精品解析：浙江省舟山市2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

舟山市2025学年第二学期期末检测 高二数学试题卷 考试时间：120分钟 Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数及复数的定义求解即可. 【详解】，， 所以的虚部为. 3. 已知正的边长为4，那么正的平面直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，平面直观图， 由题意可知，则， 过作于，则， 所以的面积为. 4. 若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系. 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 5. 的最小正周期为 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于y=|sinx|+|cosx|，∵y＞0故函数y的最小周期与函数y2的最小正周期相同．y2=（|sinx|+|cosx|）2=1+|sin2x|，1+|sin2x|与|sin2x|的最小正周期相同，再对|sin2x|平方，得（sin2x）2=，显然cos4x的最小正周期是，故选B 考点：本题考查了三角函数最小正周期的求法． 点评：解决此类问题常用方法有公式法即T=，图象法，定义法，公倍数法，对于具体问题得具体分析．求三角函数的周期，要注意函数的三角变换．尤其要注意“二化一”的应用． 6. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且侧棱，则该四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质，结合已知条件求出棱台的高，进而根据外接球的性质求出球的半径，最后利用球的面积公式计算求解． 【详解】 上底面边长为，对角线长为，故上底面外接圆半径为， 下底面边长为，对角线长为，故下底面外接圆半径为， 由正棱台的性质，侧棱长、棱台的高、上下底面外接圆半径之差构成直角三角形， 则，即，解得， 外接球的球心在上下底面的连接线上，设球心到下底面距离为， 则到上底面的距离为，设球半径为，则 ，即，解得， 故， 外接球的表面积． 7. 已知表示不超过的最大整数，则的值为（ ） （参考数据） A. 1649 B. 1725 C. 1744 D. 1745 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理及的定义求解即可. 【详解】 ， 所以. 8. 已知一个圆被20个点等分，20个点依次编号1，2，3，…，19，20.任取3个不同的点构成三角形，则能构成内角均不小于的锐角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出从20个点中任取3个点的种数，再将角度问题化为弧长份数的问题，求出能构成内角均不小于的锐角三角形种数，最后利用古典概型求得概率. 【详解】从圆上的20个等分点中任取3个点构成三角形，总的组合数为. 一个圆被20个点等分，每两个相邻点之间的圆弧所对的圆周角为， 设构成的三角形的三个顶点将圆周分成的三段弧包含的单位弧数分别为（均为正整数），则. 根据圆周角定理，三角形的三个内角大小分别为. 若构成内角均不小于的锐角三角形，则，解得，则的所有可能取值为，同理，的所有可能取值也为， 则满足条件的的组合有（不考虑顺序）：. 对于三个数字互不相同的组合（），在圆周上排列这3段弧有种顺序，由于圆上有20个点，起点有20种选择，但因为旋转对称性，每个具体的三角形会被计算3次（对应3个顶点），则可构成的三角形种数为种， 对于有两个数字相同的组合（），弧长排列有种不同的顺序，由于圆上有20个点，起点有20种选择，但因为旋转对称性，每个具体的三角形会被计算3次（对应3个顶点），则可构成的三角形种数为种， 综上，能构成内角均不小于的锐角三角形的概率为. 【点睛】看到圆上等分点构成的角度问题，第一时间想到弧长份数，把角度限制转化为整数的不等式限制，这是解题的核心突破口.解题时注意锐角三角形的限制，防止多算三角形，得到错误答案. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的中位数为 B. 已知经验回归方程为，且，，则 C. 若随机变量，且，则 D. 在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A直接计算数据的中位数可得；对B直接根据经验回归方程经过样本中心可得；对C根据正态分布的性质可得；对D根据反证法及独立性检验的特征判断可得. 【详解】对A选项，该组数据共个，已从小到大排列，中位数为中间两个数（第个）的平均数，即，故A错误. 对B选项，因为经验回归直线必过样本中心点， 所以将代入回归方程得，解得，B正确. 对C选项，因为，所以， 又正态分布的曲线关于对称轴对称， 根据对称性，，所以C正确. 对D选项，反证法是严谨的演绎逻辑推理，只要推理过程正确，结论就一定正确，不会出错； 独立性检验是基于样本数据的推断，而样本存在随机性，所以结论也存在随机性，可能犯错误，故D正确. 10. 在中，点，满足，，与交于点，延长交于点.则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算，结合三点共线的向量表示，逐个验证选项. 【详解】C项，因点在上，则， 又点在上，则， 于是，解得，则，故C错误； A项，，，则，故A正确； B项，由A项分析可知，则， 又，所以，所以，故B正确； D项，已知点在的延长线上，则， 又点在上，则，解得，所以， 则， 又，所以，可得，故D错误. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的图像关于直线对称 C. 在上不具有单调性 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数进行化简后，结合基本不等式求解最小值判断A，利用函数对称性的定义判断B，利用复合函数的单调性判断C，结合对称性与换元法判断D即可. 【详解】对于A，由题意得 ， 令，则变为， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，，得到的最小值为1，即的最小值为1，故A正确， 对于B，由题意得， 且， 可得，则的图像关于直线对称，故B正确， 对于C，令，由对勾函数性质得在上单调递增， 由对数函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增，即在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得，且， 令，则，， 因为，所以， 则，且， 而欲证，则证，即证， 则证，则证，即证， 而，则得证，即得证， 而在上单调递增，可得， 即，得到，故D正确. Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若事件和事件相互独立，且，，则___. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据相互独立事件的概率及和事件的概率公式可得. 【详解】因为事件相互独立，所以，且， 所以.​ 根据和事件的概率公式. 因此. 13. 已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的零点与系数的关系得到和的表达式，再将进行变形，最后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】二次函数有两个正零点， ，解得. 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 14. 已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为__. 【答案】## 【解析】 【分析】将向量问题向平面几何问题转化，然后利用圆的性质求解线段最值. 【详解】设，如图所示 依题意，即在平行四边形中，，求的最大值. 延长至，使得，则. 由正弦定理，三点所在外接圆的直径，. 设圆心为，如图所示 所以可知，又，由余弦定理可得. 由图象可知. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. （1）求角的大小； （2）若，，角的角平分线交于点，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求进而可求； （2）根据，利用三角形的面积公式结合角平分线可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 则. 由余弦定理，得, 所以， 故， 又， ∴. 【小问2详解】 由 可得， 则. 16. 已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式转化函数，再由最大值求解； （2）由单调递增区间的公式求解； （3）利用特殊值对应的角求解范围. 【小问1详解】 由题意得 故，得. 【小问2详解】 由（1）知.由， 得， 故的单调递增区间为. 【小问3详解】 ，可得，则. 则使得成立的的取值集合为. 17. 已知四面体中，和都是边长为4的正三角形，，点为中点，连接、. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）过点作平面平行于直线，平面与四面体的棱，分别交于点，，求四面体体积的取值范围. 【答案】（1）因为和都是边长为4的正三角形， 且点为中点，所以，， 而，面，可得平面， 而平面，所以平面⊥平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定得到平面，再结合面面垂直的判定定理求解即可. （2）利用等体积法求出点面距离，构造线面角，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. （3）利用面面平行并结合相似的性质得到，再结合面面垂直的性质得到平面，最后利用棱锥的体积公式求解出解析式，最后结合二次函数性质得到范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 由（1）知平面，且是边长为的等边三角形. 所以， 而，，， 代入得到，解得， 设直线与平面所成角为. 则，即为所求. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 由题意得平面平面，平面，故， 设，且，， 由题意得，则，得到， 由已知得，而，设，则， 由相似性质得，则，， 可得， 过在平面内，作，则由（1）知平面平面， 而面，可得平面，故为到平面的距离， 因为是边长为的正三角形，所以， 则， 令，由二次函数性质得当时，取得最大值， 而，则取得最大值， 当时，可得，当时，可得，故. 18. 一只不透明的箱子中装有3类卡片，其中A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张，所有卡片除类别外完全相同.抽取规则为：每次从箱子中随机抽取1张卡片，记录类别后放回箱子并且补充1张与抽取类别相同的卡片放入箱子，重复抽取3次. （1）设3次抽取中抽到A类卡片的次数为，求的分布列与数学期望； （2）已知第三次抽取的是A类卡片，求前两次抽取的卡片类别相同的概率. 【答案】（1）分布列为： 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定的可能取值为0，1，2，3，再求对应的概率，进而得到的分布列、求得； （2）设事件D为“第三次抽取的是A类卡片”，事件E为“前两次抽取的卡片类别相同”.计算，，根据条件概率计算公式求解. 【小问1详解】 由题意可知的可能取值为0，1，2，3. ：三次都没有抽到A，则. ：三次抽取中恰好一次取到A（分三种情况：A在第1或第2或第3次被抽到） 则. ：三次抽取中恰好两次取到A（分三种情况：非A在第1或第2或第3次被抽到） 则. ：三次都抽到A，则. 因此的分布列为： 0 1 2 3 . 【小问2详解】 设事件D为“第三次抽取的是A类卡片”，事件E为“前两次抽取的卡片类别相同”，则. 按照抽取的次序及类别共有9种情况：AAA、ABA、ACA、BBA、BAA、BCA、CCA、CAA、CBA，则 . 前两次抽取类别相同且第三次抽取A的情况有3种：AAA、BBA、CCA. 则：. 故. 19. 设，已知函数，. （1）若，求在上的值域； （2）当时，求证：，并指出等号成立的条件； （3）设，若实数满足.求证：. 【答案】（1） （2） 因为 . 而，，故，，. 所以. 所以，当且仅当时取得等号. （3）令，则. 若，则方程化为，故在值域中， 若，则关于的二次方程有实数解，则. 解不等式得：. 因为，记. 则，且的值域为 由可知. 证明： 当时，因为，所以，，则. 当时，由（2）知. 于是， 由，得， 因为，故，所以. 而，在时取得最大值为， 因此，所以. 若等号成立，则需要同时满足下列条件：（i）；（ii）；（iii）. 由（i）（ii）得与（iii）矛盾，故等号不能成立， 因此. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，结合对勾函数的性质求值域； （2）利用作差法、不等式的性质证明不等式，进而确定等号成立条件即可； （3）问题化为关于的方程有实数解，讨论、两种情况，且时，记，从而有，根据已知有，最后应用分类讨论证明不等式. 【小问1详解】 若，，，其中，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 舟山市2025学年第二学期期末检测 高二数学试题卷 考试时间：120分钟 Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正的边长为4，那么正的平面直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 的最小正周期为 A. B. C. D. 2 6. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且侧棱，则该四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知表示不超过的最大整数，则的值为（ ） （参考数据） A. 1649 B. 1725 C. 1744 D. 1745 8. 已知一个圆被20个点等分，20个点依次编号1，2，3，…，19，20.任取3个不同的点构成三角形，则能构成内角均不小于的锐角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的中位数为 B. 已知经验回归方程为，且，，则 C. 若随机变量，且，则 D. 在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误 10. 在中，点，满足，，与交于点，延长交于点.则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的图像关于直线对称 C. 在上不具有单调性 D. 若，则 Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若事件和事件相互独立，且，，则___. 13. 已知二次函数有两个正零点，，则的最小值为___. 14. 已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为__. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足：. （1）求角的大小； （2）若，，角的角平分线交于点，求的长度. 16. 已知函数的最大值为1. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递增区间； （3）求使成立的的取值集合. 17. 已知四面体中，和都是边长为4的正三角形，，点为中点，连接、. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）过点作平面平行于直线，平面与四面体的棱，分别交于点，，求四面体体积的取值范围. 18. 一只不透明的箱子中装有3类卡片，其中A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张，所有卡片除类别外完全相同.抽取规则为：每次从箱子中随机抽取1张卡片，记录类别后放回箱子并且补充1张与抽取类别相同的卡片放入箱子，重复抽取3次. （1）设3次抽取中抽到A类卡片的次数为，求的分布列与数学期望； （2）已知第三次抽取的是A类卡片，求前两次抽取的卡片类别相同的概率. 19. 设，已知函数，. （1）若，求在上的值域； （2）当时，求证：，并指出等号成立的条件； （3）设，若实数满足.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $