即；再根据题意列出一次函数及诶小时求解即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型和型机器人模型的单价分别为万元和万元． 由题意得，，解得∶． 答：型机器人模型和型机器人模型的单价分别为5万元和3万元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人台， 由题意得：，解得：， 为整数 设该校购买两种型号机器人所需费用为万元， 由题意得，． ， ∴随着得增大而增大． 当时，有最大值，最大值． 答：该校购买两种型号机器人所需费用最多为93万元． 21. 定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． （1）请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． （2）一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，代入即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，联立的，解析式即可求解；②求出A，C的坐标，可得线段的长，由，即可． 【小问1详解】 解： 由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式， 得， 解得， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式， 得， 解得， 即点； ②由， 得； 由， 得； ∴、， ∴， ∴． 22. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 【答案】（1）20；80；1 （2） （3）当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 加热到，温度将恒定保温， 甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 【小问2详解】 解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 23. 综合与实践： 在学习了《图形的对称》后，刘老师带领同学们对特殊四边形的折叠进行研讨： （1）裁剪一个正方形纸片，如图，进行以下操作： 操作一：折叠纸片，使，重合，展开纸片，得到折痕； 操作二：以为折痕，折叠，得到，点的对应点为点，展开纸片；操作三：延长交直线于点． 判断：线段和线段的数量关系为 ； （2）裁剪一个矩形纸片，如图，重复（1）的操作，判断线段和线段的数量关系是否发生变化，若不变，请证明，若变化，请写出变化理由； （3）裁剪一个平行四边形纸片，如图，重复（1）的操作，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）不变，见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）连接，利用正方形的性质及全等三角形的判定论证即可； （2）连接，利用矩形的性质及全等三角形的判定论证即可； （3）当点在的下方及上方时，分情况讨论即可. 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 由折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）不变； 证明：如图1，连接， 四边形是矩形， 点是的中点， 由折叠可知， ， 在和中， ， ， ； （3）解：的长为或；理由如下： 当点在的下方时，如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知：， ， ， 点为边的中点， ， ， ， ， ， ； 当点在的上方时，如图，连接， 同理可求：， ， 综上所述：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $